Do hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên đều là các tam giác cân, theo giả thiết Cắt hình chóp theo cạnh bên rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ nhưtrên sao cho khi
Trang 1Câu 50: [2H1-3.6-4] [2H1-4] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1) Cho khối hộp chữ nhật
có thể tích bằng Biết ; ; Mặtphẳng chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng
Lời giải Chọn D
. - HẾT -Câu 22 [2H1-3.6-4] (THPT Sơn
Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh như hình
vẽ dưới đây Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , sao cho bốn đỉnh của hình vuông gập lại thành đỉnh của hình chóp Tìm giá trị của
để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Trang 2Từ hình vuông ban đầu ta tính được ( )Khi gấp thành hình chóp thì nên ta có
Vậy: lớn nhất khi và chỉ khi
Câu 45 [2H1-3.6-4] (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp
có cạnh còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng Tính thể tích lớn nhất của khối chóp
.
Lời giải
Chọn D
Trang 3Gọi là giao điểm của và Ta có:
Do đó:
,
Ta thấy:
Trong hạ Khi đó:
Câu 49 [2H1-3.6-4] (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Một người xây
nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là và chiều cao cố định Người đóxây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật
có kích thước như nhau (không kể trần nhà) Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào
để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường)
Lời giải Chọn A
Đặt , , lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao mỗi phòng
Theo giả thiết, ta có
Để tiết kiệm chi phí nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất
Ta có
Vì h không đổi nên nhỏ nhất khi (với ) nhỏ nhất
Câu 50 [2H1-3.6-4] (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Một người cần
làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là Để ít hao tốnvật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A Cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng
Trang 4B Cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng
C Cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng
D Cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng
Lời giải Chọn B
Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là có độ dài ,
Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của khối lăng trụ là nhỏ nhất
Gọi là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ , ta có:
.Khảo sát trên , ta được nhỏ nhất khi
Câu 47: [2H1-3.6-4] (Trường BDVH218LTT-khoa 1-năm 2017-2018) Cho khối chóp có
đáy là hình bình hành, có thể tích bằng Gọi là trung điểm Một mặt phẳng chứacắt các cạnh và lần lượt tại và Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp
Lời giải
Trang 5Đặt Ta có
Do đó dễ có
Ta có
Do đó
Câu 44: [2H1-3.6-4] (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho ba tia không
đồng phẳng đôi một vuông góc Xét tam giác có các đỉnh trên tia , trên tia , trên tia sao cho tam giác chứa trong nó một điểm cố định Thểtích khối tứ diện đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:
A vuông góc với mặt phẳng
B với kí hiệu là diện tích tam giác
C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
D với kí hiệu là thể tích khối chóp
Lời giải Chọn B
Trang 6Đặt Vì điểm cố định và nằm trong tam giác Ta gọi
Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay hay
(Do cùng chiều cao)
Câu 48: [2H1-3.6-4] (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình
chóp tam giác đều , , , thuộc cạnh , thuộc cạnh , là trung điểm cạnh Khi đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng diện tích các tam giác , , là:
Lời giải:
Chọn D
Trang 7Trải các mặt bên của hình chóp theo đường cắt ta được Hình 1
Khi đó, tổng nhỏ nhất khi , , , thẳng hàng Với và là hai điểm sao cho khi gấp lại thành hình chóp thì trùng với ,
Khi đó tam giác có , Suy ra là nửa tam giác đều cạnh
Ta được
Câu 13 [2H1-3.6-4] (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm
2017-2018) Trong mặt phẳng cho tam giác cố định Trên đường thẳng vuông góc vớimặt phẳng tại điểm và về hai phía của ta lấy hai điểm , thay đổi sao cho haimặt phẳng và luôn vuông góc với nhau Hỏi vị trí của , thỏa mãn điều kiện
nào sau đây thì thể tích khối tứ diện là nhỏ nhất
Lời giải Chọn D
Trang 8Trong tam giác vuông , đặt ,
Do và cố định nên đường cao của tam giác không đổi
Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy ngắn nhất khi Suy ra
Hay là trung điểm
Trang 9Xét tam giác vuông có là đường cao không đổi(Do là đường cao của cốđịnh) nên không đổi.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy thể tích khối tứ diện nhỏ nhất khi là trung điểm
Câu 47 [2H1-3.6-4](THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Ông Bình đặt thợ làm một bể
cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tíchchứa được nước Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng Xác địnhdiện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất
Lời giải Chọn C.
Gọi , , lần lượt là chiều rộng, dài, cao của hình hộp chữ nhật
Ta có
Trang 10Câu 49 [2H1-3.6-4] (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Cho hình chóp có độ
nhất của thể tích khối chóp là
Lời giải Chọn A.
Cách 1
Trong mặt phẳng dựng , , sao cho , , lần lượt là trung điểm của ,, Khi đó ta có ; ; Suy ra , , đôi một vuông góc
Trang 11Gọi và lần lượt là trung điểm của và
Lúc đó là đường vuông góc chung của và
Câu 47 [2H1-3.6-4] (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình
chóp có đáy là hình bình hành nằm trên cạnh sao cho Mặtphẳng chứa cạnh cắt cạnh , lần lượt tại và Gọi và lần lượt là thểtích khối chóp và Giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích bằng
Lời giải Chọn C
Trang 12Câu 42 [2H1-3.6-4] (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ
giác đều có và Gọi là trung điểm cạnh Trên các cạnh , , lần lượt lấy các điểm , , không trùng với các đỉnh của hình chóp Tìm giátrị nhỏ nhất của tổng theo
Lời giải Chọn B
Trang 13Do hình chóp tứ giác đều nên mỗi mặt bên đều là các tam giác cân, theo giả thiết
Cắt hình chóp theo cạnh bên rồi trải các mặt bên thành một mặt phẳng ta được hình vẽ nhưtrên sao cho khi ghép lại thì Khi đó, tổng là tổng các đường gấpkhúc nên tổng này nhỏ nhất nếu xảy ra các điểm , , , , thẳng hàng Đồng thời theo
ta có suy ra tam giác là tam giác đều
Vậy hay giá trị nhỏ nhất của tổng
Câu 4: [2H1-3.6-4] (THPT Đoàn Thượng-Hải Dương-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình
chóp có đáy là hình bình hành và có thể tích là Điểm là trung điểm của , một mặt phẳng qua cắt các cạnh và lần lượt tại và Gọi là thể tích khối chóp
Tìm giá trị nhỏ nhất của ?
Lời giải Chọn D.
Trang 14Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng
các hình chóp có Giá trị lớn nhất của khối chóp
bằng
Lời giải Chọn D.
Trang 15Gọi là trung điểm của cạnh Khi đó và Gọi là trung điểm của cạnh suy ra
Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật Một mặt phẳng thay đổi nhưng luôn song song với đáy và cắt các cạnh bên , , , lần lượt tại , , , Gọi , , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của , , , lên mặt phẳng Tính tỉ số để thể tích khối đa diện đạt giá trị lớn nhất
Lời giải Chọn A.
Xét tam giác có nên
Trang 16Xét tam giác có nên
Kẻ đường cao của hình chóp Xét tam giác có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: Vậy
chóp có đáy là hình bình hành Gọi là trung điểm của ,
là điểm trên đoạn sao cho Mặt phẳng chứa cắt
đoạn tại và cắt đoạn tại Tỉ số lớn nhất bằng
Lời giải Chọn D.
Trang 17Từ BBT ta có Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng
Cho , là các số thực dương Xét các hình chóp có , ,các cạnh còn lại đều bằng Khi , thay đổi, thể tích khối chóp cógiá trị lớn nhất là:
Lời giải Chọn A.
Gọi , lần lượt là trung điểm của , Ta dễ dàng chứng minh được
là đoạn vuông góc chung của và
Câu 47: [2H1-3.6-4] (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho
tam giác vuông tại có Gọi là mặt phẳng chứa BC và vuông góc
Trang 18với mặt phẳng Điểm di động trên sao cho hai mặt phẳng và
lần lượt hợp với mặt hai góc phụ nhau Tính thể tích lớn nhất của khối chóp
Lời giải Chọn A.
max khi
Theo Talet
Câu 43 [2H1-3.6-4] (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh Tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳngvuông góc với đáy Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng , với Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp
Lời giải Chọn C.
Trang 19Gọi là đỉnh thứ tư của hình bình hành
Khi đó mà (vì , ) nên là hình chiếu vuông góc của lên
Gọi là hình chiếu của lên , theo đề ta có
Do đó đạt giá trị lớn nhất khi lớn nhất Vì tam giác vuông tại nên
đường thẳng qua và vuông góc với mặt phẳng Trên lấy điểm
và đặt , Gọi và lần lượt là trực tâm của các tam giác
và Biết cắt tại điểm Khi ngắn nhất thì khối chóp
có thể tích bằng
Lời giải Chọn A.
Trang 20Xét tam giác có H là trực tâm, ta có
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
37: [2H1-3.6-4] Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu cóbán kính bằng Tính thể tích của khối chóp có thể tích lớn nhất
Lời giải Chọn A.
Gọi , là trung điểm và là tâm mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp đều
Ta có
Trang 21cạnh , , cạnh thay đổi Thể tích lớn nhất của khối chóp
là:
Lời giải Chọn D.
Gọi là tâm hình thoi , là hình chiếu của lên mặt phẳng
Ta có nên hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp hay
giác vuông tại
Giả sử Ta có
Ta có
Suy ra
Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp là:
Câu 46: [2H1-3.6-4] (SỞ GD-ĐT BẮC NINH -2018)Cho tứ diện đều có cạnh bằng Gọi
, là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh , sao cho luôn vuông góc vớimặt phẳng Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứdiện Tính
Trang 22A B C D
Lời giải Chọn A.
Gọi là tâm tam giác , ta có , mà nên
hay luôn đi qua
có đáy là hình vuông cạnh bằng , và vuông góc với mặtphẳng đáy Gọi , là hai điểm thay đổi trên hai cạnh , sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Tính tổng
khi thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất
Trang 23A. B. C. D.
Lời giải Chọn B
Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ sao cho , , ,
Trang 24Câu 50: [2H1-3.6-4] (THPT HỒNG LĨNH HÀ TĨNH-2018) Cho tứ diện có
Khi thể tích của khối tứ diện lớn nhất thì khoảng cách giữahai đường thẳng và bằng
Lời giải Chọn A.
Gọi , lần lượt là trung điểm ,
Trang 25Câu 47 [2H1-3.6-4] (THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG-LẦN 1-2018) Cho một tấm bìa
hình vuông cạnh Để làm một mô hình kim tự tháp Ai cập , người ta cắt bỏ tam giáccân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vuông rồi gấp lên , ghép lại thành một hìnhchóp tứ giác đều Để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng :
Trang 26A B C D
Lời giải Chọn A.
Gọi cạnh đáy của mô hình là với Ta có
Vậy để mô hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mô hình bằng
Câu 36 [2H1-3.6-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC-LẦN 1-2018) Cắt khối hộp
bởi các mặt phẳng , , , ta được khối đa diện có thể tích lớn nhất là
Lời giải : Chọn C
Trang 27Khi cắt khối hộp bởi các mặt phẳng trên ta được 5 khối tứ diện , , ,
, Gọi là thể tích của khối hộp
Suy ra nên tứ diện có thể tích lớn nhất
Câu 44: [2H1-3.6-4] (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2018)Xét khối tứ diện có cạnh ,
thỏa mãn và các cạnh còn lại đều bằng Biết thể tích khối tứ diện
đạt giá trị lớn nhất có dạnh ; ; Khi đó thỏa mãn bất đẳngthức nào dưới đây?
Lời giải Chọn A.
Đặt
Trang 28Gọi là trung điểm ,
Do là trung tuyến của tam giác nên:
.Tam giác cân tại ( vì ) nên:
có đáy là hình bình hành Gọi là trung điểm của , là điểm trên đoạn sao cho Mặt phẳng chứa cắt đoạn tại và cắt đoạn tại Tỉ số lớn nhất bằng
Lời giải Chọn D.
Trang 29Từ BBT ta có Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng
Câu 47 [2H1-3.6-4] (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Trong không gian , cho mặt cầu có
tâm và đi qua điểm Xét các điểm , , thuộc sao cho ,, đôi một vuông góc với nhau Thể tích của khối tứ diện có giá trị lớn nhấtbằng
Lời giải Chọn D.
Đặt , , thì là tứ diện vuông đỉnh , nội tiếp mặt cầu Khi đó là tứ diện đặt ở góc của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh , ,
và đường chéo là đường kính của cầu Ta có
Mà
Vậy (lời giải của thầy Binh Hoang)
Câu 41: [2H1-3.6-4] (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Trong không gian , cho mặt cầu có tâm
và đi qua điểm Xét các điểm , , thuộc sao cho , , đôi một vuông góc với nhau Thể tích của khối tứ diện có giá trị lớn nhất bằng
Lời giải Chọn C.
Trang 30và đi qua điểm Xét các điểm thuộc mặt cầu sao cho đôi một vuông góc với nhau Thể tích của khối tứ diện có giá trị lớn nhất bằng?
Lời giải Chọn B
Đặt thì là tứ diện vuông đỉnh , nội tiếp mặt cầu
Khi đó là tứ diện đặt ở góc của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh
và đường chéo là đường kính của cầu Ta có
Mà