Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: A.. Tìm tọa độ điểm D, để tứ giác ABDC là hình chữ nhật.. Cho x y, là các cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 2.. Cho tam giác đều ABC nội t
Trang 1PHÒNG GD &ĐT
HUYỆN TAM NÔNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học: 2018 - 2019 Môn: Toán
I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm)
Hãy chọn các phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm
2
(x x 1) : (x ) 2(x ) 3
(Với x 0) Để A đạt giá trị nhỏ nhất thì x bằng:
A 1
3
3
Câu 2 Cho P = ( 1 12 ).( 12 1 1)
Giá trị của P khi x = 0,201920192019… là:
A - 1 B 1 C 2 D -2
Câu 3 Cho điểm A(1;2); B(-3;-4): C(3;4) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
là:
A ( 1 2;
3 3
) B (1 2;
3 3 ) C (1; 2
3 3 ) D Một kết quả khác
Câu 4 Cho bốn điểm A(2 9;
5 5 ), B( 2 11;
5 5
), C( 6; 7
5 5
), D cùng thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm tọa độ điểm D, để tứ giác ABDC là hình chữ nhật
A (-2;1) B (-1;-2) C (-2;-1) D (2;1)
Câu 5 Giá trị của m, để khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng
y = (1-m)x + 3 lớn nhất:
A m = 2 B m = 1 C m = -1 D m = 0
Câu 6 Biết phương trình x2 +ax+b=0 có hai nghiệm nguyên dương và 5a + b =22 Hai nghiệm nguyên dương đó là:
A S 3;5 B S 12;17 C S 18; 40 D S 6;52
Câu 7 Gọi x x1 ; 2 là hai nghiệm của phương trình 2
2
1 0
m
Giá trị nhỏ nhất của 4 4
1 2
A x x là:
A 4 2 2 B.4 2 2 C 3 2 2 D.3 2 2
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Câu 8 Cho phương trình (x 1) 4 (m 1)(x 1) 2 m2 m 1 0 (1) Tìm m để phương (1) có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2 thỏa mãn x1 x2 2 :
2m2 D 1 2 5 1 2 5
Câu 9 Cho x y, là các cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là 2 Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 4
A 2 6
9 B 6
3 C 3 6
9
Câu 10 Cho tam giác ABC có góc A tù Các đường trung tuyến AM, đường cao
AH khi đó :
2
Tan HAM Cot A Cot C
2
Tan HAM Cot B Cot C
2
Tan HAM Cot C Cot B
2
Tan HAM Cos A Cos C
Câu 11 Cho tam giác nhọnABC các đường cao AH , BK, CL Khi đó:
A S ABC S HBL.Cos B2 B S ABC S HKL.Cos C2 C S HKC S ABC.Cos C2 D S ALK S ABC.Cos A2
Câu 12 Cho tam giác ABC các đường trung tuyến AM, BE, CF có độ dài tương
ứng bằng 5 cm, 4cm, 3cm khi đó độ dài cạnh BC là:
A 8
3 cm B 10
Câu 13 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có AB=8cm, AC=15cm,
đường cao AH =5cm (HBC) Bán kính của đường tròn là:
A R 9cm B R 12cm C R 13cm D R 11 cm
Câu 14 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R), trên cung nhỏ BC lấy
điểm M Giá trị lớn nhất của MA MB MC là:
A 4R B 2R C 3R2 D 2,5R2
Câu 15 Cho hình vuông ABCD, O thuộc đoạn AC Đường tròn tâm O tiếp xúc với
các đường thẳng AB, AD và cắt mỗi cạnh BC, CD thành hai đoạn có độ dài 2 cm
và 23 cm bán kính của đường tròn là:
A 37cm B 35cm C 17cm D 20cm
Câu 16.
Ông An có một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD, AB=80m, AD=30m Ông dự tính chia mảnh vườn làm ba gồm các mảnh hình tam giác ADE, ABE, BEC với E trên cạnh DC sao cho mảnh hình tam giác ABE có chu vi nhỏ nhất Khi ấy chu vi
cả hai mảnh ADE và BCE là
A 140m B 240m
C 180m D 160m
II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).
Trang 3Câu 1: (3,0 điểm)
a) Tìm x, y là các số tự nhiên sao cho: x2 y4 6y3 11y2 6y
b) Cho x, y, z là các số thực sao cho (x y y x z x )( )( ) 0 và
2
x y z
tính giá trị biểu thức:
P x y z x x y z y x y z z
Câu 2: (3,5 điểm)
a) Giải phương trình: 3(2 x 2 ) = 2x+ x 6
b) Giải hệ phương trình:
2
Câu 3:( 4,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC , đường cao AH , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC Gọi
P và Q là hình chiếu của M trên hai cạnh AB và AC; I là trung điểm của AM a) Tìm vị trí của M trên BC để đoạn thẳng PQ có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất
b) Gọi O là giao điểm của IH và PQ Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh
BC thì MO luôn đi qua một điểm cố định
Câu 4: (1 điểm)
Với các số thực x,y,z dương thỏa mãn: x y z 3 Chứng minh rằng:
3
3x y 3z 3
yz zx xy
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN LẦN 2
Năm học: 2018 - 2019 Môn: Toán 9
I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời đúng được 0,50 điểm
Trang 4Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đáp
II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Tìm x, y là các số tự nhiên sao cho: x2 y4 6y3 11y2 6y
b) Cho x, y, z là các số thực sao cho (x y y x z x )( )( ) 0 và
2
x y z
tính giá trị biểu thức:
P x y z x x y z y x y z z
a) x2 y4 6y3 11y2 6y x2 y y( 2)(y 1)(y 3)
2 ( 2 3 )( 2 3 2) 2 2 2
2
nên x2không thể là số chính phương
0,25 0,5 0,25 0,25 Vậy: ( ; ) (0;0)x y
0,25
B, Đặt x+y=a, y+z=b, z+x=c khi đó a,b,c khác không và:
2
1 1 1
a b c
0,25 0,25
0,25
Câu 2(3,5 điểm)
a) Giải phương trình: 3(2 x 2 ) = 2x+ x 6
b) Giải phương trình:
2
Nội dung
a) ĐKXĐ: x 2
Trang 5Đặt t = x 2 (t 0 ) x t 2 2
Phương trình (1) 3(2 t) 2(t 2 2) t2 8 2t2 3t 2 t2 8
2
1
2 2
3 3 1 0
t
2
1
2
1
2
1
(t 1)(t 1)(t 3t 1) 0 3 5 2
2
t
t t
t
t t
Với t = 1 x 2 1 x 3 (T/m ĐKXĐ);
Với t= 3 5
2
2
Vậy tập nghiệm S = 3;11 3 5
2
b) Ta có :
2
Nếu x = 0 y 0 Do đó (x:y)=(0;0) là một nghiệm của hpt 0,25
2 2
3 0
3 5 0
y
x Hpt
y
x
0,25
Đặt u=x y
x
; v = y 3 2 0
2 0
u v Hpt
1 1
u v
hoặc 2
2
u
v
0,5
TH 1: u v 11
4 1
4 0
3 1
x x
y
TH 2: u v 22
2
1
2 1 0
3 2
x x
x
y
y
0,25
Trang 6Vậy hpt có nghiệm (x;y) là: x y11
hoặc x y00
Câu 3(4,5 điểm)
điểm
Hình vẽ
F O
I T
E
J P
C Q K
PQ AM AC
PQ lớn nhất bằng AC khi M trùng B hoặc trùng C
PQ
AM PQ AM.sin 60 AH.sin 60
PQ nhỏ nhất bằng AH 3
2 khi M trùng với H.
0,5
0,5
0,5
0,5
3b Các điểm A, P, H, M, Q đều nằm trên đường tròn đường
kính AM
Tứ giác: APHQ nội tiếp mà PAH HAQ PH HQ.
Ta có: HP=HQ, IP=IQ => IH đi qua O
Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
E, F lần lượt là giao điểm của BK và PM, CJ và MQ
Dễ thấy tứ giác METF là hình bình hành
EF//PQ
MP MQ 3
Gọi N là trung điểm của EF Theo bổ đề hình thang ta có
T, O, N, M thẳng hàng Vậy MO luôn đi qua điểm T cố
định khi M di động trên BC
0,25 0,5
0,5 0,5
0,5
Câu 4: (1 điểm)
Với các số thực x,y,z dương thỏa mãn: x y z 3 Chứng minh rằng:
3
3x y 3z 3
yz zx xy
Trang 7Nội dung cần đạt Điểm
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương:
y z z x x y
yz zx xy y z z x x y
0,25
0,25 0,5