bai toan tinh nguoc tu cuoi

Môc ®Ých cña gi¸o dôc lµ ®µo t¹o ra ®­îc con ng­êi khi vµo ®êi lµ con ng­êi n¨ng ®éng s¸ng t¹o th× ®ßi hái ph­¬ng ph¸p gi¶ng d¹y ph¶i ®Þnh h­íng vµo viÖc kh¬i dËy, rÌn luyÖn vµ ph¸t triÓn kh¶ n¨ng nghÜ vµ lµm mét c¸ch tù chñ, n¨ng ®éng vµ s¸ng t¹o trong lao ®éng vµ häc tËp ë nhµ tr­êng. Ng­êi thÇy gi¸o kh«ng cßn lµ ng­êi truyÒn ®¹t kiÕn thøc cã s½n mµ lµ ng­êi “ §Þnh h­íng, ®¹o diÔn cho häc sinh tù kh¸m ph¸ ra ch©n lý”, tù t×m ra kiÕn thøc. §Ó gãp phÇn vµo viÖc d¹y m«n to¸n nãi chung vµ h­íng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n nãi riªng lµ mét mong muèn cña bao thÕ hÖ thÇy c«. §øng tr­íc mét bµi to¸n chóng ta th­êng cã nh÷ng h­íng suy nghÜ tõ c¸ch gi¶i tíi c¸ch h­íng dÉn cho häc sinh gi¶i ®Ó më ®­êng cho sù s¸ng t¹o, linh ho¹t khi gi¶i to¸n cho häc sinh. H­íng dÉn häc sinh gi¶i to¸n th× cã nhiÒu c¸ch, nhiÒu con ®­êng (nhiÒu ph­¬ng ph¸p). Lµ mét gi¸o viªn ®• nhiÒu n¨m gi¶ng d¹y t«i thÊy viÖc vËn dông ph­¬ng ph¸p to¸n tÝnh ng­îc tõ cuèi ®Ó h­íng dÉn häc sinh gi¶i to¸n tõng b­íc rÊt thó vÞ. VËy vÊn ®Ò ®Æt ra lµ ph­¬ng ph¸p tÝnh ng­îc tõ cuèi lµ thÕ nµo? vËn dông ph­¬ng ph¸p nµy ®Ó h­íng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n ra sao chÝnh lµ néi dung mµ t«i muèn nãi ®Õn phÇn sau (gi¶i quyÕt vÊn ®Ò)

A.Đặt vấn đề:

Mục đích của giáo dục là đào tạo ra đợc con ngời khi vào đời là con ngời năng động sáng tạo thì đòi hỏi phơng pháp giảng dạy phải định hớng vào việc khơi dậy, rèn luyện và phát triển khả năng nghĩ và làm một cách tự chủ, năng động và sáng tạo trong lao động và học tập ở nhà trờng Ngời thầy giáo không còn là ngời truyền đạt kiến thức có sẵn mà là ngời “ Định hớng, đạo diễn cho học sinh tự khám phá ra chân lý”, tự tìm ra kiến thức Để góp phần vào việc dạy môn toán nói chung và hớng dẫn học sinh giải một số bài toán nói riêng là một mong muốn của bao thế hệ thầy cô

Đứng trớc một bài toán chúng ta thờng có những hớng suy nghĩ từ cách giải tới cách hớng dẫn cho học sinh giải để

mở đờng cho sự sáng tạo, linh hoạt khi giải toán cho học sinh Hớng dẫn học sinh giải toán thì có nhiều cách, nhiều con đờng (nhiều phơng pháp) Là một giáo viên đã nhiều năm giảng dạy tôi thấy việc vận dụng phơng pháp toán tính ngợc từ cuối để hớng dẫn học sinh giải toán từng bớc rất thú vị Vậy vấn đề đặt ra là phơng pháp tính ngợc từ cuối là thế nào? vận dụng phơng pháp này để hớng dẫn học sinh giải các bài toán ra sao chính là nội dung mà tôi muốn nói đến phần sau (giải quyết vấn đề)

B Giải quyết vấn đề

I Cơ sở lý luận và thực tiễn:

1) Cơ sở lý luận :

- Phơng pháp tính ngợc từ cuối là bằng cách thực hiện liên tiếp các phép ngợc với các phép tính đã cho trong bài toán Khi giải bài toán theo phơng pháp này thì kết quả của một phép tính sẽ trở thành một thành phần đã biết trong phép tính liền sau đó, cứ tiếp tục nh thế cho đến khi tìm đợc số phải tìm Ta đợc bài toán giải theo phơng pháp tính ngợc từ cuối

- Chúng ta cứ thực hiện liên tiếp bằng các phép tính ngợc lại với phép tính đã cho tìm đợc kết quả cần tìm ban

đầu

- Có một số bài toán ở tiểu học (phơng pháp số học) cho biết kết quả sau một số các phép tính liên tiếp trên các số cần tìm

- Sử dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối nghĩa là thực hiện liên tiếp các phép tính ngợc với các phép tính trớc là thành phần đã biết của phép tính liền sau đó (phơng pháp này hay còn gọi là lu đồ Graph)

2) Cơ sở thực tiễn:

Ví dụ 1: Tìm một số biết rằng nếu nhân số đó với

2 đợc bao nhiêu đem chia cho 3 rồi lấy kết quả trừ đi 3 thì đợc 17

Giải cách 1:

Nếu số đó không trừ 3 thì đợc : 17 + 3 = 20 Nếu số đó không chia 3 thì đợc : 20 x 3 = 60

Nếu số đó không nhân với 2 thì đợc 60: 2 = 30

Cách 2: Theo lu đồ sau :

x2 : 3 -3

17

Ta thực hiện ngợc nh sau:

b1 x2 : 3 -3

v4

: 2 x3 +3

b2

Vòng 4 sẽ là 17 vậy :

Vòng 3 sẽ là : 17+ 3 = 20

Vòng 2 sẽ là 20 x 3 = 60

Vòng 1 sẽ là 60 : 2 = 30

Cách 3: Dùng đoạn thẳng:

Số cần tìm là :

Số đó khi x với 2 khi x với 2

Số đó khi x rồi : 3 khi : cho 3

Số đó x2, : 3 - 3 khi trừ đi 3

Khi cha trừ 3 sẽ là 17 + 3 = 20

Khi cha chia 3 sẽ là 20 x 3 = 60

Khi cha nhân 2 sẽ là 60 : 2 = 30

(Số cần tìm - số ban đầu là)

Vậy là: Ta cứ thực hiện liên tục các phép tính ngợc với phép tính đã cho theo một thứ tự ngợc lại từ kết quả cuối cùng ta

đợc kết quả cần tìm

Ví dụ 2: Tìm một số biết rằng só đó lần lợt cộng với 1 rồi

nhân với 2 đợc bao nhiêu đem chia cho 3 rồi trừ đi 4 thì

đợc 5

Cách 1: Ta có thể dùng đoạn thẳng:

Cộng 1 :

nhân 2

Chia 3

Trừ 4 :

Giải:

Trớc khi trừ 4 ta có : 5 + 4 = 9

Trớc khi chia cho 3 ta có 9 x3 = 27

Trớc khi cộng 1 ta có 27 : 2 = 13,5

Vậy số phải tìm là 13,5 - 1 = 12,5

Cách 2: Dùng lu đồ :

+1 x2 : 3

- 4

Ta thực hiện các phép tính ngợc:

v1 v2 v3 v4 v5 b2

-1 : 2 x3 + 4

Vậy là: v4 = v5 + 4 5 + 4 = 9

v

12,

v3 = v4 x 3 9 x 3 = 27 V2= v3 : 2 27 : 2 = 13,5 V1 = v2 - 1 13,5 - 1 = 12,5 Vậy là chúng ta cứ thực hiện liên tục từ vòng 1 vòng bằng liên tục các phép tính ta đợc vòng 1 là 12,5

II- Cách vận dụng từ các vị dụ để hớng dẫn học sinh giải bải toán

I-Phần nhận xét:

Qua phần lý luận và thực tiễn đã trình bày ở trên chúng ta thấy quá rõ phơng pháp giải toán bằng tính ngợc

từ cuối thực là thú vị Thú vị ở chỗ từ một kết quả đã biết cuối cùng qua một số bớc tính (khâu trung gian) đã tìm

đ-ợc yêu cầu cần tìm ban đầu Vậy chúng ta có thể tạm thời hiểu phơng pháp này theo lu đồ đơn giản nh sau:

Cách 2: Dùng lu đồ :

b1 b2 b3 bn

bn bn-1 b1

ta nói rằng các bớc b1; b2 bn từ cần tìm kết quả (khâu trung gian)

Các bớc bn, bn-1 b1 từ kết quả cần tìm (các bớc mở khóa trung gian)

Có thể hiểu rằng các bớc trung gian từ“cần tìm kết quả (số liệu cuối cùng)” nh cái đã biết

Cần

(số liệu

cụ thể

Các bớc trung gian từ“ số liệu cuối cùng” kết quả cần tìm nh thứ tự các bớc tìm cai yêu cầu đề bài

* Nói gọn lại: Một bài toán đã cho bao giờ cũng có 2 nội dung chính (đã biết, cần tìm); (đã biết- cha biết)

2 phần vận dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối:

- Qua nhân xét về phơng pháp tính ngợc từ cuối chúng ta có thể liên tởng (so sánh) mối quan hệ giữa

ph-ơng pháp này với cách hớng dẫn học sinh giải một bài toán bắt đầu đi từ thứ tự ngợc lại với yêu cầu cần tìm(tìm các yếu tố liên quan đến cái cần tìm)hay hiểu cách khác là chúng ta lần lợt tìm các yếu tố liên quan liên tục đến phép tính cuối cùng chính là cái đã biết (yếu tố đề bài cho)

*Các ví dụ minh họa và hớng dẫn học sinh vận dụng:

Ví dụ 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 12,5m và có diện tích bằng diện tích hình vuông cạnh 25m tính chu vi thửa ruộng hình chữa nhật đó (SGK toán

5 trang 70)

a) Phân tích và định hớng các bớc làm:

Đã biết chiều rộng HCN (12,5m) và diện tích hình vuông có cạnh 25m cần tìm chi vi HCN

* Phân tích các yếu tố đề bài:

Tính chu vi hình chữ nhật cần biết chiều và và chiều rộng của HCN, chiều dài cha biết cần tính chiều dài tính chiều dài cần phải biết diện tích hình vuông (cũng

là diện tích hình chữ nhật) Tính diện tích hình vuông

đã biết cạnh đã biết cạnh là 25m

* Lu đồ minh họa:

x cạnh : rộng + Rộng x 2

Các bớc hớng dẫn làm (GV) nói bằng lời và chỉ theo lu đồ từ chu vi cạnh hình vuông

Chú ý: Tính vận dụng ở đây là để thấy mối quan hệ giữa yếu tố đã biết với yếu tố cần tìm chứ không phải làm ngợc lên từ chu vi cạnh hình vuông chúng ta biết lu đồ

để xác định rõ phép tính nào làm trớc, phép tính nào làm sau để hợp lý và hoàn chỉnh bài giải

b) Các bớc giải:

Chu vi hình vuông (cũng là chu vi HCN )

25 x 25 = 625 (m2) Chiều dài hình chữ nhật : 625 : 12,5 = 50 (m) Chu vi hình chữ nhật là : (12,5 + 50) x 2 = 125 (m)

Đáp số : 125m Kết luận: Đối với bài toán này chúng ta cần thấy rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm Từ mối quan hệ này chúng ta phải suy luận ngợc lên từ cái cần tìm và các yếu tố liên quan (chiều rộng, diện tích hình vuông cạnh 25m cũng là diện tích HCN) từ đó tìm đợc chiều dài để cuối cùng tính chi vi HCN theo yêu cầu

Cạnh

hình

(S hình CN)

chi vi HCN

VD2: Một xã có 540,8ha đất trồng lúa Diện tích trồng hoa ít hơn diện tích trồng lúa 385,5ha Tính tổng diện tích đất trồng lúa và trồng hoa của xã đó (SGK trang 160)

a) Phân tích và định hớng cách làm:

* Đã biết diện tích trồng lúa : 540,8ha

Diện tích trồng hoa ít hơn trồng lúa : 385,5ha Cần tìm tổng diện tích trổng lúa và trồng hoa

* Phân tích các yếu tố đề bài:

Tính tổng diện tích trồng lúa và trồng hoa thì phải

có diện tích trồng hoa và trồng lúa Diện tích trồng hoa cha có, chỉ biết ít hơn trồng lúa là 385,5ha

* Lu đồ minh họa:

- 385,5ha + S trồng lúa

Các bớc hớng dẫn GV nói bằng lời và chỉ theo lu đồ từ tổng diện tích của trồng lúa và trồng hoa đến S trồng lúa

Chú ý: Phần hớng dẫn này chỉ vận dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối để học sinh biết mối quan hệ giữa yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm mà chúng ta phải suy luận ngợc từ yếu tố cần tìm (các bớc trung gian) và đợc bắt đầu từ những yếu tố đã biết trên cơ sở suy luận đó mới sắp xếp các phép tính hợp lý (tính thứ tự trớc sau)

b) Các bớc hớng dẫn giải:

DT trồng hoa = DT trồng lúa - phần ít hơn (385,5ha)

DT trồng lúa và trồng hoa = DT trồng lúa + DT trồng hoa

S trồng

lúa

S trồng

và hoa

c) Các bớc giải :

DT trồng hoa là : 540,8 - 385,5 = 166,3(ha)

S trồng lúa và S trồng hoa: 540,8 + 155,3 = 691,1( ha)

Đáp số : 691,1ha

Ví dụ 3: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12,5km/h, khi từ B về A ngời đó đi bằng ô tô với vận tốc 50km/h, thời gian cả đi lẫn về hết 5giờ Hỏi quãng đờng

AB dài bao nhiêu km?

(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm 2008-2009)

a) Phân tích và định hớng cách làm:

* Đã biết vận tốc ngời đi xe đạp: 12,5km/h

Vận tốc khi về đi ô tô : 50km/h Tổng thời gian cả đi lẫn về : 5 giờ

Cha biết (cần tìm) quãng đờng AB? km

* Phân tích: Các yếu tố đề bài và định hớng cách giải:

Tính độ dài quãng đờng AB thì phải tính cụ thể thời gian đi xe đạp hoặc thời gian đi ô tô Độ dài AB đến BA (không đổi) vậy ta phải tính thời gian thì chúng ta chỉ biết tổng thời gian đi và về là 5 giờ Vấn đề là chúng ta phải tìm đợc tỷ lệ thời gian Để tìm tỷ lệ thời gian thì phải dựa vào tỷ lệ vận tốc mà tỷ lệ vận tốc và thời gian là

tỉ lệ thời gian 4:1 Đến đây trở về bài toán cơ bản tìm 2

số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó (hai số ở đây là thời gian ngời đó đi xe đạp và thời gian ngời đó đi ô tô)

* Lu đồ minh họa:

Tỷ lệ V/tốc x v/tốc xe

đạp

tỷ lệ thời gian x V/tốc

ô tô

Các bớc hớng dẫn giáo viên nói bằng lời và minh họa chỉ tay qua vẽ từng bớc ở lu đồ đi từ quãng đờng AB tỷ lệ vận tốc

Chú ý: Phần vận dụng phơng pháp tính ngợc từ cuối ở bài này là giáo viên hớng dẫn học sinh suy luận từ câu hỏi của bài là tìm quãng đờng thì phải biết tính vận tốc

và thời gian(vận tốc đã biết thì phải tính thời gian) thời gian đã biết tổng thời gian cả đi xe đạp và ô tô là 5 giờ vậy là phải dựa vào tỉ lệ vận tốc để suy ra tỷ lệ thời gian tìm đợc thời gian ngời đó đi ô tô hoặc đi xe đạp Vận dụng cách suy luận để tìm yếu tố liên quan chứ không phải đi từ quãng đờng AB vận tốc bằng các phép tính ngợc

b) Các bớc hớng dẫn giải:

Tìm tỉ lệ vận tốc của đi ô tô và đi xe đạp (hoặc của xe đạp và ô tô):

12,5 : 50 = 1: 4 Hoặc : 50 : 12,5 = 4: 1

V/tốc đi xe

Tỷ lệ vận tốc suy ra tỷ lệ thời gian

Nếu chọn tỷ lệ vận tốc là 1 : 4 thì thời gian 4: 1

Nếu ' ' ' 4 : 1 “ 1 : 4

Dựa vào phơng pháp giải bài toán tổng và tỉ số để tìm thời gian (tìm thời gian đi ô tô từ B-A hoặc thời gian

đi xe đạp từ A - B)

Tìm quãng đờng dựa vào : Vận tốc đi ô tô x thời gian

đi ô tô

Hoặc vận tốc đi xe đạp x thời gian đi

xe đạp

c) Các bớc giải:

Cách 1: Vận tốc khi đi ô tô gấp khi đi xe đạp là

50 : 12,5 = 4 (lần)

Nh vậy tỉ lệ vận tốc là 4 ; 1( suy ra tỉ lệ thời gian của

đi ô tô và đi xe đạp là 1 : 4 (ngợc lại) ; ta có sơ đồ:

Thời gian khi đi bằng ô tô là :

Thời gian đi bằng xe đạp là :

Thời gian khi đi bằng ô tô từ B về A là :

5: (1+ 4) x 1 =1 (giờ) Quãng đờng AB dài là (cũng là quãng đờng từ B về A)

50 x 1 = 50 (km)

Đáp số : 50 km Cách 2: Tơng tự

Vận tốc khi đi xe đạp so với vận tốc khi đi xe ô tô là:

12,4 : 50 = 14 (lần)

5 giờ

Nh vậy tỷ lệ vận tốc là 1: 4 thì tỷ lệ thời gian của ô tô và

xe đạp là 4 : 1 (ngợc lại) ta có sơ đồ :

Thời gian khi đi bằng ô tô là :

Thời gian đi bằng xe đạp là :

Thời gian ngời đó đi xe đạp từ A đến B là:

5: (1+ 4) x 4 = 4 (giờ) Quãng đờng AB dài là (cũng là quãng đờng B về A)

12,5 x 4 = 50 (km)

Đáp số : 50 km

Ví du 4: Ngời ta cấy lúa trên một thửa ruộng hình thang

đáy nhỏ là 50m, đáy lớn hơn đáy nhỏ 28m và chiều cao

bằng

4

1

tổng 2 đáy Biết rằng 1dam2 thu đợc 36 kg thóc Hãy tính sản lợng thóc thu hoạch đợc trên cả thửa ruộng

a) Phân tích và định hớng ngắn gọn cách giải:

* Bài toán hỏi gì ? (Số lợng thóc)

- Muốn tính số lợng thóc làm thế nào (lấy diện tích thửa ruộng x năng suất)

- Năng xuất biết cha (Biết rồi 36kg/dam2 )

- Diện tích biết cha (cha biết)

-Muốn tính diện tích hình thang, ta làm thế nào? (lấy đáy lớn + đáy nhỏ x với chiều cao rồi chia 2)

- Đáy nhỏ biết cha (biết rồi)

- Đáy lớn ta làm thế nào (lấy đáy nhỏ + 28m)

- Chiều cao biết cha (cha biết)

- Muốn tìm chiều cao ta làm thế nào? lấy đáy lớn + Đáy nhỏ rồi chia 4

5 giờ

Lu đồ minh họa:

x

: 2

:2

= đáy nhỏ + 28 m

= (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao : 2 Sản lợng = Diện tích x năng suất = (Đáy lớn +

Đáy nhỏ)

từ sơ đồ này ta đi ngợc dới lên đợc quy trình giải toán

b) Các bớc hớng dẫn giải:

- Tính đáy lớn : (Đáy nhỏ + 28 m)

- Tính chiều cao (đáy lớn + đáy nhỏ rồi chia 4)

- Tính diện tích (vận dụng các tính diện tích hình thang) rồi đổi ra dam2

- Tính sản lợng (diện tích x năng suất)

c) Các bớc giải:

- Đáy lớn của thửa ruộng là : 28 + 50 = 78 (m)

- Chiều cao của thửa ruộng là : (78+50): 4 = 32 (m)

Diện tích của thửa ruộng là : (50+78)x32:2= 2048 (m2)

2048 m2 = 20,48 dam2

Sản lợng

Diện tích

Năng suất

+ x

Đáy nhỏ + 28

m

cao

Đáy lớn

Đáy nhỏ + đáy

nhỏ

Sản lợng thu hoạch trên thửa ruộng là :

20,48 x 36 = 737,28kg

Đáp số : 737,28 kg Chú ý: Các bớc phân tích và định hớng cách giải của bài ví

dụ 4 này có khác hơn các vị 1; 2; 3 nhng cách suy luận và cũng đi ngợc từ phép câu hỏi để lần lợt sắp xếp cách làm thứ tự từng bớc hợp lý

3 kết luận về cách hớng dẫn:

Qua các ví dụ trên chúng ta thấy rõ khi giải toán và h-ớng dẫn học sinh giải theo cách vận dụng từ cuối, giáo viên cần hớng dẫn học sinh tập trung suy nghĩ và câu hỏi của bài toán Suy nghĩ xem muốn trả lời đợc câu hỏi đó thì phải biết những gì và phải làm những phép tính nào Trong những điều phải biết đó, cái nào đã cho sẵn trong

đề toán, cái nào phải tìm? Muốn tìm đợc cái này thì phải biết những gì và phải làm phép tính gì.v.v cứ nh thế ta suy nghĩ ngợc lên Từ câu hỏi của bài toán về các điều đã cho trong bài toán Đây là chính phép tơng đồng trong phơng pháp giải toán tính ngớc từ cuối

C Kết luận:

Trên đây là một số nội dung mà bản thân đã hớng dẫn học sinh trong quá trình giảng dạy Việc vận dụng cách suy luận tính ngợc từ cuối thật là thú vị và hiệu quả

Đây là một trong những con đờng suy luận và lập luận cơ bản của phơng pháp giải toán và dạy toán Phơng pháp này (cách làm - con đờng) nếu giáo viên vận dụng và hớng dẫn một cách khéo léo, từng bớc hớng dẫn học sinh nắm đợc

các yếu tố của đề bài toán đó là: Cái đã và cái cần tìm; phân tích đề để tìm mối quan hệ giữa các yêu tố đó

ví dụ: Muốn tính diện tích hình vuông cần biết độ dài cạnh; diện tích hình chữ nhật cần biết chiều dài, rộng vậy là S và cạnh, S và chiều dài, chiều rộng là các yếu tố quan hệ chặt chẽ với nhau trong quá trình thực hiện sẽ không tránh khỏi đợc những thiếu sót về nội dung Kính mong các bạn đồng nghiệp đọc tham khảo góp ý kiến cho nội dung này chặt chẽ và đầy đủ phù hợp./

tài liệu tham khảo

- 10 chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi tập 1 và tập 2 - Trần Diên Hiển

- Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi 4-5 - Trần Ngọc Lan

- Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học - Đỗ Trung Hiệu, Lê Tiến Thành

- 501 bài toán đố lớp 5 - Phạm Đình Thực

- Những bài toán hay của toán tuổi thơ - Đỗ Huy Hiệu,

Lê Thống Nhất

- Toán tuổi thơ 1 các số

- Các bài toán về phân số, thập phân- Đỗ Trung Hiệu, Nguyễn áng

- Để học tốt toán 5 - Hoàng Chủng

- Toán chọn lọc Tiểu học - Phạm Đình Thực