Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Câu II 2,0 điểm Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự đ
Trang 1UBND QUẬN CẦU GIẤY
TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY
ĐỀ KHẢO SÁT LẦN I NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: Toán
Ngày khảo sát: 13 tháng 04 năm 2018
Câu I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: 2 3
x A x
B
0 x 1
a) Tính giá trị của A với x 6 2 5
b) Rút gọn B
c) Đặt P = B:A Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
Câu II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một người đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước Nếu người đó đi
nhanh hơn mỗi giờ 10km thì tới B sớm hơn dự định 36 phút; nếu người đó đi chậm
hơn mỗi giờ 10km thì tới B muộn hơn dự định 54 phút Hỏi quãng đường AB dài
bao nhiêu km?
Câu III (2,0 điểm)
1.Giải hệ phương trình:
15 1
3 1
x y
x y x
x y
x y x
2.Cho parabal 2
( ) :P yx và đường thẳng ( )d y 2(m 2)x 4m 13 a) Với m = 4, trên cùng một hệ tọa độ Oxy, vẽ (P) và (d) Xác định tọa độ giao
điểm A B,
b)Tìm m để( )d cắt ( )P tại hai điểm có hoành độ x x1, 2 sao cho biểu thức
2 2
1 2 4 1 2 2018
Sx x x x đạt giá trị nhỏ nhất
Câu IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm ( )O và dây BC khác đường kính Lấy A
thuộc cung BC lớn sao cho ABAC
(A khác C) Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H Đường
thẳng EF cắt đường thẳng BC tại M
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
b) Chứng minh EB là phân giác góc DEF
Trang 2c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh IE là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MED
d) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở
P và N Chứng minh rằng khi A di động trên cung BC lớn ( nhưng vẫn thảo mãn giả thiết ban đầu ) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm
cố định
Câu V (0,5 điểm) Cho x y z, , 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
T
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I (2,0 điểm)
a Tính giá trị của A với x 6 2 5
2
2
6 2 5 5 2 5 1 5 2 5.1 1 5 1
x x
Thay x 5 1 vào 2 3
x A
x
2 5 1 3 2 5 5 2 5 5 5 2.5 5 5 2 5
2 5 2 5 5
2 5 1 2
A
Vậy x 6 2 5 thì 2 5
2
b Rút gọn B
Trang 3
2
B
B
B
B
B
x
x
c Đặt P = B:A Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên
P B A
2
x
nguyên 6 x 2 x 2 Ư(-6)
Mà Ư(-6)= 1; 2; 3; 6 Mặt khác: x 2 0
2 2;3; 6 0;1; 4 0;1;16
x x x
Kết hợp ĐKXĐ: 0 x 1
Kết luận: Vậy x0;16 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu II (2,0 điểm)
Đổi 36 phút0, 6h; 54 phút0,9h
Gọi vận tốc dự định là: v km h( / )(v 0)
Gọi thời gian dự định là: t h( )(t 0)
Trang 4Nếu người đó đi thêm đc 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (v 10)(km h/ )
Khi đó người đó đến B sớm hơn dự định 36 phút nên thời gian người đó đi là:
(t 0, 6)(h)
Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình là: (v 10)(t 0, 6) v t (1) Nếu người đó đi chậm hơn 10km mỗi giờ thì vận tốc là: (v 10)(km h/ )
Khi đó người đó đến B muộn hơn dự định 54 phút nên thời gian người đó đi là:
(t 0,9)( )h
Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình là:
(v 10)(t 0,9) v t (2)
Từ (1)và(2) ta có hệ phương trình: ( 10)( 0, 6) .
( 10)( 0,9)
10 0, 6 6
10 0, 9 9
10 0, 6 6
10 0, 9 9
3, 6 50
t
v
Vậy quãng đường AB là: 50.3, 6 180( km)
Câu III (2,0 điểm)
1 Điều kiện:x 0;x y
Trang 52 1 22 2 1 22
1
13 13
1 3
4( / ) 3
1
5
2 1
x y
x y
x
x
x y
x y x
/m)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y; 4;1
2)
a) Với m=4 phương trình đường thẳng (d) là: y=4x-3
*Vẽ đồ thị:
- Vẽ (P): y=x2 Ta có bảng giá trị
Parabol (P) đi qua hai điểm (0;-3) và (1;1)
- Vẽ (d): y=4x-3 Ta có bảng giá trị
Đường thẳng (d) đi qua các điểm (-2;4), (-1;1), (0;0), (2;4), (1;1)
Trang 6-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10 -8 -6 -4 -2
2 4 6 8 10 12
x
y
y=4x-3 y=x 2
* Tìm giao điểm của hai đồ thị:
- Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
x x x x (1)
Vì a+b+c=1-4+3=0 nên phương trình (1) có hai nghiệm x 1 và x c 3
a
Nếu x 1 y 1
Nếu x 3 y 9 Vậy (P) giao (d) tại A(1;1) và B(3;9)
2b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
2( 2) 4 13 2( 2) 4 13 0
2 2
Vậy ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A B,
Trang 7Áp dụng hệ thức viet: 1 2
1 2
2( 2)
4 13
x x m
2
2 2 2
2 4 2 4 13 2018
4 16 16 8 26 2018
4 8 2008
(2 2) 2004 2004
Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 2004 khi m = 1
Câu IV (3,5 điểm)
a) Ta có: AD, BF, CF là các đường cao của ABC
90 ;o 90o
Xét tứ giác BFEC có:
90o
BFCBEC
Mà 2 góc này cùng nhìn BC
tứ giác BFEC nội tiếp (dhnb)
b) Ta có: Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (cmt)
(t/c) (1) Xét tứ giác CEHD có HEC 90 ;o HDC 90o
90o 90o 180o
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau
tứ giác CDHE nội tiếp (dhnb)
Từ (1) và (2) suy ra DEH FEB
EB là phân giác của DEF
c) Ta có: I là trung điểm của BC (gt) IBICIE
IEC
cân IECICE(t/c)
K
J
H
F
E
D
A
Trang 8Lại có: ICElà góc ngoài của tam giác EMC ICEMEC CME
Lại có: CEM FEA( đối đỉnh)
Dễ dàng chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp AEF AHF
IED DEC DEC CME
IED CME
Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp DEM Kẻ đường kính EK
tứ giác KDEM nội tiếp EMDEKD(t/c)
Mà EMDIED(cmt)
EKD IED
Lại có: DEKvuông tại D
90 90
o
o
EKD KED
IED KED
IE JE
IE là tiếp tuyến của (J)
d)
P
N
+) Ta có: FE/ /PNCPEFEA (2 góc đồng vị)
Trang 9Mà ABCFEA ( vì tứ giác BFEC nội tiếp)
+) C/m : Tứ giác CPBN nội tiếp
+) C/m : DP DN DB DC.
+) Ta Có : IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp MED (cmt)
C/m : 2
.
IE IM ID
Mà IEIB
2
.
IB IM ID
.
IB ID IM ID ID
IB IDIB ID ID IM ID
BD DC ID DM
+) C/m : DP DN ID DM.
+) C/m : Tứ giác MNIP nội tiếp
Khi A di động trên cung BC lớn ( nhưng vẫn thảo mãn giả thiết ban đầu ) thì
đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua một điểm cố định
Câu V (0,5 điểm)
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 2
*
a b c
với x y z, , 0,
, ,
a b c bất kì
Dấu " '' xảy ra a b c
x y z
Chứng minh: Trước hết ta chứng minh 2 2 2
a b
a b
,
Trang 10Thật vậy quy đồng hai vế lên ta được bất đẳng thức tương đương 2
0
ay bx , luôn đúng Dấu " " xảy ra ay bx a b
x y
Dấu " " xảy ra
(đpcm)
Bất đẳng thức thức (*) được chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức cô- si cho hai số không âm 3 và x 2y 1 ta có:
x y y
2
x
Suy ra
2 2
2
2
Cộng vế với vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được
T
x xy y yz z zx
Lại áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
2
x y z
Do đó T 2
Trang 11Dấu " '' xảy ra
2 1 9
2 1 9
10
2 1 9
3
x y
y z
x xy y yz z zx
(TMĐK)
Vậy Min T 2 khi 10
3
x y z