hang cua ma tran1

 Liên hệ với các định thức con..  Các phương pháp tìm hạng.. Định nghĩa: Hạng của ma trận A là hạng của hệ véc tơ cột của nó.Ký hiệu là: rA, hay rankA... Hệ quả 1: Phép chuyển vị không

Bài 5: Hạng của ma trậnCác nội dung chính:

 Khái niệm hạng của ma trận.

 Liên hệ với các định thức con.

 Các phương pháp tìm hạng.

 Khảo sát hệ véc tơ nhờ vào hạng.

Định nghĩa: Hạng của ma trận A là hạng của hệ véc tơ cột của nó.

Ký hiệu là: r(A), hay rank(A)

Lập ma trận vuông cấp s bằng cách giữ lại s dòng và s cột đã chọn Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp s của ma trận A

và được ký hiệu là:

, ,…, , ,…,

Số lượng: .

⟶ Chỉ số cột

⟶ Chỉ số dòng

Định lý: r(A) = cấp cao nhất của các định thức con khác 0 (của A).

Tức là:

=

⟺ ° Tồn tại định thức con cấp : D ≠ 0

° Mọi định thức con cấp > của A đều bằng 0

Lưu ý: Điều kiện thứ 2 ⟺ “Mọi định

thức con cấp + của A đều bằng 0”

Từ đây ta sẽ chứng minh: hệ véc tơ

, , … , là cơ sở của hệ véc tơ cột của A.

Thật vậy,

 Hệ véc tơ , , … , là ĐLTT (Vì

nếu nó PTTT thì ta suy ra các cột của D cũng PTTT, suy ra = ⟶

Vô lý)

 Bây giờ ta chứng minh: Các cột

khác của A bdtt qua r cột đầu là xong.

( = , , … , ; = + , … , )

Nhận xét: ∆ = ∀ = , , … , Vì nếu:

= , thì ∆ = vì có 2 dòng giống nhau.

Còn nếu: = + , thì ∆ = vì là định thức con cấp > r.

Khai triển định thức trên theo dòng cuối, ta được:

Nhận xét: Như vậy: Nếu …… ≠ là định thức con cấp cao nhất của A thì:

, , … , là cơ sở của hệ véc tơ cột của A.

Bằng cách tương tự, ta chứng minh

được: Nếu …… ≠ là định thức con cấp cao nhất của A thì:

, , … , là cơ sở của hệ véc tơ cột của A.

Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận:

r(A)= hạng

hệ véc tơ dòng

Mệnh đề: Nếu …… ≠ là định thức con cơ sở của A thì:

 , , … , là cơ sở của hệ véc

tơ cột của A.

 , , … , là cơ sở của hệ véc tơ

dòng của A.

Chú ý 2: Ta có khái niệm định thức con bao quanh:

Cho là một định thức con cấp s của

Ví dụ 3: Cho =

× và = .

Có bao nhiêu định thức con cấp 3 bao quanh D, tìm công thức xác định chúng.

Các phương pháp tìm hạng của ma trận:

• Phương pháp định thức bao quanh:

Bước 1: Xuất phát từ một định thức con khác 0, cấp s (của A): ≠ Ta

tính các định thức con cấp s+1 bao quanh D.

chuyển ngay sang Bước 2.

Bước 2: Lặp lại Bước 1 (với điểm xuất phát mới là )

Ví dụ 3: Tùy theo m tìm r(A), với:

Phương pháp biến đổi

Như chúng ta đã biết các phép biến đổi sơ cấp trên hệ véc tơ dòng hoặc

hệ véc tơ cột của ma trận không làm thay đổi hạng của hệ véc tơ đó Do đó chúng không làm thay đổi hạng của

ma trận.

Phương pháp biến đổi