20 đề thi học sinh giỏi toán lớp 7

b Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tựtại M, N.. Từ trung điểm M của BC vẽ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A tại H, cắt AB, AC lần lư

BỘ 20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7

 Bộ đề dưới đây phục vụ cho thi học sinh giỏi cấp Trường và cấp Huyện

 Nội dung kiến thức trong các bộ đề được dựa trên các kiến thức của Toán 6/7

 Thang điểm mỗi đề là 20 điểm

 Thời gian trung bình học sinh làm mỗi đề là 120->150 phút

 Nguồn được lấy từ trong sách và internet

 Thời gian sưu tầm và biên soạn từ 28/2/2018 đến 14/4/2017

 Bộ đề không có đáp án

a) Chứng minh ABDICEvà AB + AC < AD + AE.

b) Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tựtại M, N Chứng minh MN đi qua trung điểm DE

c) Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN

11 số thóc ở kho III thì số thóc còn lại ở ba kho bằng nhau Hỏi lúc đầu mỗi kho

Câu 4 (7,0 điểm).

Cho tam giác ABC (AB > AC), M là trung điểm của BC Từ trung điểm M của

BC vẽ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A tại H, cắt AB, AC lần lượt tại E

Cho tam giác ABC cân tại A, A= 300 Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C vẽ tia Bx

 BA Trên tia Bx lấy điểm N sao cho BN = BA Tính góc BCN

b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6;

5 Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4 Nhưvậy có một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m3 đất Tính tổng số đất đã phânchia cho các đội

n không là số tự nhiên với mọi n  N, n > 2.

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0

Câu 4 (5,5 điểm).

Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấyđiểm E sao cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AClần lượt ở M và N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN

c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi Dthay đổi trên cạnh BC

y x



b) Giả sử x0 = 5 Tính diện tích tam giác OBC

Câu 5 (6,0 điểm).

5.1 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm cạnh BC, E là điểm nằm

giữa M và C Vẽ BH  AE tại H, CK  AE tại K Chứng minh rằng:

a) BH = AK

b) ∆MBH = ∆MAH

c) Tam giác MHK vuông cân

5.2 Cho đoạn thẳng AB, M là trung điểm của AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB Gọi C là một điểm thuộc tia Ax Đường vuônggóc với MC tại M cắt By ở D Chứng minh rằng CD = AC + BD

AB trong 14 giờ.

Câu 4 (4,0 điểm).

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 10n + 18n – 1  27

b) Với giá trị nào của x thì C = |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-5| đạt GTNN ?

Câu 5 (6,5 điểm).

Cho tam giác cân ABC, AB = AC Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tựhai điểm D và E sao cho BD = CE

a) Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân;

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE;c) Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE Chứng minh

BH = CK;

d) Chứng minh ba đường thẳng AM, BH và CK gặp nhau tại một điểm

Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho

CD = AB Gọi P, Q là trung điểm của AD và BC, I là giao điểm các đường vuônggóc với AD và BC tại P và Q

a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC

b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC

c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE = 1

b) Cho dãy tỉ số bằng nhau : 2a b c d  a a 2b c d b  a b 2c d c  a b c 2d  d

Tính giá trị của biểu thức Ma bc d d ab c a bc d d ab c

Tam giác ABC cân tại C và C1000; BD là phân giác góc B Từ A kẻ tia Ax tạo

với AB một góc 300 Tia Ax cắt BD tại M, cắt BC lại E BK là phân giác góc CBD, BKcắt Ax tại N

a Tính số đo góc ACM

b So sánh MN và CE

lệ nghịch với 5,4,3 Hỏi mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc?

b) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x và y sao cho x1 và x2 là hai giá trị của x, y1 và y2

là hai giá trị tương ứng của y Biết x2 = 3, x1 + 2y2 = 18 và y1 = 12 Tính x1 và y2

Câu 5 (6,0 điểm).

Cho tam giác ABC có A 110 0, M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia

MA lấy điểm K sao cho MK = MA

11 112,75 2,2

5.1 Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC Kẻ AD // BM và AD = BM (M và

D khác phía đối với AB), trung điểm của AB là I Chứng minh rằng:

a) Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng

b) Chứng minh AM // DB

c) Trên tia đối của tia AD lấy AE = AD Chứng minh CE = BD

5.2 Trên cạnh BC của tam giác ABC, lấy các điểm E và F sao cho BE = CF Qua E

và F, vẽ các đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H

Chứng minh rằng EG + FH = AB

5 diện tích còn lại Diện tích còn lại của vườn sau khihai lớp trên nhận được đem chia cho ba lớp 7C, 7D, 7E với tỉ lệ 1

a) Chứng minh tam giác DEF đều

b) Chứng minh tam giác DIK cân

c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA tại M Chứng minh tam giácMAC đều

d) Tính độ dài AD biết CM = m và CF = n

Câu 5 (2,0 điểm).

Cho tam giác ABC cân tại B có A = 200 Từ B và C kẻ các đường thẳng cắt các cạnhđối diện ở D và E Biết CBD = 600, BCE = 500 Tính BDE

Câu 1 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng 3638 + 4143 chia hết cho 77

b) Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lí A = 13.2 2: 21 2 11 5

Cho hàm số y = m(3 – 2x) – 3 (m là số cho trước)

a) Xác định m biết đồ thị hàm số đi qua điểm A 1; 1

Câu 6 (5,0 điểm).

Cho tam giác ABC trên BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN qua M kẻ

MP // AP (P thuộc AB); MQ // AB (Q thuộc AC) và qua N kẻ NK // AB (Kthuộc AC)

Chứng minh rằng:

a) ∆BMP = ∆NCK

b) AP = MQ

c) MQ + NK = AB

(x, y, z ≠ 0; x + y + z ≠ 0) Tính giá trị của biểu thức: B = 2016.x + y2017 + z2017.

b) Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyển được 912m3 đất Trung bìnhmỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm được 1,2m3 ; 1,4m3 ; 1,6m3 Số học sinh khối

7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3, Số học sinh khối 8 và khối 9 tỉ lệ với 4 và 5 Tính số họcsinh mỗi khối

Cho tam giác ABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia

CB lấy điểm E sao cho BD = CE Kẻ BH  AD (H  AD), kẻ CK AE (K  AE)

x 2y z  2x y z  4x 4y z  (với điều kiện các mẫu thức khác 0).

b) Trên một công trường ba đội lao động có tất cả 196 người Nếu chuyển 1

3 sốngười của đội I, 1

4 số người của đội II và

1

5 số người của đôi III đi làm việc khác thì

số người của ba đội còn lại bằng nhau Tính số người của mỗi đội lúc đầu

Cho tam giác ABC, A = 600, tia phân giác của góc B và C cắt các cạnh đối diện ở

D và E, BD và CE cắt nhau ở O Tia phân giác của góc BOC cắt BC ở F

Chứng minh rằng :

a) OD = OE = OF

b) Tam giác DEF là tam giác đều

Câu 5 (3,0 điểm)

a) Tìm số dư của phép chia 109345 cho 7

b) Cho S = abc bca cab  Chứng minh rằng S không phải là số chính phương

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1

100.99 99.98 98.97    3.2 2.1b) Cho x 16 y 25 z 9

Câu 5 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho

MB = MC; N là trung điểm của BC Chứng minh rằng :

a) AM là tia phân giác của góc BAC ;

b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng ;

c) MN là đường trung trực của đoạn thẳng BC

ĐỀ 17:

Câu 1 (3,0 điểm)

b) Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203.

Câu 2 (3,0 điểm)

Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc như nhau Đội thứ nhất hoàn thànhcông việc trong 4 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 6 ngày Hỏi đội thứ ba hoànthành công việc trong bao nhiêu ngày, biết tổng số người của đội thứ nhất và đội thứ haigấp 5 lần số người của đội thứ ba

Câu 3 (3,0 điểm)

a) Cho tỉ lệ thức

d

c b

a

 Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)

b) Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11.

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC Trên tia đối của tia KA lấy

D, sao cho KD = KA