Chuyên đề tìm chữ số tận cùng của lũy thừa

Chuyên đề: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừaA.. Kiến thức cơ sở 1.

Chuyên đề: Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa

A Kiến thức cơ sở

1 Tìm một chữ số tận cùng

Để tìm một chữ số tận cùng của một lũy thừa ta cần chú ý rằng:

- Các số có tận cùng là 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa n (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng:

( 0)n  0 ; ( 1)n  1 ;  5n  5 ; ( 6)n  6 (n N *)

- Với các số có tận cùng là 4; 9 có sự khác nhau khi ta nâng lên lũy thừa bậc chẵn

và lẻ

( 4)2n  6 ; ( 4)2n1 4 (n N *)

( 9)2n  1 ; ( 9)2n1 9 ( (n N *)

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

2016

17 ; 132016 ; 567

8 ; 2424 24 HD:

 172016 (17 )2 1008 ( 9)1008  1





8 8 8 (8 ) 8 (64) 8 ( 4).8 2   

 24 là số chẵn nên 24 242424 có tận cùng là 6

Ví dụ 2: Tìm chữ số hàng tận cùng của

A = 152012  72012 182012 Hỏi A có chia hết cho 10 không?

HD: 152012 có tận cùng là 5

Do đó A = (…5) – (…9) – (…6) = …0

Vì A có tận cùng là 0 nên A chia hết cho 10

Ví dụ 3: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n

a) A = 92n  chia hết cho 51

b) B = 24n + 4 chia hết cho 10 ( n 1 )

HD: a) Vì 92n có tận cùng là 1 nên A có tận cùng là 0 do đó A chia hết cho 5

b) Ta có

2 n 2 n (2 ) n (16) n  6 (n 1 )

Do đó B có tận cùng là 0 dẫn tới B chia hết cho 10

2 Tìm hai chữ số tận cùng

+) ( 00)n  00 , ( 01)n  01, ( 25)n  25 , ( 76)n  76

+) Các số 4 ;16 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74 có tận cùng bằng 7610 5 5 4 2 4 2

+ Các số 3 ;9 ;81 ;7 ;51 ;99 có tận cùng là 0110 10 5 4 2 2

+) Mở rộng: x 100k n (x, k, n thuộc tập hợp số tự nhiên và khác 0) có hai chữ số tận cùng giống với hai chữ số tận cùng của x n

Ví dụ

1 Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 62016, 51 51

HD: Ta đã biết 6 có tận cùng bằng 76 và số tận cùng bằng 76 khi nâng lên lũy thừa có 5 tận cùng là 76 do đó ta có : 62016 62015.6 (6 ) 6 ( 76) 6 ( 76).6 56 5 403  403   Tương tự câu trên ta có

51 51 51 (51 ) 51 ( 01).51 51  

2 Tìm hai chữ số tận cùng của

a) 512n ,512 1n (n N *)

b)

66

6 ,6n n ,6 (n N*)



HD: a/ 512n (51 )2 n ( 01)n  01

51 n 51 51 ( 01).51 51n

b/65n (6 )5 n ( 76)n  76

6 n (6 ) 6 ( 76) 6 ( 76).6 56n n

66 là số chia 5 dư 1 nên khi lũy thừa 66 lên cũng là một số chia 5 dư 1 do đó 66 là 66

số có dạng 5n+1 Vậy 66666 có tận cùng là 56

3 Tìm ba chữ số tận cùng

( 001)n  001 , ( 376)n  376 , ( 625)n  625 (n N *)

Mở rộng: x 1000k n (x, k, n thuộc tập hợp số tự nhiên và khác 0) có 3 chữ số tận cùng giống với ba chữ số tận cùng của x n

Ví dụ:

1 Tìm ba chữ số tận cùng của

a) 52000

b) 2 473n n

HD: a/ 52000 (5 )4 500 (625)500  625

b/ 2 473n n (2 ) 473 n n 8 47n n (8.47)n 376n  376

2 Chứng tỏ rằng

a/ 54n+375 chia hết cho 1000 (n N * , n  )1

b/ 2001n2 473n n252n có tận cùng là 002 (n N n *, 1)

Bài tập

1 Tìm hai chữ số tận cùng của:

a) 3512011

b) 218218

c) 992n , 992 1n ,

99

99

99 (n N *) d) 7 99

e) 22003 , 72015

f) 5766

2 Tìm hai chữ số tận cùng của A 3999  2999

3 Tim số dư của phép chia 3 cho 25517

4 Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng :

a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002

b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003

5 Tìm ba chữ số tận cùng của 23n3.47n2 (n N * )