HGS TOÁN 9 NAM đàn 2018 2019

c, Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên.. Tìm vị trí điểm H trên đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó.. 2, Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh

PHÒNG GD&ĐT NAM ĐÀN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN 9

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (5 điểm ): Cho biểu thức: A =

a, Rút gọn biểu thức A

b, Tính giá trị của A khi

c, Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên

Bài 2 (4,5 điểm ):

a, Chứng minh thì

b, Giải phương trình

c, Tìm số tự nhiên có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là 1 lập phương

Bài 3 (4 điểm ):

a, Tìm các số thực x để và đồng thời là các số nguyên

b, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 4 (6,5 điểm ):

1, Cho ABC vuông tại A, có trung tuyến AM, đường cao AH Trên cùng 1 nửa

mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ 2 tia Bx, Cy cùng vuông góc với BC Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt Bx và Cy lần lượt tại P và Q Chứng minh:

a, AP = BP và AQ = CQ

b, PC đi qua trung điểm của AH

c, Khi BC cố định, BC = 2a, điểm A chuyển động sao cho góc BAC bằng 90 Tìm

vị trí điểm H trên đoạn thẳng BC để diện tích ABH đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó

2, Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của 1 tam giác nhỏ hơn 1 thì diện tích

tam giác nhỏ hơn

Họ và tên thí sinh SBD

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 NĂM HỌC: 2018-2019 THỨ

Bài 1

(5đ)

a (2đ)

Rút gọn được:

0,5đ 1,5đ

b

(1,5đ)

thỏa mãn ĐK Thay vào A tính được

0,5đ 1đ

c

(1,5đ)

•

Mà

• Thay A vào (1) tìm được

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 2

(4,5đ)

a

(1,5đ)

•

• Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau

0,5đ 0,5đ 0,5đ

b

(1,5đ)

• ĐK Chuyển vế, 2 vế không âm bình phương ta

có



• Để PT có nghiệm thì

• Đối chiếu ĐK => x = 2 thỏa mãn bài toán

0,5đ

0,5đ 0,5đ

c

(1,5đ)

• Gọi số chính phương cần tìm

Vì vừa là số chính phương vừa là 1 lập phương

• Vì => y là số chính phương

 10 và y chính phương

• Tìm được y=16 => = 4096

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 3

(4đ) a (2đ)

• Đặt

Từ (1) =>

Thay vào (2) =>

• Biến đổi đưa về

Vì => => m = n

=>

• Với m = n =4 =>

• m = n =

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ

b (2đ)

• Vì a,b,c là các số thực dương và a + b + c = 1



• Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

+ 3

( Do a + b + c = 1 )

• =>

0,5đ 1đ

0,5đ

Bài 4

(6,5đ)

1a

(2đ)

• Do ABC vuông tại A nên MA=MB=MC

• Từ đó các cặp tam giác vuông sau bằng nhau:

(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

• => PA=PB; QA=QC

0,5đ 1đ 0,5đ

1b

(1,5đ)

Gọi giao điểm của PC và AH là I

• Vì IA//QC và QA=QC nên ta có:

• Mặt khác ta có:

( Vì AI//QC ); ( Vì IH//PB)

• Từ đó ta có: , suy ra IH=IA (vì PA=PB)

0,5đ 0,5đ 0,5đ

1c

(1,5đ) • Ta có



• Lại có vuông tại A có AH là đường cao

 ( Hệ thức trong tam giác vuông )

• =>

•

• Suy ra

0,25đ 0,25đ

0,5đ

0,25đ

0,25đ

 Giá trị lớn nhất của khi BH = 3HC hay

2,

(1đ)

• Vẽ tam giác ABC đường cao BH

• Gọi A là góc nhỏ nhất của =>

• Ta có

• Do đó

1đ

Chú ý: Thí sinh làm bài theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

HUYỆN Ý YÊN NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN : TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề gồm 01 trang)

Câu 1 (6,0 điểm)

1 Rút gọn biểu thức: 2 + 3 + 2 − 3.

2 Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

+ + = + +

3 Cho biểu thức A x 1 xy x 1 : 1 xy x x 1

1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Cho 1x + 1y =6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Câu 2 (5,0 điểm)

1 Giải phương trình:12x 2 − 3x 1 − = 3x 1 +

2 Giải hệ phương trình:

2

x xy 2y 0

.

x 5y 4 0







Câu 3 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức:

2x + 4x 19 3y = −

Câu 4 (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A bất kỳ nằm

trên đường tròn (A không trùng với B và C) Kẻ AH⊥BC (H∈BC);HM⊥AB (M∈

AB); HN⊥AC (N∈AC).

1 Chứng minh: sin 2AMN· + cos OAC 2· = 1và  

=  ÷

3

2 Gọi D là điểm nằm giữa O và C;Kẻ DE⊥AB (E∈AB);DF⊥AC (F∈AC).

Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC

3 Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN đạt giá trị lớn nhất Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R

Câu 5 (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 1 1 1 1

1 x 1 y 1 z + + =

Chứng minhrằng: x y z 3 xyz.

2

……….Hết …….……

Họ tên thí sinh:……… Chữ ký giám thị 1:

………

Số báo danh:……… Chữ ký giám thị 2:

………

HƯỚNG DẪN CHẤMKHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 MÔN

TOÁN NĂM HỌC 2018 - 2019

Câu 1 ( 6, 0điểm)

1 (1,0 đ).Rút gọn 2 + 3 + 2 − 3.

Ta có

2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1)

( 3 1 3 1) 6 2 3 2 3 6

0,5 0,5

2 ( 2,0 đ) Cho ba số a, b, c khác 0 và a + b + c = 0 Chứng minh rằng:

+ + = + +

Ta có

2

2

0,5

2

1 1 1

2 a b c

+ +

0,5

2

1 1 1

a b c

3.(3,0 đ) Cho biểu thức A x 1 xy x 1 : 1 xy x x 1

với x, y > 0; xy ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức A

b) Cho 1x + 1y =6 Tìm giá trị lớn nhất của A.

a)(2,0đ)Với x, y > 0; xy ≠ 1có:

x 1 1 xy xy x xy 1 xy 1 1 xy

xy 1 1 xy

=

xy 1 1 xy xy x xy 1 x 1 1 xy

xy 1 1 xy

=

( x 1 1xy 1 1) ( xyxy) ( xyxy xx) ( xy 1xy 1) ( xy 1 1x 1 1)( xyxy)

2 2 x 1

2x y 2 xy xy

+

b) (1,0đ) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương 1x; 1y , ta có:

x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ (do 1 1 6

x + y = )

0,5 Dấu bằng xảy ra ⇔

 =







⇔ x = y = 1

9(thỏa mãn)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 9 tại x = y = 1

Câu 2.( 5,0 điểm)

1.(2,5đ) Giải phương trình 12x 2 − 3x 1 − = 3x 1 +

3

2

2

12x 3x 1 3x 1

12x 3x 1 3x 1(ÐK:12x 3x 1 0)

144 72 15 3 0

0,5

144 72 15 3 0

0( )

144 72 15 3 0(1)

=





0,5

2

(1) 4 1 36 27 3 0

1

( )

4

36 27 3 0(2)

 = −



⇔ 

− + =



0,5đ

Giải (2) tìm được hai nghiệm 1 27 297( ); 2 27 297( )

2.(2,5 đ) Giải hệ phương trình ( )

2

x xy 2y 0

.

x 5y 4 0 *



 + + =



x +xy− y = ⇔ x y x− + y =

khi đó ta được x = y hoặc x = -2y

0,5 0,5 Với x = y thay vào phương trình (*) ta được pt y2 +5 y +4 = 0

Giải phương trình, tìm được y = -1; y = -4

Từ đó tìm được x

0,5 0,25

Với x = -2y thay vào phương trình (*) ta được 4y2 + 5y + 4 = 0 Chứng minh

phương trình này vô nghiệm

KL nghiệm của hệ

0,5đ

0,25đ

Câu 3 (2,0 điểm).

Tìm tất cả các giá trị x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + 4x= 19 3 − y2

2x + 4x= 19 3 − y <=>2x2 + 4x+ = 2 21 3 − y2 ⇔ 2(x+ 1) 2 = 3(7 −y2 )(1) 0,5 Với x, y nguyên thì vế trái của (1) chia hết cho 2 nên từ (1) có:

3(7 −y ) 2 M ⇒ − 7 y M 2 ⇒y lẻ

0,5

Ta lại có 7 − y2 ≥ 0nên chỉ có thể y2 = 1 Khi đó 2(x+ 1) 2 = 18 0,5

Ta được: x + 1 = ± 3, do đó: x1 = 2;x2 = − 4 0,25 Các cặp số (2 ; 1), 2 ; -1), (-4 ; 1), (-4 ; -1) thỏa mãn (1) KL …… 0,25

Câu 4 (5,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Một điểm A bất

kỳ nằm trên đường tròn (A không trùng với B và C) Kẻ AH⊥BC (H∈BC);HM

⊥AB (M∈AB); HN⊥AC (N∈AC).

1 Chứng minh: sin 2·AMN+ cos OAC 2· = 1và  

=  ÷

3

2 Gọi D là điểm nằm giữa O và C; Kẻ DE⊥AB (E∈AB);DF⊥AC (F∈

AC) Chứng minh: DB.DC = EA.EB + FA.FC

3 Xác định vị trí điểm A trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác AMHN

đạt giá trị lớn nhất Khi đó hãy tính diện tích tứ giác AMHN theo R

CM được AC2 = CH.BC ; AB2 = BH.BC Do đó ⇒ (1) 0,5

CM được CH2 =CN.AC ; BH2 = BM AB Kết hợp với (1) ⇒ 0,5

0,25

⇒ (đpcm)

2.(1,5đ) Xét tam giác ABC với DF // AB( vì DF ⊥ AC, DE ⊥ AB), theo định lí

Talet ta có ( vì CM được DF = AE)(2)

0,5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau có:

0,25

3.(1,5đ) CM được AMHN là hình chữ nhật ⇒ SAMHN = AM.AN (4) 0,25

CM được AH2 = AM.AB ⇒ AM = (5)

CM tương tự có AN= (6)

0,5

Vậy giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AMHN là Khi đó điểm A thuộc

đường tròn (O), sao cho ABC vuông cân tại A

0,25

Câu 5 (2,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: 1 1 1 1

1 x 1 y 1 z + + =

Chứng minhrằng: x y z 3 xyz.

2

Ta đặt 1 , 1 , 1

1 x =a 1 y =b 1 z =c

+ + + (ĐK: a b c, , >0)

0,5

2

2

b c c a + c a a b + a b b c ≤

0,5

2

1

2

0,5

1

2

Vậy BĐT(*) luôn đúng, suy ra đpcm

0,5