Viết phương trình tiếp tuyến của C qua điểm A-1; 1.. Tìm m để Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.. Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của C.. Tìm phương trình C’ đối xứng với C qua d..
Trang 1TRƯỜNG THPT MÊ LINH KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NHẤT
Môn: TOÁN 12
Năm học: 2007-2008
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1:(1điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.y= x2−7x+6 b y=2sin cosx x−lnx
Câu 2: (1điểm) Tìm các tiệm cận của hàm số:
a
2
2
x x y
x
− +
=
x y x
+
=
− .
Câu 3: (4điểm) Cho hàm số (Cm): y= − +x3 mx2−m
a Khảo sát (C) khi m=3
b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm A(-1; 1)
c Tìm m để phương trình sau có nghiệm t: −sin3t+3sin2t m− =0
d Tìm M ∈ (C) để qua M chỉ có 1 tiếp tuyến với (C)
e Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
f Tìm m để (Cm) đồng biến trên [1; 2]
Câu 4: (3điểm) Cho đường tròn (C): 2 2
x +y − x− y− = và đường thẳng (d): x – y = 0
a Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C)
b Tìm phương trình (C’) đối xứng với (C) qua (d)
c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với (d) góc 450
Câu 5: (1điểm) (học sinh làm một trong hai câu sau theo đúng khối đăng ký thi):
a.(Khối A và Khối B).
Chứng minh rằng: a1cosx a+ 2cos 2x+ a2007cos 2007x=0 có nghiệm với mọi a a1, , ,2 a2007∈¡
b.(Khối D).
Chứng minh rằng: cosa x b+ cos 2x c+ cos3x=0 có nghiệm với mọi a, b, c∈¡
Họ và tên thí sinh……….Số báo danh………
Ghi chú: Cán bộ coi thi khong giải thích gì thêm
Trang 2-1 1 2 3
-3 -2 -1
1 2
x y
HƯỚNG DẪN CHẤM
(nếu học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tương ứng với phần đó)
Câu 1
1đ 1a y= x2−7x+6 Tìm được TXĐ và tính được ' 22 7
x y
x x
−
=
1.b y=2sin cosx x−lnx Tìm được TXĐ và tính được y' 2 cos 2x 1
x
Câu 2
1đ
2
x x y
x
− +
=
− Tìm được tiệm cận đứng x = 2
Tìm được tiệm cận xiên y = x
0.25 điểm 0.25 điểm
4 5
x y x
+
=
− Tìm được tiệm cận đứng x = 5/4
Tìm được tiệm cận ngang y= 1/2
0.25 điểm 0.25 điểm Câu 3
4đ
3a Khi m=3 thì 3 2
y= − +x x −
Tìm được TXĐ và tính được y’ = -3x(x-2)
Xét dấu y’, tìm được khoảng đơn điệu, CT(0; -3); CĐ(2; 1), khoảng lồi , lõm, điểm uốn, giới hạn
Lập được bảng biến thiên
X -∞ 0 1 2 +∞
y’ 0 + + 0
-Y +∞ 0 1
-1
-3 -∞
Vẽ đồ thị
0.25đ 0.25đ
0.25đ 0.25đ
3b Tính được tiếp tuyến y = - 9x – 8
Và y = 1
0.5đ 0.5đ 3c Đặt sint = x => -1≤ x ≤ 1
Số nghiệm phương trình là số giao điểm của y= − +x3 3x2−3 với y = m -3 trên [-1; 1] Nên phương trình có nghiệm nếu:
Min x− + x− ≤ − ≤m Max x− + x− => m∈[0; 4]
0.25đ 0.25đ
3d Giả sử M(x0; y0)∈(C) Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:
y k x x= − − +x x − (d) Vì qua M chỉ có 1 tiếp tuyến với (C) nên
2
x x k
+ =
0.25đ
Trang 3(C) (d) Series 1
-1
1 2 3 4 5
x f(x)
Thay (2) vào (1) ta được 2
(x x− ) (2x x+ − =3) 0=> 0
0
3 2
x
x = −
=> x0 =1 hay M(1;-1)
0.25đ
3e (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (C) có 2 CĐ và CT đồng thời
CT 0
yC§ y < (C) có 2 cực trị y’=0 có hai nghiệm phân biệt m≠0
Từ yC§.y CT <0 4 4 2 3 3
27m +m < → m > 2
0.25đ
0.25đ 3f Có y'= −3x2+2mx
(Cm) đồng biến trên [1; 2] khi và chỉ khi y’ ≥0 ∀x∈[1; 2]
3 '(1) 0
3 '(2) 0
y y
0.25đ
0.25đ Câu 4
3đ
4a (C): (x−2)2+ −(y 1)2 =9
Tâm I(2; 1)
và bk R= 3
0.5đ 0.25đ 0.25đ 4b (C’) đối xứng (C) qua (d) nên (C’) có tâm I’ đối xứng với I qua (d) và bán
kính R’=R =3
Tìm được I’(1; 2) (C’): (x−1)2+ −(y 2)2 =9
0.25đ
0 5đ 0.25đ
4c NX đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ góc 450 nên các tiếp tuyến cần tìm
có phương song song với Ox và Oy
Có phương song song Oy: 2 tiếp tuyến x=-1
và x= 5
Có phương song song Ox: 2 tiếp tuyến y=-2
và y=4
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu 5
1đ AB Xét hàm số ( ) 1sin 2sin 2 2007 sin 2007
a a
F x =a x+ x+ + x có đạo hàm và liên tục trên[0; ]π Mặt khác:
'( ) cos cos 2 cos 2007 ( ) (0) 0
F π F
Khi đó ∃ ∈x0 (0; )π sao cho: 0
( ) (0) '( )
0
π
−
=
−
1cos 0 2cos 2 0 2007cos 2007 0 0
=> phương trình có nghiệm x=x0
0.25đ
0.25đ
0.25đ 0.25đ D
Xét hàm số ( ) sin sin 2 sin 3
F x =a x+ x+ x có đạo hàm và liên tục trên [0; ]π Mặt khác: '( ) cos cos 2 cos3
( ) (0) 0
F x a x b x c x
F π F
Khi đó ∃ ∈x0 (0; )π sao cho: '( )0 ( ) (0)
0
π
−
=
−
↔ + + = -> phương trình có nghiệm x=x0
0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ