BG - Khai trien hinh go

Để có chiều dài thực của các đường sinh và của các đường chéo, ta dựng một góc vuông H.3 có cạnh IO bằng chiều cao h của hình côn, còn cạnh kia có các đoạn Aa, aB,...lần lượt bằng Aa, aB

Chương I Các phương pháp dựng hình

1.1 Phương pháp chiếu hình phối hợp với tính toán bằng công thức

Thế nào là phương pháp chiếu hình phối hợp với tính toán bằng công thức?

Ví dụ 1 : Khai triển ống chữ T ( Hình 16 ) H.1 là phương pháp chiếu đứng H.2 là hình khai triển ở hình H.2 ta tính chiều dài l theo công thức sau :

l = πd

ở H.2, muốn có các điểm a’, b’, c’, d’, xuất phát từ các điểm a, b, c, d, ta phải dóng các đường chiếu trung gian từ H 1 sang

Đối với ống trụ, hình nón người ta dùng phương pháp này

1.2 Phương pháp chiếu hình xuyên qua phương pháp tam giác

Ví dụ: Khai triển côn lệch tâm (Hình18)

1 Trước tiên vẽ hình chiếu đứng (H 1)

2 Vẽ hình chiếu bằng (H.2) ở H.2 chia nửa vòng tròn lớn ( Rπ ), rồi chia nử vòng tròn nhỏ (πr) ra làm một số phần bằng nhau, ví dụ 6 phần, ta được các điểm A, B, C, D, E, F, G và a,

b, c, d, e, f, g Nối các điểm này lại, ta được các đường sinh Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Gg và các đường chéo aB, bC, cD, dE, eF, FG ở H.2, ta có 12 mặt gần giống hình tam giác là các mặt:

AaB, aBb, BbC, bCc, CcD, cDd, dEe,eEF, eFf, fFG, fGg

Ta nhận thấy hình khai triển của côn lệch tâm (H.4) bao gồm 24 mặt gần giống hình tam giác hợp lại

Ví dụ: tam giác AaB có 3 cạnh là: đường sinh Aa, đường chéo aB và dây cung AB

1 Để có chiều dài thực của các đường sinh và của các đường chéo, ta dựng một góc vuông (H.3) có cạnh IO bằng chiều cao h của hình côn, còn cạnh kia có các đoạn Aa, aB, lần lượt bằng Aa, aB, đo ở hình H.2

Và ở H.3, ta có chiều dài thực của đường sinh Aa là đường 3 và của đường chéo AB là đường 4 Có chiều dài thực của 3 cạnh rồi, ta dựng được hình tam giác

khai triển của côn lệch tâm Sau cùng lấy đường Aa làm đường tâm, dựng nửa hình khai triển

đối xứng, ta được toàn bộ hình khai triển gồm 24 mặt tam giác

- Một compa nhọn lớn để đo độ dài lớn và vẽ những cung lớn

- Hai com pa nhọn nhỏ dùng để đo độ dài nhỏ và vẽ những cung nhỏ

- Một vạch dấu dùng để vạch các đường thẳng

- Một thước dẹt dùng để dựng các đường thẳng

- Một thước đo độ dùng để dựng các góc

- Một chấm dấu

- Một ê ke sắt dùng để dựng các đường thẳng góc

- Một búa nguội

1.4 Dựng đường, chia đoạn thẳng

1) Dựng đường thẳng vuông góc với nhau

a Dựng đường vuông góc giữa đoạn AB ( Hình 1)

Mở com pa rộng hơn 1/2 AB, lấy A làm tâm, dựng hai cung ở trên và dưới AB, dùng com pa mở nguyên khẩu độ như trên, lấy B làm tâm quay 2 cung cắt hai cung trước ở C và D

Lấy thước dẹt nối niền C và D cắt AB ở điểm O

b Dựng đường vuông góc ở O trên đoạn AB ( Hình 2)

Mở com pa to nhỏ tuỳ ý, lấy O làm tâm vạch trên đoạn AB 2 điểm C và D, lấy 2 điểm

C và D làm tâm mở com pa rộng hơn 1/2 CD, dựng 2 cung gặp nhau ở E Nối liền EO thì đường EO sẽ vuông góc với AB ở điểm O

c Dựng đường vuông góc qua điểm O ở ngoài đường AB (Hình 3)

Lấy O làm tâm , mở com pa, quay một cung cắt đường AB ở C, D ; lấy C và D làm tâm, quay 2 cung có bán kính lớn hơn 1/2 CD, cắt nhau ở I Nối liền OI vuông góc với AB qua điểm O

2) Dựng một đường thẳng song song với đường AB với một khoảng cách nhất định (Hình4)

Mở com pa rộng bẳng khoảng cách nhất định, lấy C làm tâm, dựng cung N, rồi lấy D làm tâm, dựng cung M Đường tiếp tuyến với M và N sẽ song song với AB với một khoảng cách nhất định

3) Chia đoạn thẳng làm nhiều phần bằng nhau (Hình 5)

Ví dụ: Chia đoạn AB làm 5 phần đều nhau ở đầu A của đoạn AB, dựng một đường xiên

AC ; bắt đầu từ A, vạch trên AC 5 khoảng đều nhau Nối liền 5 với B ở những điểm 1, 2, 3, 4 dựng những đường song song với 5B Đoạn AB được chia làm 5 phần đều nhau bởi những điểm 1, 2, 3, 4, 5

2) Dựng góc 60 0 (Hình 7)

Lấy B làm tâm và lấy R = BC làm bán kính quay một cung sau lấy C làm tâm và cũng lấy R trên làm bán kính quay một cung Hai cung này cắt nhau ở A Nối BA thì ta có cung ABC = 600

3) Dựng góc 120 0 (Hình 8)

Muốn dựng góc 1200 thì ta dựng 2 góc 600 liền nhau, ta sẽ có góc AOC = 1200

4) Chia một góc làm 2, 4, 8 góc đều nhau (Hình 9)

Lấy O làm tâm, quay một cung cắt 2 cạnh OA và OB ở C và D Lấy C và D làm tâm quay

2 cung cắt nhau ở I Nối liền OI thì đường OI này chia góc AOB làm 2 góc đều nhau là AOI

và IOB Muốn chia 4 góc đều nhau thì làm như trên, nghĩa là chia lần lượt góc AOI và IOB làm 2 góc đều nhau

5) Chia góc 90 0 làm 3 góc đều nhau (Hình 10)

Lấy O làm tâm, quay một cung cắt 2 cạnh OA và OB ở C và D ; cùng độ mở của com pa

ấy, lấy C và D làm tâm quay những cung cắt cung CD ở G và H Dựng 2 đường OG và OH thì ta có AOH = GOH = 300

1.6 Dựng hình nhiều cạnh ( đa giỏc)

1) Dựng hình tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (Hình 12)

Lấy O, giao điểm của 2 đường vuông góc là xx’ và yy’ làm tâm, quay một đường tròn với bán kính R

Giữ nguyên bán kính ấy, lấy D làm tâm quay một cung cắt đường tròn ở B và C, ta sẽ chia đường tròn làm 3 cung bằng nhau: AC = CB = BA Nối 3 điểm A, B,C thì ta được tam giác đều ABC

2) Dựng hình 6 cạnh nội tiếp đều trong đường tròn (Hình 13)

Lấy O, giao điểm của 2 đường vuông góc là xx’ và yy’ làm tâm, quay một đường tròn với

bán kính R R cũng là độ lớn của hình 6 cạnh đều Giữ nguyên bán kính ấy, lấy A và D làm tâm, quay 2 cung cắt đường tròn ở B, F, E, C Những điểm A, B, C, D, E, F đã chia đường tròn làm 6 phần bằng nhau

3) Dựng hình 5 cạnh đều nội tiếp trong đường tròn (Hình 14)

Lấy O, giao điểm của 2 đường vuông góc là xx’ và yy’ làm tâm, quay một đường tròn với bán kính R Lấy trung điểm B của đoạn thẳng OA làm tâm quay một cung với bán kính B1 gặp dường xx’ ở C, 1C là cạnh của hình 5 cạnh đều

Lấy 1 làm tâm quay một cung với bán kính 1C, cắt đường tròn ở hai điểm 5 và 2 Giữ nguyên

độ mở của com pa, lấy 5 và 2 làm tâm, quay hai cung cắt đường tròn ở 4 và 3 Những điểm 1,

2, 3, 4, 5 đã chia đường tròn làm 5 phần bằng nhau Nối những điểm iểm 1, 2, 3, 4, 5 ta được hình 5 cạnh đều

1.7 Dựng các đường nội tiếp

Phương pháp vẽ gần đúng sau đây dùng để chia đường tròn làm 7, 9, 11, 13 v.v phần bằng nhau, ví dụ chia đường tròn làm 7 phần bằng nhau (Hình 15)

Cách vẽ như sau:

1 Dựng hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau

2 Dựng cung tròn tâm D với bán kính CD, cung này cắt AB kéo dài ở E và F

3 Chia đường kính CD làm 7 phần bằng nhau bởi các điểm chia 1’, 2’, 3’, 4’, 5’, 6’, 7’

4 Nối E với F với các điểm chia 2’, 4’, 6’ (Hoặc các điểm lẻ 1’, 3’, 5’) Kéo dài các đường

thẳng đó chúng sẽ cắt đường tròn tại các điểm 1, 2,3, 4, 5, 6 Các điểm này là đình của hình 7

cạnh đều

Chương III khai triển các dạng ống trụ

l = πdtb Hình khai triển ống là một hình chư nhật có chiều dài bằng πdtb , chiều rộng bằng chiều cao ống Cần chú ý là tất cả các chi tiết khai triển đều tính theo đường kính trung bình

dt - đường kính trong dtb – là đường kính trung bình

dn - đường kính ngoài e – là chiều dày

Hình.19

2.2- Khai triển ống tròn có vát một ít ở trên miệng.(H 20)

1 Vẽ hình chiếu đứng (H 1)

2 Vẽ hình chiếu bằng (H 2)

2.2- Khai triển ống gẫy khúc :

2.3 Khai triển khuỷu cong.(Hình 24)

- Dựng phôi khai triển (H.3): chia π d làm 12 phần bằng nhau, đánh số thứ tự 1, 2,

3, …, 12 Kẻ các đường song song 1- 1, 2 – 2, …,1 – 1 Có độ lớn chính bằng độ lớn thật đo được trên ống B

Hình 24

2.3 Khai triển oongs ba chạc:

Tương t ự tách tong đoạn để khai triển

2.6 Khai triển trụ xiên (H.21)

1 Vẽ hình chiếu đứng của ống xiên có chiều cao h, có hai đáy tròn đường kính d (H.1)

2, 4, 6, 8, 10, 12 chia

2

.d

π của đáy trên cũng làm 6 phần bằng nhau và đánh số 1, 3, 5, 7, 9,

11,13 ở H.2 sau khi dựng các đường sinh và các đường chéo, ta có 12 mặt gần giống hình tam giác là các mặt : 012, 123, 234, 345, 456, 567, 678, 789, 8.9.10, 9.10.11, 10.11.12, 11.12.13 Chú ý là các chiều dài thực của tất cả các đường sinh trên đều bằng nhau và bằng đường 01 hoặc đường 12.13 đo ở H.1

3 Dựng chiều dài thực của các đường chéo (H.3) Muốn thế ta dựng một góc vuông có cạnh OH = h, còn cạnh kia có các đoạn H2 = H12 = 12 = 11.12 đo ở H.2, các đoạn H4 = H10

= 34 = 9.10 đo ở H.2, các đoạn H6 = H8 = 56 = 78 đo ở H.2 ở H.3, ta có chiều dài thực của các đường chéo 12, 11.12, 34, 9.10, 5.6, 7.8, lần lượt bằng 02, 0.12, 04, 0.10, 06, 08

4 Khai triển (H.4) Ta vẽ nửa hình khai triển , nửa còn lại sẽ đối xứng qua đường tâm AA

Dưng cạnh 01 = 01 đo ở H.1 Lấy o làm tâm và lấy dây cung đo ở H.2 làm bán kính quay

một cung ; sau lấy 1 làm tâm và lấy 12 = 02 đo ở H.3 làm bán kính quay một cung Hai cung này cắt nhau ở 2 và ta được tam giác 012 lấy 2 làm tâm và lấy 23 = 01 đo ở H.1 làm bán kính quay một cung ; sau lấy 1 làm tâm và lấy dây cung đo ở H.2 làm bán kính quay một cung Hai cung này cắt nhau ở 3, và sẽ được tam giác 123 Lấy 2 làm tâm và lấy dây cung đo

ở H.2 làm bán kính quay một cung; sau lấy 3 làm tâm và lấy 34 = 04 đo ở H.3 làm bán kính quay một cung Hai cung này cắt nhau ở 4, và ta được tam giác 234 Tiếp tục dơng 9 tam giác nữa là 345, 456, 10.11.12, 11.12.13 thì ta được nửa hình khai triển của ống xiên có hai đáy tròn

- Chia đáy tròn thành 12 phần bằng nhau

- Nối các điểm vừa chia với các đỉnh tương ứng của tứ giác tương ứng

- Tìm độ lớn thật của 16 tam giác ( hay 3 tam giác: A1B, B12, B23 )

+ Độ lớn thật của hình khai triển AB = BC = CD = DA và bằng độ lớn AB = BC = CD =

DA đo được ở H.2 + Độ lớn thật của hình khai triển A1 = B1 = B4 = C4 = C7 = D7 = D10 = A10 bằng độ lớn AB1 đo trên hình H.3 Đoạn HB1 ở H.3 bằng đoạn A1 = B1 = B4 = C4 = C7 = D7 = D10 = A10 Đo ở H.2

+ Độ lớn A.12 = B2 = … = A11 bằng độ lớn AB 2 đo ở H.3 Đoạn HB2 ở H.3 bằng Đoạn 12 = 23 = … = 12.1 Đo ở H.2

3 Khai triển H.4 Kẻ đoạn AB, sau đó lấy A làm tâm quay đường tròn bán kính AB1(AB1

ở H.3), lấy B làm tâm quay đường tròn bán kính AB1 hai đường tròn này cắt nhau tại 1 Nối

A với 1 và nối B với 1 ta được tam giác A1B Lấy 1 làm tâm quay đường tròn bán kính 12 đo

ở H.2, sau đó lấy B làm tâm quay đườmg tron bán kính AB2 đo ở H.3 Hai đường tròn này cắt nhau tại điểm 2, ta tìm được điểm 2 Tương tự ta tìm được các điểm còn lại

Hình 22

2.8 Khai triển ống chữ T có cùng một đường kính.(Hình 23)

1 Vẽ hình chiếu đứng của ống chữ T có cùng một đường kính d (H.1) Chia

2

.d

π của ống A

làm 6 phần bằng nhau có đánh số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Qua các điểm này dựng các đường chiếu

vào ống B là các đường 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 chia

4

.d

πcủa ống B làm 3 phần bằng nhau có đánh

số 10, 20, 30 , 40 đường này cắt các đường 1 và 7 , 2 và 6, 3 và 5, 4 lần lượt ở các điểm 1’ và 7’

, 2’ và 6’ , 3’ và 5’ , 4’ Nối các giao điểm 1’, 2’, 3’, 4’ và các giao điểm 4’, 5’, 6’ , 7’ này lại ta

được hai đường giao tuyến của hai ống

2 Khai triển ống A (H.2) Ta vẽ nửa hình khai triển, nửa còn lại sẽ đối xứng qua đường tâm

AA Chiều dài của nửa hình khai triển bằng

2

.d

π Chia chiều dài này làm 6 phần bằng nhau

có đánh số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Qua các điểm này, dựng các đường song song Trên H.1 từ các điểm 7’ , 6’ , 5’, 4’, dựng các đường chiếu kéo dài xuống H.2 thì các đường này cắt các đường song song 1 và 7 , 2 và 6, 3 và 5, 4 lần lượt ở các điểm 1’ và 7’ , 2’ và 6’ , 3’ và 5’ ,4’ Nối các giao điểm 1’, 2’,

3’, 4’ bằng một đường cong ; và các giao điểm 4’, 5’, 6’ , 7’ cùng bằng một đường cong, ta được nửa hình khai triển của ống A

3 Cắt lỗ trước khi uốn ống B (H.3) Ta vẽ nửa hình khai triển của lỗ, nửa còn lại sẽ đối xứng qua đường tâm c’c’ Chiều rộng của lỗ c’c’ = CC đo ở H.1 Nửa chiều dài của lỗ bằng

4

.d

π Chia nửa chiều dài này làm 3 phần bằng nhau có đánh số 1, 2, 3, 4 ở H.3, qua các điểm

này, dựng các đường song song 11, 22, 33, 44 Trên H.1 , từ các điểm 1’, 2’, 3’, 4’ , 5’, 6’ , 7’, dựng các đường chiếu kéo dài sang H.3, thì các đường này cắt các đường 11, 22, 33, 44, 33,

22, 11,lần lượt ở các điểm 1’, 2’, 3’, 4’ , 5’, 6’ , 7’ Nối các giao điểm này bằng một đường cong, ta được nửa hình khai triển của lỗ

3.1 Khai triển hình côn nón.(Hình 25)

ví dụ : Khai triển một hình côn có d = 340 (mm), h = 270 (mm)

1 Trước tiên vẽ hình chiếu đứng H.1 Đo thực tế trên bản vẽ, ta được R = 320 (mm)

Dùng công thức tính toán: R = )2 2

2(d +h

2 Khai triển (H.2) Tính góc α theo công thức :

α =

R

d

.180

α =

320

340.180

= 1910.15’

Bằng com pa, lấy điểm O làm tâm và R = 320, quay cung BCB’ Bằng thước đo độ , ta đo rồi vẽ góc α = 1910.15’ Cung tròn R = 320, và có góc α = 1910.15’ Chính là hình khai triển hình côn

Hình 25

3.2 Khai triển côn cụt đều(Hình 26 )

Ví dụ : Khai triển côn cụt đều ABCD có d1 = 350, d2 = 170, h= 250

1 Trước tiên vẽ hùnh H.1 là hình chiếu đứng; kéo dài cạnh DA và cạnh CB thì ta được một hình côn Đo thực tế trên bản vẽ, Ta được R = 517

2 Khai triển (H.2) Ta tính góc α theo công thức :

α =

517

350.180

= 1220Bằng com pa, lấy điểm O làm tâm và R = 517, quay cung C EC’ và cung nhỏ BFB’ Bằng thước đo độ , ta đo rồi vẽ góc α = 1220

Hình BFB’C’EC chính là hình khai triển của côn cụt đều

Hình 26

3.3 Khai triển côn xiên.(Hình 27)

1 Dựng hình chiếu đứng H.1 Có chiều cao h

2 Dựng hình chiếu bằng H.2 Chia đáy thành 12 phần bằng nhau, đánh các số thứ tự 1, 2, 3, , 12 Nối các điểm chia với đỉnh S tương ứng

3 Dựng cạnh OH có chiều cao bằng h trên hình H.3

Tìm độ lớn thật của 12 đường sinh tương ứng từ S1, S2, , S12 Bằng cách lấy H làm tâm quay cung bán kính R = S1 đo trên hình H.2 cắt đường HH’ tại O1 , nối OO1 ta được độ lớn thật của đoạn S1 trên hình H.3 Tương tư ta tìm được độ lớn thật của các đoạn còn lại

2 Hình khai triển Lấy điểm S làm tâm quay cunng S1 bằng độ lớn thật OO1 đo trên hình H.3 Nối S với cung S1 ta được điểm 1 Chính là độ lớn thật của đoạn S1 Tìm điểm 2

bằng cách lấy 1 làm tâm quay cung bán kính 12 đo trên hình chiếu bằng, lấy S làm tâm

quay cung bán kính OO2 trên hình H.3 cắt đường tròn trước tại điểm 2 Nối S với 2 ta được

độ lớn thật của đoạn S2 Tương tự ta tìm được các điểm còn lại

Dựng các đường sinh Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff, Gg và các đường chéo aB, bC, cD,dE eF,fG

ở H.2, ta có 12 mặt gần giống hình tam giác, là các mặt AaB, aBb, Bbc fgG…

3 Dựng chiều dài thực của các đường sinh H.3 Muốn thế, ta dựng một góc vuông có cạnh

IO bằng chiều cao h, còn cạnh kia có các đoạn lần lượt bằng Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff, Gg đo ở H.2 ở H.3, ta có chiều dài thực của các đường sinh Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, Ff, Gg

4 Dựng chiều thực của các đường chéo H.4 Muốn thế ta dựng một góc vuông có cạnh O’I’bằng chiều cao h , còn cạnh kia có các đoạn lần lượt bằng aB, bC,

cD, dE, eF, fG, đo ở H.2 ở H.4, ta có chiều dài thực của các đường chéo, aB, bC, cD, De,

eF, fG

Hình 28

5 Khai triển H.5 trước tiên dung cạnh Aa bằng chiều dài thực của đường sinh Aa đo ở H.3

Lấy A làm tâm và lấy dây cung lớn đo ở hình H.2 làm bán kính quay một cung ; sau đó lấy a