2 Giải đề thi đại học khối B môn toán 2008

Hướng dẫn và lời giải chi tiết đề thi đại học Khối B Môn Toán 2008

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI B

NĂM 2008

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

đề thi môn toán khối B năm 2008

Phần chung cho tất cả các thí sinh

Câu I: (2 điểm): Cho hàm số:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(−1; −9)

Câu II: (2 điểm)

1 Giải phơng trình sin x3 − 3 cos x sin x.cos x3 = 2 − 3 sin x.cos x.2

1. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

2. Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho MA = MB = MC

Câu IV: (2 điểm)

2 Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b

Câu V.a Theo chơng trình THPT không phân ban (2 điểm)

phân giác trong của góc A có phơng trình x − y + 2 = 0 và đờng cao kẻ từ B có phơng trình 4x + 3y − 1 = 0.

Câu V.b Theo chơng trình THPT phân ban (2 điểm)

1 Giải bất phơng trình

2 0,7 6

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,

SB a 3= và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần

l-ợt là trung điểm của AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và côsin của góc giữa hai đờng thẳng SM, DN

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

→∞

xlimy = xlim→∞ ax3(1 + b

Để tìm giá trị cực trị của hàm số tại điểm x0 trong trờng hợp x0 là số

lẻ, thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc:

Tích chất 4: Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng.

Thật vậy, dời trục bằng tịnh tiến về gốc U(x0, y0), trong đó:

0

bx

0 0

x

O −b/3aI

y

x

O −b/3a

I

Tích chất 5: Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất nếu a

> 0 và hệ số góc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếp tuyến của đồ thị.Thật vậy, ta có:

y' = 3ax2 + 2bx + c, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại x = x0 là:

k = y'(x0) = 3a 2

0

x + 2bx0 + c = 3a

2 0

bx3a

 + 

23ac b3a

− .

 Với a > 0, thì kMin =

23ac b3a

− đạt đợc khi x

0 = − b3a .

 Với a < 0, thì kMax =

23ac b3a

− đạt đợc khi x

0 = − b3a .

 Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm A, B, C cách đều nhau

⇔ (1) có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 thoả mãn

1 3

2

+ = x2

Chú ý: Kết quả trên cho ta điều kiện cần để đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành

tại ba điểm cách đều nhau (hoặc "đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng ") Khi áp dụng điều kiện cần đã nêu

trên, ta cần thử lại để có điều kiện cần và đủ

Tích chất 7: Với phơng trình bậc ba:

00g(x ) 0

0g(x ) 00g(x ) 0

 (1) có ba nghiệm phân biệt (khi đó, đồ thị hàm số cắt Ox tại

Lập bảng biến thiên của hàm số y = g(x)

Dựa vào bảng biến thiên biện luận vị trí tơng đối của đờng thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = g(x)

00

 (1) có đúng hai nghiệm phân biệt

⇔ (C) cắt Ox tại hai điểm ((C) tiếp xúc với Ox)

⇔ Hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT = 0

y ' 0c 2 nghi m x , x ph n bi ty(x ).y(x ) 0

2 Với yêu cầu "Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = f(x) đi qua

điểm A(xA, yA) ", ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng trình tiếp tuyến có

1. Chúng ta có thể lựa chọn một trong hai hớng đánh giá sau:

Hớng 1: Dựa vào phơng pháp luận hệ số, chúng ta sẽ chia các toán tử trong phơng

trình thành hai phần, cụ thể:

( 3 cos x3 − 3 sin x.cos x2 )+(sin x.cos x sin x2 − 3 ) =0

Tới đây, bằng việc đạt nhân tử chung cho mỗi nhóm, cụ thể:

3 cos x(cos x sin x) sin x(cos x sin x) 0,− + − =

chúng ta thấy xuất hiện nhân tử chung cho cả phơng trình là (cos x sin x)2 − 2 = cos2x,

- Nếu a≠0, thì (1) không nhận x =

2π + kπ làm nghiệm

Bớc 2: Với cosx ≠ 0 ⇔ x ≠

2

π + kπ, k ∈ Z

Chia hai vế của phơng trình (1) cho cos3x ≠ 0, ta đợc

a.tan3x + b.tan2x + c.tanx + d = 0 Đặt t = tanx, phơng trình có dạng:

Mở rộng: Phơng pháp giải trên đợc mở rộng cho phơng trình đẳng cấp bậc n

đối với sin và cos, đó là phơng trình có dạng:

n

n k k k

mở rộng của phơng trình thuần nhất bậc ba nh sau:

a.sin3x + b.sin2x.cosx + c.sinx.cos2x + d.cos3x + (e.sinx + f.cosx) = 0

Nh vậy, chỉ cần sử dụng phơng pháp thế chúng ta sẽ giải đợc hệ trên

r ⇔ n =   MN, MP  

uuuur uuur r

Khi đó, phơng trình mặt phẳng (P) đợc cho bởi:

(P): qua Mvtpt n

Cách 1: Sử dụng phơng trình ban đầu của mặt phẳng.

Cách 2: Sử dụng điều kiện K khẳng định M thuộc đờng (L), khi đó:

• Tìm toạ độ điểm H thuộc (P) sao cho độ dài AH ngắn nhất

• Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua (P), cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 2: Suy ra toạ độ điểm A1 từ điều kiện H là trung điểm của AA1.Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

1 1

Trung điểm M của AA thuộc(P)

z nhỏ nhất bởi nó đợc phát biểu lại dới dạng "Tìm toạ độ hình chiếu vuông

góc M của O trên (P)").

• Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P) Tìm trên (P) điểm M sao cho

MA MB +

uuuur uuur

đạt giá trị nhỏ nhất, cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ MI nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

Mở rộng với ba điểm A, B, C không thẳng hàng (hoặc tứ diện ABCD) chúng ta sử dụng trọng tâm G của ∆ABC ((hoặc trọng tâm G của tứ diện ABCD)) Cụ thể "Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm M trên (O) để:

a MA MB MCuuuur uuur uuuur+ + đạt giá trị nhỏ nhất

b MA2 + MB2 + MC2đạt giá trị nhỏ nhất

• Viết phơng trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P), cụ thể ta thực hiện theo các bớc:

(S): TB

Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:

2. Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho:

a MA − MB đạt giá trị lớn nhất

b MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Với yêu cầu của bài toán ở đây là " Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho

MA = MB = MC ", chúng ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

thẳng đi qua tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC))

=

uuur uuur AB.AC 0 ⇔ ∆ABC vuông tại A Suy ra, trung điểm I của BC là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC

Qua I (d) : (d) ABC



Bớc 4: Từ đó, suy ra toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phơng trình:

(d) (P)

từ đó, để đại số hoá tích phân này chúng ta cần biến đổi mẫu số về dạng:

f(cosx + sinx) để phép đổi biến t = cosx + sinx,

hoặc f(cosx + sinx + c) để phép đổi biến t = cosx + sinx + c

Từ nhận định trên, ta đi biến đổi mẫu số nh sau:

MS = (1 sin 2x+ )+2(sin x cos x) 1+ +

2(sin x cos x) 2(sin x cos x) 1

sin x cos x dx2

t = sinx + cosx để tính tiếp

2. Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến có

điều kiện x2 + y2 = 1, nên A có thể đợc chuyển về dạng đẳng cấp nh sau:

 Với y ≠ 0 thì bằng việc sử dụng ẩn phụ x = ty chúng ta sẽ chuyển đợc (*)

về dạng tam thức bậc hai theo ẩn t với ts A, cụ thể:

Tới đây bằng việc tìm điều kiện của A để (**) có nghiệm t chúng ta sẽ nhận đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A

 Đờng phân giác trong của góc A là (d1), có vtcp u uur1

 Đờng cao kẻ từ B là (d2) có vtcp u uur2

Trớc tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ ra nháp để theo dõi định ớng sau:

h- Vì các đờng thẳng AC, BC, HC đồng quy tại C Suy ra, để có đợc toạ độ

điểm C chúng ta cần có đợc phơng trình của hai trong ba đờng thẳng AC,

BC, HC

Và dễ thấy các đờng thẳng chỉ đợc xác định bằng viẹc chỉ ra điểm mà nó

đi qua cùng với phơng (vtcp hoặc vtpt) Nhận định này dẫn tới việc loại bỏ việc xác định đờng thẳng BC

 Với đờng thẳng AC chúng ta đã có sẵn phơng vì AC ⊥ (d2), nh vậy cần tìm một điểm thuộc AC Điều này thực hiện đợc dựa vào tính chất đối xứng của đờng phân giác trong đỉnh A (là (d1)), cụ thể đi xác định điểm H’ là

điểm đối xứng với H qua (d1)

Từ đó, phơng trình đờng thẳng AC đợc cho bởi:

Qua H '(AC) :

( 2(AC) d )

HAvtpt





 ⇒ Toạ độ của C.

Đáp án chi tiết đề thi tuyển sinh môn toán khối B năm 2008

Câu I.

1. Ta lần lợt có:

a Hàm số xác định trên D = Ă

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

6 1 lim x 4

x x

= khi xkhi x

2. Ta có thẻ trình bày theo các cách sau:

Cách 1 Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng:

(d): y = y’(x0)(x − x0) + y(x0)

y

xO

Cách 2: Phơng trình đờng thẳng (d) qua M(−1; −9) với hệ số góc k, có dạng:

(x 1) (4x 5) 012x 12x k

412x 12x k

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm.

Cách 2: Vì cosx = 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế của

1. Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Mặt phẳng (Q) đi qua ba điểm A, B, C đợc cho bởi:

2. Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Để MA = MB = MC thì M thuộc trục đờng tròn (d) của ∆ABC (là đờng thẳng đi qua tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC)).Nhận xét rằng:

=

uuur uuur

AB.AC 0 ⇔ ∆ABC vuông tại A

⇒ Trung điểm I(0 ; −1; 1) của BC là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC

Từ đó, suy ra M thuộc đờng thẳng (d) thoả mãn:

Vậy, với điểm M(2; 3; −7) thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Giả sử M(x; y; z), để M thuộc mặt phẳng (P): 2x + 2y + z − 3 = 0 sao cho

sin x cos x dx2

2 (sin x cos x) 2(sin x cos x) 1

sin x cos x dx2

§Æt t = sinx + cosx + 1, suy ra:

dt = (cosx − sinx)dx ⇔ (sinx − cosx)dx = −dt

2 1 2 2

2 dt I

t 2t 3

+

=+ + ⇔ (A − 2)t

Trờng hợp 2: Với A ≠ 2 thì (*) có nghiệm khi:

43

= , đpcm

2 Bạn đọc tự vẽ hình.

Kí hiệu:

 Đờng phân giác trong của góc A là (d1), có vtcp u (1;1).uur1

 Đờng cao kẻ từ B là (d2) có vtcp u (3; 4).uur2 −

Gọi H’(a; b) là điểm đối xứng của H qua (d1) thì H’ thuộc AC Ta có:

( 2(AC) d )





Qua H '( 3; 1)(AC) :

(3; 4)2

HACH





Qua H( 1; 1)(CH) :

(6; 8)vtpt HA

− −



 uuur ⇔ (CH): 3x + 4y + 7 = 0.Vì (AC)∩(CH) = {C} nên toạ độ của C là nghiệm của hệ:

vế Hãy nhớ rằng điều đó chỉ có thể đợc thực hiện khi MS luôn âm hoặc luôn dơng

2 Bạn đọc tự giải.

a. VS.BMDN = a 33

3 .

b. CCôsin của góc giữa hai đờng thẳng SM, ND bằng 5

5 .