040 đề HSG toán 9 hà tĩnh 2017 2018

Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều.. Gọi I là giao điểm của BO và EF.. a Chứng minh nếu AM AB thì các tứ giác BDHF, ABHI nội tiếp... Hai vật x

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH

NĂM HỌC 2017-2018

I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo

Câu 2: Cho a1 2017 và a n1a n 2017 với mọi n 1, n Tìm a2018

Câu 3: Cho 2 2

4a b  5ab với b 2a 0 Tính giá trị của 25 2

ab p





Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200 m, vận tốc

vật thứ nhất là 4m s/ , vận tốc vật thứ hai là 6m s/ Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều Hỏi sau

16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúc xuất phát)

Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên

(cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5;6;7

Câu 6: Giải phương trình 3

1  x x  3 2

Câu 7: Cho các số a b, thỏa mãn 3 3

a  b   ab Tính a 2b

Câu 8: Tìm các số nguyên dương a, b, c, bc thỏa mãn

2 2 2

2

a b c bc

  



   

Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các

số 2; 3; 4 và chu vi của tam giác ABC là 26 Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC

Câu 10: Cho tam giác ABC có A 30 ; B 50 , cạnh AB 2 3 Tính

AC ACBC

II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11: Giải hệ phương trình

2 2

2

y x





Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ACngoại tiếp đường tròn tâm

O Gọi D, E,F lần lượt là tiếp điểm của  O với các cạnh AB, AC,

BC Gọi I là giao điểm của BO và EF M là điểm di động trên đoạn

CE Gọi H là giao điểm của BM và EF

a) Chứng minh nếu AM AB thì các tứ giác BDHF, ABHI nội tiếp

b) Gọi N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của  O , P và Q lần lượt là hình chiếu của

N trên các đường thẳng DE, DF Chứng minh PQEF

Câu 13: Cho x, y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 Tìm GTNN của

F  x  xy y

LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH HÀ TỈNH NĂM HỌC 2017-2018

I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (Thí sinh chỉ ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1: Tìm số cạnh của đa giác lồi có 27 đường chéo

ờ ả

Gọi số cạnh của đa giác lồi là n, n ,n 3 Ta có

 3

27

2

n n

  n 9

Câu 2: Cho a1 2017 và a n1a n 2017 với mọi n 1, n Tìm a2018

ờ ả

Ta có a2  a1 2017  2.2017, a3 a2  2017  3.2017, …

Do đó a2018  2018.2017  4070306

Câu 3: Cho 2 2

4a b  5ab với b 2a 0 Tính giá trị của 25 2

ab p





ờ ả

4a b  5ab a b 4a b  0 Do b 2a 0 nên b 4a Suy ra

2

2 2

a

P

Câu 4: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có chu vi bằng 200 m, vận tốc

vật thứ nhất là 4m s/ , vận tốc vật thứ hai là 6m s/ Hai vật xuất phát cùng một thời điểm tại một vị trí và chuyển động cùng chiều Hỏi sau

16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ nhất mấy lần? (không kể lúc xuất phát)

ờ ả

Gọi t là thời gian để hai vật gặp nhau tính từ lúc xuất phát Quảng đường mỗi vật đi được đến lúc gặp nhau là S1 v t1  4t, S2 v t2  6t Vì hai vật đi cùng chiều nên S2  S1 S    6t 4t 200  t 100 (giây)

Do đó cứ sau 100 giây chúng gặp nhau một lần Vậy sau 16 phút  960

giây thì chúng gặp nhau số lần là 960 9

100

  

 

  Vậy vật thứ hai vượt lên trước 9 lần

Câu 5: Có bao nhiêu tam giác khác nhau mà độ dài các cạnh là các số tự nhiên

(cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp 1; 2;3; 4;5; 6; 7

ờ ả

Số tam giác khác nhau là  1 3 2 1 8.10.15

50

n n n

Câu 6: Giải phương trình 3

1  x x  3 2

ờ ả

ĐKXĐ x  3 Đặt 3

1 x a; x   3 b 0

Ta có 3 2 2

4

a b

a b

 





a a a

0

1 17 2

a

a







 



Từ đó tìm được tập nghiệm của phương trình đã cho là 1;15 5 17

2

S   

Câu 7: Cho các số a b, thỏa mãn 3 3

a  b   ab Tính a 2b

ờ ả

x y z

  





Do đó 3 3

a  b   ab 3    3 3   

2 1 0

a b

  



    



2 1

a b

a b



    

Câu 8: Tìm các số nguyên dương a, b, c, bc thỏa mãn

2 2 2

2

a b c bc

  





  

ờ ả

b c a  b c  bca  b c  a b c  a

  2 2

    

Vì b c 1 nên b c   2 1 dó đó

 2   

2 2

b c        a a b c b c  b c   b c 

Vì b     4 c 4 3 nên có các trường hợp sau

a

a

Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các

số 2; 3; 4 và chu vi của tam giác ABC là 26 Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC

ờ ả

Gọi độ dài các cạnh BCa, ACb, ABc Độ dài các đường cao kẻ

từ đỉnh A, B, C lần lượt là x, y, z Khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến các cạnh tỉ lệ với các số 2; 3; 4 nên ta có

k

   Mặt khác axbycz 2S ABC nên

24

k

 

       Suy ra a 12; b 8; c 6

Câu 10: Cho tam giác ABC có A 30 ; B 50 , cạnh AB 2 3 Tính

AC ACBC

ờ ả

Kẻ đường phân giác CD

Ta có ACB 100 BCDACD 50

Suy ra tam giác BCD cân tại D Suy ra BDDC

Lại có ADC# ACB AC AD

.

AC AB AD

Và AC CD AC BC. AB CD.

Suy ra AC BC AC2 AB AD CD  AB AD BDAB2  12 hay

AC ACBC 

II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11: Giải hệ phương trình

2 2

2

y x



ờ ả

1 2 y x va phương trình thứ hai ta có

2x  2y 2y x  y x 2y x x  5y  2x y 2xy  0 Đặt yxt

được 3 3 2 

x t  t   t Xét x 0, thay vào phương trình thứ hai ta được  2 

y y    y

không thỏa mãn phương trình thứ nhất

5t  2t      2t 1 0 t 1 5t      3t 1 0 t 1 Do đó yx, khi đó

ta có hệ phương trình  

2

2

1

1

1 0

x

x

x x

 



 

Vậy hệ phương trình có nghiệm   x y;    1; 1 , 1;1   

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ACngoại tiếp đường tròn tâm

O Gọi D, E,F lần lượt là tiếp điểm của  O với các cạnh AB, AC,

BC Gọi I là giao điểm của BO và EF M là điểm di động trên đoạn

CE Gọi H là giao điểm của BM và EF

a) Chứng minh nếu AM AB thì các tứ giác BDHF, ABHI nội tiếp

b) Gọi N là giao điểm của BM và cung nhỏ EF của  O , P và Q lần lượt là hình chiếu của

N trên các đường thẳng DE, DF Chứng minh PQEF

ờ ả

Gọi K là giao điểm của BO và DF Ta có tam giác IKF vuông tại K Hình chữ nhật

ADOE có ODOE nên nó là hình vuông Suy ra

1

45 2

DEF  DOE Suy ra

45

BIF 

a) Khi AM AB thì tam giác AMB vuông cân tại A suy ra

45

DBH DFH

Nên tứ giác BDHF nội tiếp Do đó năm điểm B, D, O, H, F

cùng thuộc đường

tròn đường kính BO Suy ra BFOBHO 90 OHBM, mà

tam giác ABM

vuông cân và có AH là phân giác nên AHBM Suy ra A, O,

H thẳng hàng

Suy ra BAH BIH  45 Vậy tứ giác ABHI nội tiếp

b) Tứ giác PNQD nội tiếp suy ra NPQNDQNEF Tương tự

ta có

NQPNDPNFE Suy ra

1

“” xảy ra khi P trùng F, Q trùng E hay DN là đường kính

của  O

Câu 13: Cho x, y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 Tìm GTNN của

F  x  xy y

ờ ả

F  x  xy y  f x y , m là GTNN của F

Ta có m là số nguyên và f  0;1  f  1;0    5 m 5

Vì x, y là các số nguyên không đồng thời bằng 0 nên

5x  11xy 5y  0 hay F 0

Xét x 2n; y 2k Ta có f x y ;  f 2 ; 2n k 4f n k ; nên giá trị

2 ; 2 

f n k không thể là GTNN Do đó GTNN của F xảy ra khi x, y

không cùng chẵn, vì vậy m là số lẻ

* Nếu m 1 suy ra tồn tại x, y để 2 2

5x  11xy 5y  1

100x 220xy 100y 20

10x 11y 221y 20

10x 11y 20 221y 3

10x 11y chia 13 dư 6 hoặc dư 7

Mà số chính phương khi chia 13 chỉ có dư 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12 Do đó

vô lý

* Nếu m 3 suy ra tồn tại x, y để 2 2

5x  11xy 5y  3

100x 220xy 100y 60

10x 11y 221y 60

10x 11y 60 221y 3

10x 11y chia 13 dư 5 hoặc dư 8

Mà số chính phương khi chia 13 chỉ có dư 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12 Do đó

vô lý

Vậy GTNN của F là 5