hdg-cauv-de11

• Các em thấy thế nào.. Theo phương trình này ta thấy 1 x− 0 cũng là một nghiệm của phương trình 1.. Theo phương trình này ta thấy 1 x− 0 cũng là một nghiệm của phương trình 1... Các em

Gợi ý giải Câu V, đề số 11:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

x+ − +x m x −x − x −x =m (1)

• Định hướng giải:

- Thoạt nhìn các số hạng x+ 1−x và x(1−x) ta thấy được mối quan hệ sau

2

Nên nếu đặt t = x+ 1−x thì ta có (1 ) 2 1

2

t

x −x = − , còn 4 ( ) 2 1

1

2

t

x −x = − .

{Điều kiện xác định của t các bạn tự tìm ra bằng cách đơn giản là khảo khát hàm số

f x = x+ −x trên đoạn [ ]0;1 để tìm GTLN, GTNN K.Quả là 1≤ ≤t 2}

Khi đó phương trình (1) đã cho trở thành

3

t+ m − − − =m (2)

• Lúc này nếu chuyển qua bài toán : Tìm m để phương trình (2) có nghiệm t duy

nhất thì cũng đã ổn hay chưa ?

Lý do là: Với một giá trị của t thì có mấy giá trị tương ứng của x ? Điều này cần được làm rõ trước khi chuyển qua phương trình (2) ẩn số t → để so sánh số giá trị của x với một giá trị có nghĩa của t !

Xét hàm số f x( ) = x+ 1−x trên đoạn [ ]0;1 ta có ( ) 1 1

2 2 1

f x

−

( )

1

2 1

− −

−

1 1

2

Bảng biến thiên của hàm số f x : ( )

( )

( )

t = f x

1

2

1 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vỡi mỗi 1≤ <t 2 luôn có đúng hai giá trị của x

để t = x− 1−x Và chỉ có duy nhất một giá trị của t = 2 là tồn tại tương ứng đúng một giá trị của 1

2

x=

Như vậy, có thể kết luận rằng phương trình (1) có nghiệm x duy nhất khi và chỉ khi

phương trình (2) có đúng một nghiệm t = 2

Khi đó nghiệm duy nhất của (1) là 1

2

x=

Thay vào (1) ta được 1 1 1 1 4 1 1 3

3

2 m 2 m

Nghĩa là, với mỗi giá trị của t chỉ có tương ứng duy nhất một giá trị của x sao cho

1

t = x− −x

• Các em thấy thế nào

-Thử nghỉ theo cách khác một tý xem nào ?

• Hãy để ý đến mối quan hệ sau và chú ý đến yêu cầu đề là “tìm nghiệm duy nhất”.

Để ý rằng: Nếu x là một nghiệm của (1), ta có 0

x + −x + m x −x − x −x =m

Hay viết cách khác là ( ) 4( ) 3

1−x + x +2m 1−x x −2 1−x x =m Theo phương trình này ta thấy 1 x− 0 cũng là một nghiệm của phương trình (1).

Do đó, “điều kiện cần” để (1) có nghiệm duy nhất là hai nghiệm x và 0 1 x− 0 phải bằng nhau, tức là x0 = −1 x0 0 1

2

x

Thay vào (1) ta được 1 1 1 1 4 1 1 3

3

2 m 2 m

• Nhiệm vụ của ta là phải kiểm tra lại xem, với giá trị nào của m (trong các kết quả

0

m= , m= ±1) thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn

• Lời giải:

Cách 1:

Điều kiện xác định của phương trình (1) là x∈[ ]0;1

• Điều kiện cần:

Giả sử x0∈[ ]0;1 là một nghiệm của (1), ta có

x + −x + m x −x − x −x =m

Hay viết cách khác là ( ) 4( ) 3

1−x + x +2m 1−x x −2 1−x x =m Theo phương trình này ta thấy 1 x− 0 cũng là một nghiệm của phương trình (1).

Do đó, “điều kiện cần” để (1) có nghiệm duy nhất là hai nghiệm x và 0 1 x− 0 phải bằng nhau, tức là x0 = −1 x0 0 1

2

x

Thay vào (1) ta được 1 1 1 1 4 1 1 3

3

2 m 2 m

• Điều kiện đủ:

* Với m=0, (1) trở thành x+ 1− −x 24 x(1−x) =0

2

⇔ = − ⇔ =

Trường hợp này (1) có nghiệm duy nhất 1

2

x=

* Với m=1 ta có (1) trở thành x+ 1− +x 2 x(1−x) −24 x(1−x) =1

4

4 x 41 x  4 x 41 x 4 x 41 x 

2



⇔



⇔ 



1 2 0; 1

x

 =

⇔ 



Vậy trường hợp này (1) có ba nghiệm phân biệt

* Với m= −1, ta có (1) trở thành x+ 1− −x 2 x(1−x) −24 x(1−x) = −1

4

4 x 41 x  4 x 41 x 4 x 41 x 

2



⇔



4 x 41 x 0

x



1 2

x

⇔ =

Trường hợp này (1) có nghiệm duy nhất 1

2

x=

• Kết luận: Giá trị của m cần tìm thỏa yêu cầu bài toán là m=0;m= −1.

Các em có thể giải theo cách đặt ẩn phụ như phân tích lúc đầu các em cũng tìm

được ba giá trị của m

Tuy nhiên đến đây các em rất dễ không để ý việc thử lại (điều kiện đủ) để kiểm tra rồi kết luận Đó là một điều rất cần chú ý về mặt phương pháp ở hai cách làm

Các em thử tự trình bày xem nhé !

Một điều mà các em cần chú ý là ( ) ( )2

4

x+ − −x x −x = x− −x và