5 giải đề thi đại học khối A môn toán 2010

Hướng dẫn và lời giải chi tiết đề thi đại học Khối A Môn Toán 2010

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI MÔI TOÁN KHỐI A

NĂM 2010

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Đánh giá và định hướng”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

đề thi môn toán khối A năm 2010

Phần chung cho tất cả các thí sinh (7.0 điểm)

Câu I: (2 điểm): Cho hàm số:

y = x3  2x2 + (1  m)x + m, m là tham số thực (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2,

x3 thoả mãn điều kiện x12x22x23 4

Câu II: (2 điểm)

Câu V: (1 điểm): Giải hệ phơng trình:

Câu VI a (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đờng thẳng (d1), (d2) có phơng trình:

(d ) : 3x y 0, (d ) : 3x y 0.   Gọi (T) là đờng tròn tiếp xúc với (d1) tại A, cắt (d2) tại hai điểm B, C sao cho

ABC vuông tại B Viết phơng trình của (T), biết ABC có diện tích bằng3

2 và điểm A có hoành độ dơng.

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng x 1 y z 2

và mặt phẳng (P): x  2y + z = 0 Gọi C là giao điểm của () với (P), M là

điểm thuộc () Tính khoảng cách từ M tới (P), biết MC 6

Câu VII.a (1 điểm): Tìm phần ảo của số phức z, biết z 2 i  2 1 i 2  

B Theo chơng trình Nâng cao

Câu VI b (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đờngthẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phơng trình x + y  4 = 0.Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đờng cao đi qua điểm

C của tam giác đã cho

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đờng thẳng

Câu VII.b (1 điểm): Cho số phức z thoả mãn 1 i 33

Đánh giá và định hớng thực hiện

Câu I.

1 Tham khảo định hớng trong câu I.1 của đề toán khối B  2008

2 Câu hỏi này thuộc dạng toán "Tính chất giao điểm của hai đồ thị", cụ thể

"Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x)

cắt nhau tại k giao điểm (phân biệt) thoả mãn tính chất K ”, ta thực hiện theo

các bớc sau:

Bớc 1: Thiết lập phơng trình hoàng độ giao điểm:

Bớc 2: Để xét tính chất của các giao điểm chúng ta khéo léo đa về việc xét

tính chất nghiệm của phơng trình (1)

 Chú ý: Các kết quả thờng đợc sử dụng trong bớc 2 là:

1. Định lí Viét cho phơng trình đa thức:

x x x x x x

ad

Tới đây, các em học sinh có thể dừng lại hoặc giải tiếp hệ điều kiện

đó tuỳ thuộc vào biến đổi nháp của bớc 2

Bớc 2: Lựa chọn phép biến đổi lợng giác phù hợp để chuyển phơng trình

ban đầu về dạng phơng trình lợng giác cơ bản, từ đó nhận đợcnghiệm cho phơng trình theo k  

Cụ thể, với phơng trình này chúng ta cần khử mẫu số và công việc sẽ

đợc bắt đầu bằng các đánh giá sau:

 Với phơng trình hỗn hợp chứa sin, cos và tan (hoặc cot) thì thôngthờng ta cần chuyển đổi tan (hoặc cot) về dạng sin và cos, ta có:





 Với phơng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khácnhau thì biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm l-ợng giác của một cung, ta có:

Hớng 1: Sử dụng công thức góc nhân đôi biến đổi (1) về dạng phơng

trình bậc hai theo một hàm số lợng giác, cụ thể:

2

2sin x sin x 1 0.  

Hớng 2: Sử dụng phơng trình lợng giác cơ bản, cụ thể:

cos 2x sin x cos 2x cos x

Các em học sinh cần lựa chọn hớng biến đổi để tối u cho bớc 3

Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó kết luận về nghiệm của phơng trình

2. Đây là bất phơng trình không mẫu mực chứa căn bậc hai và đợc cho dới dạngphân thức P(x)

Hớng 1: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng:

Và với hớng này cần có kinh nghiệm tốt trong việc biến đổi đại số

Hớng 2: Sử dụng ẩn phụ t x (t 0) và phép biến đổi tơng đơng giống nh

hớng 1 để nhận đợc một bất phơng trình bậc 4 theo t

Hớng 3: Sử dụng ẩn phụ t là tổ hợp của x và phép biến đổi tơng đơng giống

nh hớng 1 để nhận đợc một bất phơng trình bậc 2 theo t Cụ thểtrong bài toán này chúng ta sẽ đặt 1

x

Hớng 4: Sử dụng phơng pháp đánh giá (nếu có thể) Cụ thể trong bài toán này

chúng ta sử dụng bất đẳng thức 2(a2 + b2)  (a + b)2 bởi ta có biến

đổi:

Câu IV Các em học sinh có thể thấy:

1. Với khối chóp S.CDNM, ta có ngay:

Hớng 1: Tách tứ giác CDNM thành các hình cơ bản, thí dụ:

SCDNM = SCDN + SCNM

Hớng 2: Nhúng tứ giác CDNM trong một hình cơ bản, thí dụ:

SCDNM = SABCD  (SAMN + SBCM)Với bài toán này ta sẽ đi chọn hớng 2 bởi các hình cơ sở trong đó là hìnhvuông, tam giác vuông có độ dài cho trớc

2. Để tính khoảng cách giữa DM và SC, chúng ta chỉ cần thực hiện:

 Tìm đoạn vuông góc chung của DM và SC, cụ thể với các em học sinh cókiến thức hình học phẳng vững sẽ dễ nhận thấy rằng:

DM  CN  DM  (SHC)  DM  SCSuy ra, chỉ cần dựng HK vuông góc với SC chúng ta nhận đợc:

Câu V Hệ phơng trình đợc cho dới dạng không mẫu mực với đặc tính quan trọng

là "Các biến x, y đợc cho trong các biểu thức độc lập", ta có thể tổng quát nó dới

Với hệ phơng trình này dẫn dắt ta tới nhận định rằng "Có thể sử dụng phơng pháp thế đề giải hệ", và để sử dụng đợc phơng pháp này ta cần rút đợc x hoặc y từ

một trong hai phơng trình của hệ

ở bài toán này ta sẽ xuất phát từ phơng trình thứ nhất của hệ, bởi nó có dạng:

 Sử dụng các phép biến đổi đại số để chuyển phơng trình về dạng tổng các

 là nghiệm duy nhất của (2).

Câu VI.a

1. Trớc tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ (hình bên)

Ta lần lợt sử dụng các giả thiết:

 Vì ABC vuông tại B nên AC chính là đờng kính của

 Toạ độ của điểm C = (AC)(d2)

 Từ giả thiết ABC có diện tích bằng 3

2 , ta đợc:

AB.CB

2 2  Toạ độ của điểm A, tiếp tới điểm C.

 Cuối cùng là việc lập phơng trình đờng tròn (T) với:

Chú ý: Chúng ta cũng có thể sử dụng giả thiết về diện tích của ABC trớc để

nhận đợc toạ độ tờng minh của điểm A Từ đó, cũng với phơng pháptrên để có đợc toạ độ điểm C (cách giải này sẽ tránh đợc việc phảitìm toạ độ điểm B) Cụ thể:



BA

 Toạ độ của điểm C = (AC)(d2).

Cuối cùng là việc lập phơng trình đờng tròn (T) với:

2. Với bài toán này thòng có hai kiểu định hớng:

Hớng 1 (Thờng với học sinh lời vẽ hình và học thụ động theo dạng): Khi đó, sẽ định

dạng bài toán là "Tìm điểm thuộc đờng thẳng thoả mãn điều kiện K" và với

định hớng này các em học sinh cần thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chuyển phơng trình đờng thẳng () về dạng tham số

Bớc 2: Tìm toạ độ giao điểm C của () và (P)

Bớc 3: Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng () thoả mãn

MC 6

Bớc 4: Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P)

Hớng 2 (Thờng với học sinh khá, giỏi): Vẽ hình mô phỏng (hình bên).

Khi đó, với H là hình chiếu vuông góc của M trên

(P), ta có ngay:

d(M, (M)) = MH MC.sin MCH.Vấn đề còn lại chỉ là tính:

sin MCH sin(( ), (P))   Đã có công thức

Câu VII.a Với bài toán này các em học sinh chỉ cần sử dụng các phép biến đổi

thông thờng để nhận đợc dạng tổng quát của số phức z a b.i  Từ đó, suy ra đợcrằng z a b.i  nên nó có phần ảo bằng b

Câu VI.b

1. Trớc tiên, các em học sinh hãy phác thảo hình vẽ (hình bên)

Ta lần lợt sử dụng các giả thiết:

 Vì ABC cân đỉnh A nên với H là trung điểm BC thì

AH sẽ vuông góc với BC, suy ra:

Qua A(AH) :

()

EA

CB

NM

H

(d)

I

Bớc 1: Điểm B  (BC) (theo phơng trình tham số t), từ đó suy ra toạ độ

C dựa trên tính chất H là trung điểm của BC

Bớc 2: Vì điểm E nằm trên đờng cao đi qua điểm C của ABC nên:

2. Bài toán này đợc chi thành hai phần, cụ thể:

 Tính khoảng cách từ A đến đờng thẳng (): Ta sử dụng công thức:

AM, u d(A, ( ))

 , với M() và u là vtcp của đờng thẳng ()

 Viết phơng trình mặt cầu (T): Ta chỉ cần tìm đợc bán kính R của nó, vàvới H là trung điểm của BC thì:

(A, ( ))

2

2 2

 Phơng trình mặt cầu (T) đợc xác định bởi:

Câu VII.b Với bài toán này các em học sinh chỉ cần thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Sử dụng các phép biến đổi thông thờng để nhận đợc dạng tổng quát

của số phức z a b.i  Từ đó, suy ra đợc rằng z a b.i 

Bớc 2: Đơn giản biểu thức z iz c di.   Từ đó, suy ra môđun của số phức

b Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

x

lim

 y = 3

3 x

2 1 lim x 1

1 / 2U

 5 / 2 7

4 / 3

1

(C)

2 / 3

1 1 / 2 7

Từ đó, để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3

thoả mãn x12x22x32  điều kiện là:4

f(x) = 0 có hai nghiệm x2, x3 khác 1 thoả mãn x22x23 3

m 14

Chú ý: Trong lời giải của bài toán trên chúng ta đã sử dụng tắt kết quả của

định lí Viét cho phơng trình f(x) = 0, cụ thể ta cần có trình bày:Nếu phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm x2, x3 thì:

2 sin x 1 sin x cos 2x

si n x1

sin x 1 (lo )

1sin x

Chú ý: Một vài các em học sinh biến đổi phơng trình (1) nh sau:

cos 2x sin x cos 2x cos x

Cách 1: Biến đổi tiếp (1) về dạng:



x2

DB

A

C

H N

M

K

CD2 = CH.CN

2

CDHC



2 2 2

.5a

a4

2a

a 3

2a 575

192a

2 3x4

 Hàm số g(x) nghịch biến trên 3

0; 4

 là nghiệm duy nhất của (2)

Vậy, hệ có cặp nghiệm duy nhất 1

; 2 2

 Chú ý: Để nhận đợc kết quả 2x 5 2y từ phơng trình thứ nhất của hệ ta còn

có thể trình bày theo các cách sau:

1x3

Qua A(AC) :

2 Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

.6

C¸ch 2: Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn (P), ta cã:

sin((), (P)) sin MCH 2.1 1.( 2) 1.1 1

.6

()

1 Gọi H, I theo thứ tự là trung điểm của BC và AH, ta lần lợt có:

 Phơng trình đờng thẳng (AH) đợc cho bởi:

Qua A(AH) :

 

= 9 16 5  Phơng trình mặt cầu (T) đợc xác định bởi:

CB

NM

H

(d)

I

đề luyện tập t ơng tự ( Dự bị đại học  Số A.1 )

Phần chung cho tất cả các thí sinh (7.0 điểm)

Câu I: (2 điểm): Cho hàm số:

y = mx3 + (3m4)x2 + (3m7)x + m3, m là tham số thực.(1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2. Xác định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độkhông dơng

Câu II: (2 điểm)

Câu IV:(1 điểm): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy

ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC a 3 và hình chiếu vuônggóc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tínhtheo a thể tích của khối chóp A’.ABC và tính côsin của góc giữa hai đờngthẳng AA’, B’C’

Câu V: (1 điểm): Cho các số thực không âm a, b thoả mãn a + b = 1 Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức:

A = 16ab(a  b)2

Phần riêng (3.0 điểm): Thí sinh đợc làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chơng trình Chuẩn

Câu VI a (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d) và đờng tròn (S) có

 , tiếp xúc với (d) vàtiếp xúc với (S)

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0;0; c) với a, b, c là những số dơng thay đổi sao cho a2 + b2 + c2 = 3 Xác định a,

b, c để khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất

Câu VII.a (1 điểm): Trong mặt phẳng phức cho các điểm O (gốc toạ độ), A biểu diễn

số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z'  0 và B' biểu diễn sốphức zz' Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác đồng dạng không ?

B Theo chơng trình Nâng cao

Câu VI b (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho họ đờng thẳng (d) có phơng trình:

(d): x.cos + y.sin + 2cos + 1 = 0

Cho điểm I(2; 1) Dựng IH vuông góc với (d) (H(d)), và kéo dài IH một

đoạn HN = 2HI Tính toạ độ của N theo 

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;) và đờng thẳng

Câu VII.b (1 điểm): Xác định tập hợp các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu

0m

 sin5x.sinx  1  sin5x.sinx 1  sin5x.sinx + 1  0.

Do đó, phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi:

sin5x.sinx = 1  sin 5x 1 & sin x 1

sin 5x 1 & sin x 1

Cách 1: Biến đổi tiếp (1) về dạng:

 suy ra dx = cost.dt

§æi cËn:

 Víi x = 0 th× t = 0

I =

/ 4 2

2 0

I =

/ 4 2

2 / 2



1

4

Câu IV Bạn đọc tự vẽ hình.

a. Tính thể tích của khối chóp A’.ABC

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra A’H  (ABC) nên:

3 A'.ABC

a

2



b. Tính côsin của góc giữa hai đờng thẳng AA’, B’C’

Trong A’B’H vuông tại A’, ta có:

B’H2 = A’B’2 + A’H2 = 4a2  B’H = 2a  B’BH cân tại B’

Gọi  là góc giữa hai đờng thẳng AA’, B’C’, suy ra:

A = 4.(4ab)(a  b)2

2 2

 Chú ý : Bài toán trên cũng có thể đợc thực hiện theo cách:

A = 16ab[mx(a + b)2  4ab] = 16ab(1  4ab) = 4.(4ab)(1  4ab)

2

C 4ab (1 4ab)4

(1) Giả sử đờng tròn (C) cần tìm có tâm T(a; b), suy ra (C) có phơng trình:

b. §Ó (C) tiÕp xóc víi (S) ta cã hai kh¶ n¨mg:

Kh¶ n¨ng 1: (C) tiÕp xóc trong víi (S) khi vµ chØ khi:

1. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Gọi () là đờng thẳng qua I và vuông góc với (d), phơng trình () đợccho bởi:

 (): xsinycos + 2sin + cos = 0

Khi đó, toạ độ điểm H là nghiệm của hệ

x cos y sin 2 cos 1

x sin y cos 2sin cos

Vậy n là vectơ đơn vị của HI

Kéo dài IH một đoạn HN = 2HI

 IN = 3HI  IN = 3HI.n

y

xO(d

Trêng hîp 2: NÕu k ≠ 1 th×:

(*)  x2 + y2 

2 2

2k y

k  1 +

2 2

2k

k  1 = 0  x2 +

2 2 2

k y

2 2

k 0;