037 đề HSG toán 9 hà giang 2017 2018

Cho ABC vuông cân tại A.. Gọi D là trung điểm BC.. Gọi N P, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB AC, và H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD.. Đường thẳng q

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ GIANG

NĂM HỌC 2017 – 2018

Câu 1

a Cho x 4  7  4  7 Tính  4 3 2 2017

2 1

A x  x x  x

b Cho a b, , c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau

Chứng minh rằng:

A

a b b c c a

   là bình phương của một

số hữu tỉ

Câu 2

a Giải phương trình: 2 2 213 6

b Cho 2

( )

P x x ax b với a b, N Biết P 1  2017 Tính P 3 P  1

Câu 3 Tìm các số nguyên dương n sao cho 4 3

1

n n  là số chính phương

Câu 4 Cho a b, , c  0 Chúng minh rằng:

2

a b c

Câu 5 Cho ABC vuông cân tại A Gọi D là trung điểm BC Lấy M bất kỳ

trên cạnhAD,M  A D,  Gọi N P, theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB AC, và H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD

a Chứng mính AH BH

b Đường thẳng qua B, song song với AD cắt đường trung trực của AB

tại I

Chứng minh ba điểm H N I, , thẳng hàng

…………HẾT…………

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1

a Ta có: x 2  8 2 7   8 2 7   7 1    7 1   2  x 2 Vậy A 1

b Ta có:

2

a b b c c a

a b b c b c c a c a a b

2

a b b c

    

.

a b b c c a

Câu 2

a ĐKXĐ: x 1; 3.

2

x

Xét x 0 không là nghiệm

Xét x 0, phương trình đã cho tương đương với 2 13 6

2x 5 2x 1

Đặt 2x 5 3 t

x

   ta được 2 13 6

6

t t 



2

2t 7t 4 0

    2t 1t 4 0 1

2 4

t

t

 







 



Với 1

2

t 2 5 3 1

2

x

x

   

3 4 2

x

x

 











Với t  4 2x 5 3 4

x

2x x 3 0

    vô nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm là 3; 2

4

S    

 

b Vì P 1  2017 2017 1 a b     a b 2016.

Do đó P 3 P     1 9 3a b    1 a b 10 2 a b     4042

Câu 3

Đặt 4 3

1.

An n 

Với n 1 thì A 3 không thỏa mãn

Với n 2 ta có 4 3

4A 4n  4n  4.

Xét  2 2 2

4A 2n  n 1  3n  2n  3 0  2 2

4A 2n n 1

Xét  2 2 2

4A 2n n   4 n  0  2 2

4A 2n n .

Vậy  2 2

4A 2n n  n 2.

Với n 2 thì A 25 thỏa mãn bài toán

Câu 4

Áp dụng bất đăngt thức Cauchy ta có

2

bc ca ca ab ab bc

a b c

          

Dấu bằng xảy ra khi a b c.

Câu 5

a Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia PD tại E.

Ta có BEPCBN suy ra BEN vuông cân tại B.

90

NBENHE nên B H, cùng thuộc đường tròn đường khính NE.

45

NHBNEB (1) Tương tự hai điểm A H, cùng thuộc đường tròn đường kính PN suy ra

0

45

AHN APN (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0

90

AHB hay AHBH.

b Từ giả thiết suy ra 0

90

AIB nên I là điểm chính giữa của cung AIB

của đường tròn đường kính AB.

Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của AHB và

AHB là góc nội tiếp chắn cung AIB của đường tròn đường kính AB nên

HN phải đi qua I. Do đó ba điểm H N I, , thẳng hàng

I

E

H

N

P

D

C

M