Khi xe đạp bắt đầu khởi hành thì có một xe máy cách A 40 km, đi đến A rồi trở về B ngay.. Lấy C là trung điểm của đoạn AO.. Đờng thẳng Cx vuông góc với AB; Cx cắt nửa đờng tròn O tại I..
Trang 1đề thi thử vào lớp 10 môn Toán-Năm học: 2008-2009
Bài 1:(2,5 điểm)
Cho biểu thức: P =
1
) 1 ( 2 2
1
2
−
− + +
− +
+
−
x
x x
x x x x
x x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: :(1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = - x2 và đờng thẳng (d): y = kx – 1
a) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B b) Gọi hoành độ của A và B là x1 và x2 Chứng minh rằng x1 −x2 ≥ 2
Bài 3: :(2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Hai tỉnh A và B cách nhau 60 km Có một xe đạp đi từ A đến B Khi xe đạp bắt đầu khởi hành thì có một xe máy cách A 40 km, đi đến A rồi trở về B ngay Tìm vận tốc của mỗi xe, biết xe máy về B tr ớc xe đạp
40 phút và vận tốc xe máy hơn vận tốc xe đạp là 15 km/h
Bài 4: :(0,5 điểm)
2
1 1
2 =
−
+
x x
Bài 5 :(3,5 điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Lấy C là trung điểm của đoạn AO Đờng thẳng Cx vuông góc với AB; Cx cắt nửa đờng tròn (O) tại I K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn CI ( K khác C và I) Tia AK cắt nửa đờng tròn đã cho tại M Tiếp tuyến với nửa đờng tròn tại M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D
a) Chứng minh 4 điểm A,C,M,D cùng thuộc một đờng tròn
b) Chứng minh ∆ MNK cân
c) Khi K di động trên đoạn CI thì tâm của đờng tròn ngoại tiếp ∆ AKD di chuyển trên đờng nào?
Biểu điểm và đáp án Bài 1: (2,5 điểm) Điều kiện để P có nghĩa là: x > 0; x ≠ 1 0,25 đ a) Biến đổi đợc P =
1
) 1 )(
1 (
2 ) 1 2
( 1
) 1 ( 3
−
+
− +
+
− + +
−
x
x x
x
x x x
x
x x
0,
5 đ
P = x( x− 1 ) − ( 2 x+ 1 ) + 2 ( x+ 1 )
0,25 đ
P = x - x - 2 x - 1 + 2 x + 2 0,25 đ
P = x - x + 1 0,25 đ
b) P = 3 ⇔ x - x + 1 = 3 ⇔ x - x + 1 – 3 = 0 ⇔ x - x -2 = 0 0,25đ Giải PT ra x = 4 0,25đ
c) - Biến đổi đợc P =
4
3 ) 2
1 ( x − 2 + 0,25đ
- Lập luận P
4
3
≥ Từ đó tính Min P =
4
3
⇔
2
1
−
x = 0 ⇔ x =
4
1
0,25đ
Bài 2: (1 đ)
∆ = k2 + 4 ≥ 4 > 0 với ∀k ⇒ Phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀k ( 0,25đ)
⇒ Đờng thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1,y1) và B(x2;y2)
với x1 ≠ x2 là 2 nghiệm của phơng trình (1) 0,25đ
(Hoặc lập luận : PT (1) có a và c trái dấu nên luôn có 2 nghiệm phân biệt)
Trang 2Theo định lý Viét, ta có:
−
=
−
=
+
1
2 1
2 1
x x
k x
x
⇒ S2 = k2 + 4 ≥ 4 với ∀k
Mà S > 0 ⇒ S ≥ 2 ⇔ k = 0 0,25đ
Bài 3: (2,5đ) : Gọi vận tốc của ngời đi xe đạp là x (km/h) ( x > 0) 0,25đ Thì vận tốc ngời đi xe gắn máy là : x + 15 (km/h) 0,25đ
Thời gian ngời đi xe đạp đã đi là :
x
60
(h) 0,25đ
Thời gian ngời đi xe máy đã đi là : 40x++1560 (h) = x100+15 (h) 0,25đ
Do xe máy đến B trớc 40 phút =
3
2
(h), nên ta có phơng trình:
3
2 15
100
60
= +
−
x
x 0,5đ ⇔ x2 + 75 x – 1350 = 0 0,25đ
Tính∆ =11025 > 0⇒ ∆= 105 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt : x1 = 15 > 0 T/mãn ; x2 = - 90 < 0 Loại 0,25đ
Vậy vận tốc ngời đi xe đạp là 15 km/h ; ngời đi xe máy là : 15 + 15 = 30 (km/h) 0,25đ
Bài 4: ( 0,5đ) Điều kiện x ≠ 0; 2 – x2 > 0 ⇔ x ≠ 0 ; x < 2
Đặt y = 2 −x2 > 0 ⇒x2 + y2 = 2
Giải hpt:
= +
= +
2 1 1
2
2 2
y x
y x
⇔
= +
=
−
+
xy y x
xy y
x
2
2 2 )
( 2
⇔ (2xy)2 – 2xy = 2 ⇔ 2(xy)2 – xy – 1 = 0
⇒ xy = 1 hoặc xy = -
2
1
( 0,25đ)
+ Nếu xy = 1 thì x + y = 2 Khi đó x và y là nghiệm của PT : X2 – 2X + 1 = 0 ⇒ X = 1⇒ x = y = 1
+ Nếu xy = -
2
1
thì x + y = - 1 Khi đó x và y là nghiệm của PT : X2 + X -
2
1
= 0 ⇔X =
2
3
1 ±
−
Vì y > 0, nên y =
2
3
1 +
2
3
1 −
2
1 1
2 =
−
+
x
x có 2 nghiệm là x1 = 1; x2 =
2
3
1 −
− ( 0,25đ)
(Chú ý : HS làm cách khác đúng cho điểm tơng đơng
Trang 3Bài5 ( 3,5đ) Vẽ hình đúng : 0,25đ
Câu a : C/m đúng 1,0 đ
C/m đợc A BˆM =N MˆA 0,5đ
Suy ra N MˆA=M KˆN ⇒ ∆ NKM cân tại N 0,25đ
- C/m tứ giác AKED nội tiếp 0,25đ
Gọi J là tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆AKD⇒J:tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE (0,25) ⇒ JA = JE ⇒ J thuộc đờng trung trực của đoạn AE cố định 0,25đ