Xét tam giác như hình vẽ, đặt Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy , , chiều cao nên thể tích khối lăng trụ là Ta cần tìm để thể tích đạt giá trị lớn nhất.. Từ bảng biến thiên suy ra thể tí
Trang 1Câu 38: [2D1-3.6-4] (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cắt ba góc của một tam giác
đều cạnh bằng các đoạn bằng phần còn lại là một tam giác đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình
vẽ Tìm độ dài để thể tích khối lăng trụ lớn nhất
Lời giải Chọn D
Xét tam giác như hình vẽ, đặt
Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy , , chiều cao nên thể tích khối lăng trụ là
Ta cần tìm để thể tích đạt giá trị lớn nhất
Từ bảng biến thiên suy ra thể tích đạt giá trị lớn nhất khi
Trang 2Câu 12: [2D1-3.6-4] (THPT Bình Xuyên-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Một công ty bất động sản có
căn hộ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê, mỗi căn hộ thêm đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống Công ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu?
Lời giải Chọn B
Ở tháng thu nhập của công ty cao nhất, gọi số căn hộ bị bỏ trống là thì số tiền thuê mỗi phòng là , khi đó số tiền thu được là
Ta cần tìm để lớn nhất
Bảng biến thiên
Vậy mỗi tháng lợi nhuận cao nhất thu được của công ty là
Câu 50 [2D1-3.6-4] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-ần 1-năm 2017-2018) Cô An đang ở khách sạn
bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo Biết rằng khoảng cách từ đảo đến bờ biển là , khoảng cách từ khách sạn đến điểm trên bờ gần đảo là Từ khách sạn , cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo (như hình vẽ bên) Biết rằng chi phí đi đường thủy là USD/km, chi phí đi đường bộ là USD/km Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất
Lời giải Chọn B
Gọi là quãng đường cô An đi đường bộ
Chi phí của cô An:
Trang 3liên tục trên
Ta có
Ta có
Để chi phí ít nhất thì
Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng: để chi phí ít nhất
Câu 41 [2D1-3.6-4] (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Một người cần đi từ khách
sạn bên bờ biển đến hòn đảo Biết rằng khoảng cách từ đảo đến bờ biển là , khoảng cách từ khách sạn đến điểm trên bờ gần đảo nhất là Người đó có thể
đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên) Biết kinh phí đi đường thủy là , đi đường bộ là Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? ( , )
C
D
Lời giải Chọn B.
C
50 km
10 km
Trang 4
Bảng biến thiên
Câu 50 [2D1-3.6-4] (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Xét hàm số
, với , là tham số Gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên Khi nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính
Lời giải Chọn C
Áp dụng bất đẳng thức ta có
Áp dụng bất đẳng thức và ta có
Suy ra
Vậy nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là khi
Cách 2 Ta có:
(1) (2)
Trang 5( 3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
Khi đó:
-HẾT -Câu 50: [2D1-3.6-4] (CHUYÊN HÀ TĨNH -LẦN 1-2018) Cho phương
trình:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình trên có đúng nghiệm
?
Lời giải Chọn D.
Ta có:
Bởi vậy:
Đặt , phương trình trở thành
Ta thấy, với mỗi thì phương trình cho ta một nghiệm Do đó,
để phương trình đã cho có đúng nghiệm điều kiện cần và đủ là phương trình
có đúng một nghiệm
Trang 6Ta có ,
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi
Hay, các giá trị nguyên của để phương trình trên có đúng nghiệm là:
Câu 46: [2D1-3.6-4] (SỞ GD-ĐT THANH HÓA-2018) Một cái ao hình
(như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính m Người ta muốn bắc một câu cầu từ bờ của ao đến vườn Tính gần đúng
độ dài tối thiếu của cây cầu biết :
- Hai bờ và nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm ;
- Bờ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm và có trục đối xứng
là đường thẳng ;
- Độ dài đoạn và lần lượt là m và m;
- Tâm của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng và lần lượt m
và m
Trang 7
Lời giải : Chọn A
Gán trục tọa độ sao cho cho đơn vị là m
Bờ là một phần của Parabol ứng với
Vậy bài toán trở thành tìm nhỏ nhất với
Đặt trường hợp khi đã xác định được điểm thì , vậy nhỏ
Bây giờ, ta sẽ xác định điểm để nhỏ nhất
là nghiệm duy nhất và
Vậy giá trị nhỏ nhất của trên gần bằng khi
Câu 41. [2D1-3.6-4] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - L2 - 2018)Một người cần đi từ khách sạn bên bờ
biển đến hòn đảo Biết rằng khoảng cách từ đảo đến bờ biển là , khoảng cách từ khách sạn đến điểm trên bờ gần đảo nhất là Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên) Biết kinh phí đi đường thủy là
, đi đường bộ là Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu
Trang 8A B
C
D
Lời giải Chọn B.
Bảng biến thiên
Câu 39 [2D1-3.6-4] (THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG-LẦN 1-2018) Một ngọn hải đăng
được đặt tại vị trí cách bờ biển một khoảng Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến địa điểm trên
bờ biển với vận tốc , rồi đi bộ đến với vận tốc Hỏi cần đặt vị trí của cách một khoảng bằng bao nhiêu để người đó đến kho nhanh nhất?
Trang 9A. B. C. D.
Lời giải Chọn C.
Đặt (đơn vị là km, )
Thời gian chèo đò từ đến là
Thời gian đi bộ từ đến là
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi
Vậy cần đặt vị trí của cách một khoảng là
Câu 49: [2D1-3.6-4] (THPT YÊN LẠC-LẦN 1-2018) Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có
nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 3200 , tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ha bằng 2 Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất
Lời giải Chọn B.
Gọi chiều dài là , chiều rộng là , khi đó chiều cao là ( )
Thể tích của hình hộp là
Trang 10Xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất khi S đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy Smin khi
Khi đó diện tích đáy hố ga là:
Câu 27 [2D1-3.6-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC -LẦN 1-903-2018)Một chất điểm chuyển động
có phương trình chuyển động là , với là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó Trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng
Lời giải Chọn A.
Có:
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của trên Khoảng
, BBT:
Vậy vận tốc lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên là:
Câu 45 [2D1-3.6-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC -LẦN 1-903-2018) Bạn A có một đoạn dây
mềm và dẻo không đàn hồi , bạn chia đoạn dây thành hai phần, phần đầu gấp thành một tam giác đều Phần còn lại gập thành một hình vuông Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu
để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất ?
Lời giải Chọn D.
Gọi là cạnh của tam giác đều,
Suy ra cạnh hình vuông là
Gọi là tổng diện tích của hai hình
Trang 11
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, đạt giá trị nhỏ nhất tại
Câu 37 [2D1-3.6-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC-LẦN 1-2018) Một công ty sữa cần sản xuất các
hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, chứa được thể tích thực là 180ml Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất?
Lời giải Chọn D.
Gọi là độ dài cạnh đáy, là chiều cao của hình hộp
Nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất khi diện tích toàn phần nhỏ nhất
Trang 12Câu 45 [2D1-3.6-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC-LẦN 1-2018) Theo thống kê tại một nhà máy
, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ
có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ (và như vậy, nếu giảm thời gian làm việc 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có thêm 1 công nhân đi làm đồng thời năng suất lao động tăng 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ) Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là , với là thời gian làm việc trong một tuần Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?
Lời giải Chọn A.
Gọi là số giờ làm tăng thêm (hoặc giảm) mỗi tuần,
số công nhân bỏ việc (hoặc tăng thêm) là nên số công nhân làm việc là người Năng suất của công nhân còn sản phẩm một giờ
Số thời gian làm việc một tuần là giờ
Ta có BBT như sau
Trang 13Vậy số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần lớn nhất khi (giờ).
Câu 42: [2D1-3.6-4] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2018) Một cái hồ
rộng có hình chữ nhật Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở
vị trí cách bờ là và cách bờ là , rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (như hình vẽ) Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào bờ , và cây cọc (bỏ qua đường kính của sào)
Q
P
C
B
K
A
Lời giải Chọn B.
F
E
Q
P
C
B
K
A
Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của xuống và Suy
Phương trình đường thẳng Vì đi qua nên )
Cách 1:
Trang 14Ta có: Vì
Vậy giá trị nhỏ nhất của là Từ đó suy ra chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào bờ , và cây cọc là
Cách 2:
BBT của :
Vậy GTNN của là khi
Từ đó suy ra chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào