Tìm nguyên hàm của hàm số.. Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của ĐÁP ÁN BÀI TẬP NGUYÊN HÀM PHẦN 01 Chofx,gxlà cá
Trang 12.
A
B
C
D
(Đề Tham Khảo – Lần 3) Tìm nguyên hàm của hàm số
3.
(THPTQG – 2017 – 101 – 2) Tìm nguyên hàm của hàm số
4.
(THPTQG – 2017 – 103 – 8) Tìm nguyên hàm của hàm số
5.
Công thức nguyên hàm nào sau đây là công thức sai?
6.
(THPTQG – 2017 – 102 – 2) Tìm nguyên hàm của hàm số
7.
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên hàm của
ĐÁP ÁN BÀI TẬP
NGUYÊN HÀM PHẦN 01
Chof(x),g(x)là các hàm số liên tục trênR Tìm khẳng định sai ?
A.∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dxvớiklà hằng số B.∫ [f(x)−g(x)] dx=∫ f(x)dx−∫ g(x)dx
C.∫ f(x).g(x)dx=∫ f(x)dx.∫ g(x)dx D.∫ [f(x)+g(x)] dx=∫ f(x)dx+∫ g(x)dx
Khẳng định∫ f(x).g(x)dx=∫ f(x)dx.∫ g(x)dxlà sai, vì không có tính chất tích phân của một tích bằng tích các tích phân (chỉ áp
dụng với phép toán cộng, trừ)→đáp án C
f(x) = x2+ 2
x2
∫ f(x)dx = x3− + C
3
2
3
3
1
3
3
2
3
3
1 x
∫ f(x)dx = ∫ (x2+ 2) dx = − + C
x2
x3
3
2
f(x) = cos 3x
∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b)a + C ∫ cos 3xdx = sin 3x3 + C→
f(x) = 2 sin x
∫ 2 sin xdx = 2 ∫ sin xdx = −2 cos x + C→
α + 1
cos2x
f(x) = 5x − 21
∫ dx = ln|5x − 2| + C 5x − 2
1
dx 5x − 2
1 2
∫ dx = 5 ln|5x − 2| + C
dx 5x − 2
∫ dx = ln|ax + b| + C
ax + b
1
1
2x + 2017
∫ f(x)dx = ∫ 2x + 2017dx = ∫12 d (2x + 2017)2x + 2017 = ln|2x + 2017| + C12 →
∫ dx = ln|ax + b| + C
ax + b
1 a
Trang 2Trang 2/5
8.
(Đề Thử Nghiệm – Lần 2) Tìm nguyên hàm của hàm số
9.
(THPTQG – 2017 – 104 – 9) Tìm nguyên hàm của hàm số
10.
11.
12.
13.
14.
A
B
C
(Lương Thế Vinh – Lần 2) Tìm nguyên hàm của hàm số
15.
(Đề Minh Họa – Lần 1) Tìm nguyên hàm của hàm số
16.
f(x) = cos 2x
∫ f(x)dx = ∫ cos 2xdx = sin 2x + C12 → ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + Ca1
f(x) = 7x
∫ 7xdx = 7xln 7 + C ∫ 7xdx = 7x + C
x+1
x + 1
∫ axdx = ax + C
7x
f(x) = 20172x+1
2x+1 ln 2017
2x+1
2 ln 2017
∫ 20172x+1dx = 12 2017ln 20172x+1+ C = 2 ln 201720172x+1+ C→ ∫ abx+cdx = ab ln abx+c+ C
f (x) = ex(2 − e−x)
I = ∫ ex(2 − e−x)dx = ∫ (2ex− 1)dx = 2ex− x + C→
f (x) = ex− e−x
∫ (ex− e−x)dx = ex− e−x+ C ∫ (ex− e−x)dx = − ex+ e−x+ C
∫ (ex− e−x)dx = − ex− e−x+ C ∫ (ex− e−x)dx = ex+ e−x+ C
I = ∫ (ex− e−x)dx = ex+ e−x+ C→ ∫ eax+bdx = ea1ax+b+ C
f(x) = (1 − 2x)5
− (1 − 2x)1 6+ C
2
∫ f(x)dx = ∫ (1 − 2x)5dx = − ∫ (1 − 2x)12 5d (1 − 2x) = − (1 − 2x)121 6+ C→
f(x) = x√x
∫ x√xdx = x25 2√x + C
∫ x√xdx = x√x + C25
∫ x√xdx = x12 2√x + C ∫ x√xdx = √x + C32
∫ x√xdx = ∫ (x) dx = (x) + C = x3 25 5 25 2√x + C→
f(x) = √2x − 1
∫ f(x)dx = (2x − 1)√2x − 1 + C2
1 3
∫ f(x)dx = − √2x − 1 + C1
1 2
∫ f(x)dx = ∫ √2x − 1dx = ∫ (2x − 1) d(2x − 1) = (2x − 1) + C = (2x − 1)√2x − 1 + C1
2
2
3
1
∫ (3 cos x − 3x) dx
−3 sin x − 3x + C
3x
3x
3x
ln 3
∫ (3 cos x − 3x)dx = ∫ 3 cos xdx − ∫ 3xdx = 3 sin x + C1− 3x + C2= 3 sin x− + C
ln 3
3x
∫ axdx = ln aax + C ∫ amx+ndx = m1.aln amx+n+ C
f(x) = 3 sin 3x − cos 3x
Trang 3A B .
18.
(Chuyên KHTN – Hà Nội) Tìm nguyên hàm
19.
20.
A
B
C
D
(THPTQG – 2017 – 101 – 27) Cho hàm số thỏa mãn và Mệnh đề nào dưới đây đúng?
21.
(THPTQG – 2017 – 103 – 13) Cho là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn Tính
22.
23.
A
24.
Một nguyên hàm của hàm số là
25. Tìm nguyên hàm của hàm số .
Ta có: $f(x)=\left[ \int{f(x)\text{d}x} \right]'={{\left( {{e}^{x}}\text{+ }\sin 2x+C \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}+2\cos 2x$ đáp án C
đáp án A
đáp án D
đáp án D
D
∫ f(x)dx = − cos 3x − sin 3x + C13 ∫ f(x)dx = cos 3x + sin 3x + C13
∫ f(x)dx = ∫ (3 sin 3x − cos 3x)dx = − cos 3x − sin 3x + C13 →
∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C ;1a cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C1
a
4 − x2
I = ln∣∣∣12 x + 2x − 2∣∣∣ I = ln∣∣∣12 x − 2x + 2∣∣∣ I = ln∣∣∣14 x − 2x + 2∣∣∣ I = ln∣∣∣14 x + 2x − 2∣∣∣
I = ∫ 1 dx = − ∫ = − (ln∣∣∣ ∣∣∣) + C = ln∣∣∣ ∣∣∣ + C
4 − x2
dx (x − 2)(x + 2)
x − 2
x + 2 14 14 x + 2x − 2 →
(ax + b)(cx + d) ∫ (ax + b)(cx + d)dx = (ln∣∣∣ax + bcx + d∣∣∣) ad − bc1 + C
∫ f(x)dx = ex+ sin 2x + C f(x)
→ f(x) f′(x) = 3 − 5 sin x f(0) = 10
f(x) = 3x + 5 cos x + 5 f(x) = 3x + 5 cos x + 2 f(x) = 3x − 5 cos x + 2
f(x) = 3x − 5 cos x + 15
f′(x) = 3 − 5 sin x ⇒ f(x) = ∫ f′(x)dx = ∫ (3 − 5 sin x)dx =3x + 5 cos x + C (∗)
f(0) = 10 ⇔ 5 + C = 10 ⇔ C = 5 −→ f(x) = 3x + 5 cos x + 5(∗) →
F(x) = ex+ x2+ 3
2 F(x) = 2ex+ x2−
1
2 F(x) = 2ex+ x2+
5
2 F(x) = ex+ x2+
1 2 F(x) = f(x)dx = (ex+ 2x)dx = ex+ x2+ C (∗) F(0) = ⇔ 1 + C = ⇔ C = −→ F(x) = e32 32 12 (∗) x+ x2+ 12→
2
F(x) = ∫ (sin x + cos x) dx = − cos x + sin x + C (∗)
F ( ) = 2 ⇔ 1 + C = 2 ⇔ C = 1 −→ F(x) = − cos x + sin x + 1π
2
(∗)
→
cos23x F ( ) = √3
π 9
F(x) = − tan 3x −43 √33 F(x) = 4 tan 3x − 3√3 F(x) = tan 3x +43 √33 F(x) = tan 3x −43 √33
F(x) = ∫ 4 dx = tan 3x + C
cos23x
4
π
y = 3x ex 2
F (x) = 3ex 2
F (x) = e3 x 2
2
3x2
3
x2
2
I = ∫ 3x ex 2
dx = ∫ ex 2
d x2 = ex 2
+ C
3
f (x) = et anx cos2x
Trang 4Trang 4/5
26.
Đẳng thức nào sau đây sai?
27.
28.
29.
Biết là một nguyên hàm của của hàm số và đồ thị hàm số đi qua điểm Tính giá trị của
30.
(Đề Thử Nghiệm – Lần 2) Biết là một nguyên hàm của hàm số và Tính
31.
(THPTQG – 2017 – 101 – 32) Cho là một nguyên hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm số
32.
Gọi là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn Tính giá trị của
Ta có
đáp án B
đáp án B
đáp án A
Khi đó:
đáp án D
đáp án B
∫ et anxdx = ∫ et anxd tan x = etan x+ C
∫ sin2xdx = x − sin 2x + C12 14 ∫ cos2xdx = x + sin 2x + C12 14
∫ sin2xdx = ∫ 1 − cos 2x2 dx = x − sin 2x + C12 14 ∫ cos2xdx = ∫ 1 + cos 2x2 dx = x + sin 2x + C12 14
∫ tan2xdx = ∫ ( 1 − 1) dx = tan x − x + C
I = ∫ (1 − sin 3x)2 dx
I = x − cos 3x +23 23 sin 6x12 + C I = x + cos 3x −32 23 sin 6x12 + C
I = x + cos 3x −23 23 sin 6x12 + C I = x − cos 3x +32 23 sin 6x12 + C
I = ∫ (1 − 2 sin 3x + sin23x)dx = ∫ (1 − 2 sin 3x + 1 − cos 6x2 ) dx = ∫ ( − 2 sin 3x −32 cos 6x2 ) dx
= x + cos 3x −32 23 sin 6x12 + C→
f′(x) = 2x + 1 f(1) = 5 f(x) = 5 x1, x2 S = log2|x1| + log2|x2|
f(x) = ∫ f′(x)dx = ∫ (2x + 1) dx = x2+ x + C f(1) = 5 ⇔ 12+ 1 + C = 5 ⇔ C = 3 ⇒ f(x) = x2+ x + 3
f(x) = 5 ⇔ x2+ x + 3 = 5 ⇔ x2+ x − 2 = 0 ⇒ x1x2= −2⇒ S = log2|x1| + log2|x2| = log2|x1x2| = log2|−2| = 1→
⇒ F (0) = (− cos 0) + C = 1 ⇔ C = 2 ⇒ F (x) = − cos x + 2 ⇒ F ( ) = 2π2 →
F(x) = ∫ f(x)dx = ∫ x − 1dx = ln|x − 1| + C −−−−→ C = 1 ⇒ F(x) = ln|x − 1| + 1F(2)=1 ⇒ F(3) = ln 2 + 1→
∫ f′(x)e2xdx = −x2+ 2x + C ∫ f′(x)e2xdx = −x2+ x + C
∫ f′(x)e2xdx = 2x2− 2x + C ∫ f′(x)e2xdx = −2x2+ 2x + C
F(x) = x2 f(x)e2x⇒ F′(x) = f(x)e2x⇔ 2x = f(x)e2x⇔ f(x) = 2x
e2x
f′(x) = 2e2x− 4xe2x= ⇒ f′(x)e2x= 2 − 4x
(e2x)2
2 − 4x
e2x ∫ f′(x)e2xdx = ∫ (2 − 4x)dx = 2x − 2x2+ C = − 2x2+ 2x + C→
∫ (x2+ 1)2dx = ∫ x4+ 2x2+ 1 dx = x55+ 2x33+ x + C F(1) = 2815⇔ + + 1 + C =15 23 2815⇔ C = 0
⇒ F(x) = x55+ 2x33+ x ⇒ T = 5F(6) − 30F(4) + 18 = 1000→
f′(x) = 2 −
(2x − 1)2
1 (x − 1)2 f(2) = − ⋅
1
Trang 5A B C D .
34.
Gọi là nguyên hàm của hàm số Đồ thị của hàm số và cắt nhau tại một điểm trên trục tung Tìm
tọa độ điểm chung của hai đồ thị và
35.
36.
Ta có:
đáp án B
Đồ thị của hàm số và cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên
D
Ta có:
đáp án B Chú ý: Có thể áp dụng luôn công
đáp án D
(2x − 1)2
1 (x − 1)2
1 2x − 1 x − 11 f(2) = − ⇔ − + C = − ⇔ C = −1 ⇒ f(x) = −13 11 13 13 2x − 11 + x − 11 − 1
f(x) = −1 ⇔ −2x − 11 + x − 11 − 1 = −1 ⇔ x = x0= 0⇒ T = 20170= 1→
y = F(x) y = f(x) (0; −1) ( ; 3)52 (0; −2) ( ; 8)52 (0; −2) ( ; 14)83 (0; −1) ( ; 9)52
2x2− x + C = 4x − 1 ⇔ 2x2− 5x + 1 + C = 0 (1) y = F(x) y = f(x)
(1) x = 0 → 1 + C = 0 ⇔ C = −1 (1) 2x2− 5x = 0 ⇔ x = 0x = ⇔
{ x = 0
y = −1
x =
y = 9
5
2 52
→
∫ f(x)dx = ln∣∣
∣ + C
x + b
∣ + C
1
b − a x + bx + a
1
x2+ (a + b)x + ab
1 (x + a)(x + b)
1
b − a x + a1
1
x + b
⇒ ∫ (x2+ (a + b)x + ab1 )dx = ∫ ( − )dx = ln∣∣∣ ∣∣∣ + C
1
b − a x + a1
1
x + b
1
b − a x + ax + b →
dx (ax + b)(cx + d)
ax + b
cx + d
1
1 (x + a)(x + b)
1
b − a x + ax + b F(x) f(x) = 4x 22x+3 F(0) = ln 22 ⋅ A = [ln 2.F(1)]
3
210
∫ 4x 22x+3dx = ∫ 24x+3dx = 1424x+3+ C
2
ln 2
2
ln 2
2
ln 2 F(x) = 14 2ln 24x+3⇒ A = [ln 2.F(1)] = = 32
3
210
[ln 2 ]ln 225 3