50 đề thi học sinh giỏi toán lớp 7

Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E.. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x ư 2006 + 2007 ư x Khi x thay đổi

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC

Đáp án đề 1 toán 7 Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

a) 1.16 2

8

n n

= ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)

Bài 3 (4 điểm mỗi câu 2 điểm)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x ư 2006 + 2007 ư x Khi x thay đổi

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 ≤ x ≤ 2007

Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có:

1 11

y x 1

y 12

x 1

12 y

12

=

=> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đường thẳng là 4 giờ

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh: AE =

BC (4 điểm mỗi)

Đường thẳng AB cắt EI tại F

∆ABM = ∆DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID⊥AC

Và FAI = CIA (so le trong) (1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) => ∆CAI = ∆FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)

và E FA = 1v (4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5)

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :

a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :

5 4 6 Biết rằng tổng các bình phương của ba số

……… Hết ………

Đáp án đề 2 toán 7

Bài 1:(4 điểm):

( )

1 23

x x

Vì ∆AMC = ∆EMB ⇒MAC = MEB

Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c )

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

A

C I

Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o

HBE

HEM

BME là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngoài của tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

suy ra DAB=DAC

∆ABC đều nên DBC =60 0

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra

Xét tam giác ABM và BAD có:

AB cạnh chung ; BAM = ABD= 20 ; 0 ABM =DAB= 10 0

Vậy: ∆ABM = ∆BAD (g.c.g)

P ( )x = x2 + 2mx + m2 vµ

200

M A

D

2 2

+

+ +

P

K T I

E

N M

D

C B

A

Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)

c/ Kéo dài MA cắt BC tại H Từ E hạ EP ⊥ MH

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 ( 2 điểm)

Thực hiện phép tính :

3

1 ( : 1 3

1 3 3

1

b-

( )3 2

2003 2

3

12

5 5 2

1 4

3 3 2

a

= với b,d khác 0 b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau

Câu 4 ( 3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200 Trên tia đối của tia CB lấy

điểm D sao cho CD = 2CB Tính góc ADE

Câu 5 ( 1điểm)

Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1

Đáp án đề 4

1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm

1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm

3 ) 1 (

+ +

= +

+ +

a

a a

a a

a là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :

1 2

1 2 1

y

x x

1 2

1 2 1

y

x x

y

VËy cã 2 cÆp sè x, y nh− trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi

0,25

0,25 0,25

0,25 3.a V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d)

Hay ad=bc Suy ra

d

c b

a

0,5

0,5 3.b Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ aaa=111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0)

Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã :

a a

n

n

37 3 111 2

) 1 (

=

= +

Hay n(n+1) =2.3.37.a VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ

= +

= +

0,5

0,5

Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB =

5 Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2

Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2

nguyên tố thoả mãn

Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2

chia hết cho 3 Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19

không thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm đ−ợc thoả mãn điều kiện đầu

bài là (2;3)

0,25 0,25

0,25 0,25

Đề số 5:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

Một con thỏ chạy trờn một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ

và đoạn đường cũn lại đi qua đầm lầy Thời gian con thỏ chạy trờn đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc của con thỏ trờn đoạn đường nào lớn hơn ? Tớnh tỉ số vận tốc của con thỏ trờn hai đoạn đường ?

Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm Từ H vẽ tia

Hx vuụng gúc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm

1, ∆ABC là ∆ gỡ ? Chứng minh điều đú

2, Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với

AH cắt AC tại E

Chứng minh: AE = AB

Đề số 6:

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4đ):

Cho cỏc đa thức:

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 3

16

1, Tớnh M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)

2, Tớnh giỏ trị của M(x) khi x = − 0, 25

3, Cú giỏ trị nào của x để M(x) = 0 khụng ?

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (3đ): Tớnh:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (5đ):

1, Tỡm n ∈ N biết (33 : 9)3n = 729

2, Tớnh :

A =

2

2

2 9

4 3

3 5

2 3

1 ) 4 ( , 0

ư

ư

ư

ư +

) 2007 (

c b

b a

+ +

Đề số 9:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

5

4 7 25 , 1 ).(

8 0 7 8 , 0

02 , 0 ).

19 , 8 81 , 11

=

B

Trong hai số A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?

b) Số A= 10 1998 ư 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?

Câu 2: (2 điểm)

Trên quãng đường AB dài 31,5 km An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A Vận tốc

An so với Bình là 2: 3 Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4

Tính quãng đường mỗi người đi tới lúc gặp nhau ?

Câu 3:

a) Cho f(x) =ax2+bx+c với a, b, c là các số hữu tỉ

Chứng tỏ rằng: f( ư 2 ).f( 3 ) ≤ 0 Biết rằng 13a+b+ 2c= 0

b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức

x

A

−

= 6

2 có giá trị lớn nhất

Câu 4: (3 điểm)

Cho ∆ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AB

a) Chứng minh rằng: ∆ABF = ∆ACE

b) FB ⊥ EC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm chữ số tận cùng của

9 9 0

Đề số 10:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm)

2005

1890 : 12

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3

5 5 , 2

75 , 0 1 5 , 1

ư

+ +

ư +

ư +

ư +

1

3

1 3

1 3

1 3

1

+ +

+ + + +

a) Chứng minh rằng nếu

d

c b

a

= thì

d c

d c b a

b a

3 5

3 5 3 5

3 5

b) Tìm x biết:

2001

4 2002

3 2003

2 2004

Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên

b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba đường cao tương ứng với ba cạnh

đó tỉ lệ với ba số nào ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia

CB lấy điểm E sao cho BD = CE Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB,

AC lần lượt ở M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay

đổi trên cạnh BC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số tự nhiên n để phân số

3 2

8 7

ư

ư

n

n có giá trị lớn nhất

Đề số 11:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm)

13

11 7

11 : 13

3 7

3 6 , 0 75 , 0

5 : 3

25 , 0 22 7

21 , 1 10

b) Tìm các giá trị của x để: x+ 3 + x+ 1 = 3x

Câu 2: (2 điểm)

a) Cho a, b, c > 0 Chứng tỏ rằng:

a c

c c b

b b a

a M

+

+ +

+ +

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P,

Q sao cho chu vi ∆APQ bằng 2

1

25

1 15

1 5

1

<

+ + + +

Đề số 12:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương đều có:

b) Biết

c

bx ay b

az cx a

b x

Cho ∆ABC có góc A bằng 1200 Các đường phân giác AD, BE, CF

a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ∆ADB

b) Tính số đo góc EDF và góc BED

Bài 5: (1 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:

2 2

5 1997

5 p + = p +q

Đề số 13:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

1 12 : 3

10 10

3 1

4

3 46 25

1 230 6

5 10 27

5 2 4

1 13

Bài 2: (3 điểm)

a) Chứng minh rằng: A= 36 + 38 41 33 chia hết cho 77

b) Tìm các số nguyên x để B= xư 1 + xư 2 đạt giá trị nhỏ nhất

c) Chứng minh rằng: P(x)=ax3+bx2+cx+d có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi

và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên

Bài 3: (2 điểm)

a) Cho tỉ lệ thức

d

c b

a

= Chứng minh rằng:

22 22

d c

b a cd

b a d c

b a

b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: 2 ưn 1 chia hết cho 7

Bài 4: (2 điểm)

Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P,

Q sao cho chu vi ∆APQ bằng 2 Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: 3a+ 2bM 17 ⇔ 10a+bM 17 (a, b ∈ Z )

Đề số 14:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

3

2002 2

2003 1

1

4

1 3

1 2 1

+ + +

+

+ + + +

t y

x t

z x

t z

y t

z y

x

+ +

= + +

= + +

= +

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên

z y

x t y x

t z x t

z y t z

y x P

+

+ + +

+ + +

+ + +

Đề số 15:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm)

Tính :

68

1 52

1 8

1 39

1 6 1

2

512 2

512 2

z z

x

y y

z

x

+ +

=

− +

= + +

= +

Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ là

AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy điểm M sao cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy điểm N thuộc Ay sao cho AN = AB Lấy điểm P trên tia AK sao cho AK = KP Chứng minh:

c b

a2 + 2 ≤ 2 ; n là số tự nhiên lớn hơn 0

Đề số 16:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1: (2 điểm)

Tính:

24

7 : 34

1 2

14 2

4

1 5 19

16 3 4

1 5 9

3 8

1 270

1 180

1 108

1 54

1 8

1 3

a) Tìm x, y, z biết:

3 2

y x

= ;

5 4

z y

= và x2 ư y2 = ư 16

b) Cho f(x) =ax2+bx+c Biết f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên

Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH ở miền ngoài của tam giác ABC

ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH)

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:

100 99

4 3 2 1

) 6 , 3 21 2 , 1 63 ( 9

1 7

1 3

1 2

1 ) 100 99

3 2 1

(

ư + +

ư +

+ + + +

=

A

7

5 5

2 25

2 3 10 1

) 15

4 ( 35

2 3 7

2 14

a) Tìm x, y, z biết

216

3 64

3 8

1

102

1 101

1 200

1 99

1

4

1 3

1 2

1

Đề số 18:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm)

a) Thực hiện phép tính:

7 , 0 875 , 0 6

1 1

5

1 25 , 0 3 1

11

7 9

7 4 , 1

11

2 9

2 4 , 0

1 28

1 3

1 15

1 10

5

Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thức f(x) =ax2 +bx+c (a, b, c nguyên)

CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3

b) CMR: nếu

d

c b

a

= thì

bd b

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức:

50

31 93

14 1 3

1 5 12 6

1 6

5 4

19

2 3

1 6 15 7

3 4 31

11 1

1

3

1 3

1 2

2 3

a

= Chứng minh rằng: 22

) (

) (

d c

b a cd

c) Từ A và D vẽ các đường thẳng vuông góc với BE, các đường thẳng này cắt BC lần lượt ở K và H Chứng minh rằng KH = KC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số nguyên tố p sao cho:

3p2 + 1 ; 24p2 + 1 là các số nguyên tố

Đề số 20:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2 điểm)

a) Thực hiện phép tính:

3

11 7

11 2 , 2 75 , 2

13

3 7

3 6 , 0 75 , 0

+ +

ư

+ +

ư

=

) 281 1 ( 251 3 ) 281 3 251

az cx a

b x

Cho ∆ABC vuông cân tại A Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI là phân giác của

∆ABD, đường cao IM của ∆BID cắt đường vuông góc với AC kẻ từ C tại N

Tính góc IBN ?

Câu 5: (2 điểm)

Số 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ?

Đề số 21:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức

ư +

ư

ư +

ư

+ +

ư

=

75 , 0 1 5 , 1

25 , 1 3

5 5 , 2 12

5 11

5 5 , 0 625 , 0

12

3 11

3 3 , 0 375 , 0 : 2005

P

b) Chứng minh rằng:

10 9

19

4 3

7 3 2

5 2 1

3

2 2 2

2 2 2 2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x x

D= 2004 ư + 2003 ưCâu 3: (2 điểm)

Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi được nửa quãng

đường ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳng không chứa C có

bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC Chứng minh rằng:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức:

13 : ) 75 , 2 ( 53 , 3 88 , 0 : 25 11

4

3 125 505

, 4 3

4 4 : 624 , 81

2

2 2

1 2

1

2

1 2

1

2

1 2

1 2

1

2004 2002

4 2 4 6

101 10

4

2005 = xư + xư + x+ + x+ + x+b) Cho p > 3 Chứng minh rằng nếu các số p, p + d , p + 2d là các số nguyên tố thì d chia hết cho 6

Bài 3: (2 điểm)

a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong một số ngày Một bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3

Điều đó đúng hay sai ? vì sao ?

b) Cho dãy tỉ số bằng nhau:

d

d c b a c

d c b a b

d c b a a

d c b

= + + +

= + + +

= + + +

Tính

c b

a d b a

d c a d

c b d c

b a M

+

+ + +

+ + +

+ + +

+

=

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt nhau tại I

a) Tính các góc của ∆DIE nếu góc A = 600

b) Gọi giao điểm của BD và CE với đường cao AH của ∆ABC lần lượt là M và N Chứng minh BM > MN + NC

2

2 + + + + + + z+x+y ≤

z x

z y

y z

y x x

Đề số 23:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm x biết: x2 + 6xư 2 = x2 + 4

b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức:

t y

x t

z x

t z

y t

z y

x

+ +

= + +

= + +

= +

CMR biểu thức sau có giá trị nguyên:

z y

x t y x

t z x t

z y t z

y x

P

+

+ + +

+ + +

+ + +

1 Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC

Chứng minh tam giác CED là tam giác cân

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

z c

b a

y c

b a

= +

Thì

z y x

c z

y x

b z

y x

= +

Bài 3: (2 điểm)

Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11km để đi đến C (ba địa

điểm A, B, C ở cùng trên một đường thẳng) Vận tốc của người đi từ A là 20 km/h Vận tốc của người đi từ B là 24 km/h

Tính quãng đường mỗi người đã đi Biết họ đến C cùng một lúc

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH Vẽ các

điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC

Tính số đo các góc AIC và AKB ?

Bài 5: (1 điểm)

Cho x = 2005 Tính giá trị của biểu thức:

1 2006 2006

2006 2006

x

Đề số 25:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 ( 2đ) Cho:

d

c c

b b

c b a

+

Câu 2 (1đ) Tìm A biết rằng:

A =

a c

b b a

c c b

a

+

= +

ư

x

x Câu 4 (2đ) Tìm x:

a) xư 3 = 5 b) ( x+ 2) 2 = 81 c) 5 x + 5 x+ 2 = 650

Câu 5 (3đ) Cho
ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM E ∈ BC,

BH,CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE) Chứng minh
MHK vuông cân

Đề số 26:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: (2đ)

a, K là trung điểm của AC

a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải 2

b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải 3

c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải 4

Em hãy xác định thứ tự đúng của giải cho các bạn

Đề số 27:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 2: (4 điểm): Cho a c

Bài 3:(4 điểm) Tỡm x biết:

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trờn cỏc cạnh hỡnh vuụng Trờn hai cạnh đầu vật

chuyển động với vận tốc 5m/s, trờn cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trờn cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hỡnh vuụng biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trờn bốn cạnh là 59 giõy

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú A 20 = 0, vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC) Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M Chứng minh:

c) Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC

d) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tỡm x y ∈, biết: 25 ưy2 = 8(xư 2009) 2

-

Đề số 28:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 Tính 1 1 1 1

1.6 +6.11 11.16+ + + 96.101

Bài 2 Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 1 1 1

x + y = 5Bài 3 Tìm hai số dương biết: tổng, hiệu và tích của chúng tỷ lệ nghịch với các số 20,

Đề số 29:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a ≤4

3 2

x =y −y zCâu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:

đề thi học sinh giỏi

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1: So sánh các số:

a Chứng minh tam giác AED cân

b Tính số đo góc ACD?

Một số kinh nghiệm nhỏ về tìm chử số tận cùng và ứng dụng vào các bài toán chứng minh chia hết của các lớp 6,7

I phần mở đầu : Tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa

đây là những bài toán tương đối phức tạp của học sinh các lớp 6,7 nhưng lại là những bài toán hết sức lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các

em ngày càng yeu môn toán hơn có những bài có số mủ rất lớn tưởng như là mình không thể giãi được Nhưng nhờ phát hiện và nắm bắt được qui luật , vận dungj qui luật đó các

em tự giãi được và tự nhiên thấy mình làm được một việc vô cùng lớn lao từ đó gieo vào trí tuệ các em khả năng khám phá , khả năng tự nghiên cứu

Tuy là khó nhưng chúng ta hướng dẩn các em một cách từ từ có hệ thống ,lô rích và chặt chẻ thì các em vẩn tiếp fhu tốt đây là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi muốn trình bày và trao

đổi cùng các bạn

II Nội dung cụ thể :

1 Lí thuyết về tìm chử số tận cùng : phần này rất quan trọng , cần lí giải cho học sinh một cách kỉ lưởng ,đầy đủ

( )X0 n =A0 một số có tận cùng là 0 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 0

( )X1 n = B1 một số có tận cùng là 1 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 1

( )X5 n = C5 một số có tận cùng là 5 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 5

( )X6 n = D6 một số có tận cùng là 6 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 6

X5*a = F0 với a chẳn : một số có tận cùng là 5 khi nhân với mmột số chắn sẻ có chử số tận cùng là 0

x5 *a = N5 với a lẻ : một số có tận cùng là 5 khi nhân với một số lẻ sẻ có tận cùng là 5 Qua các công thức trên ta có quy tắc sau : Một số tưn nhiên có chử số tận cùng là : (0,1,5,6) khi nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên thì có chử số tự nhiên không thay đổi Kết luận trên là chìa khoá để giả các bài toán về tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa

2 Các bài toán cơ bản

Bài toán 1 : Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau

a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100

Ta nhận thấy các luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc về dạng cơ bản đả trình bày ở trên

nay còn lại các luỷ thừa mà cơ số là 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9

Muốn giãi các bài toán này thì ta phai đưa chúng về một trong 4 dạng cơ bản trên thực chất chỉ có đưa về hai dạng cơ bản đó là : ( )X1 n = M1 , ( )X6 n = N6

giải bài toán 1

a) 2100 = 24*25 = (( )2 4)25 = (16)25 = A6

Nếu một số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẻ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chử số tận cùng của tổng là 4)

Các bài toán cụ thể : Hảy chứng minh

Như vậy 16281997 + 12921997 M 10 (vì chử số tận cùng của tổng này sẻ là 0)

Ta củng có thể vận dung hiệu của hai số hoặc tích của hai số để ra các bài toán chứng minh tương tự

III Kết luận : Trên đây tôi đã trình bày phần cơ bản của vấn đề tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa và những ứng dụng của nó trong bài toán chứng minh chia hết trong tập hợp

số tự nhiên

Trong những năm học qua tôi đã trực tiếp hướng dẩn cho một số học sinh các em tỏ ra rất thích thú và xem đó như là những khám phá mới của chính các em với cách đặt vấn đề như trên các em đã tự ra đề được và có nhiều bài rất hay

Cách đặt vấn đề cung như trình bày nội chắc sẻ không tránh khỏi phần sai sót mong các đồng nghiệp góp ý chân thành