Tìm điểm biểu diễn số phức z... Khẳng định nào sau đây đúng?. Tổng phần thực và phần ảo của z bằng Lời giải... Câu 15 Gv Huỳnh Đức KhánhQuỹ tích điểm biểu diễn của số phức z= a+ bi a b Î
Trang 1Câu 1 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong hình
vẽ bên, điểm A biểu diễn số phức z- 1 + i.
Tìm điểm biểu diễn số phức z.
A Điểm B.
B Điểm C.
C Điểm D.
D Điểm E.
Lời giải Dựa vào hình vẽ, có ( )A1;3 ¾ ¾ ® - + = +z 1 i 1 3iÛ z= + 2 2 i
Vậy điểm biểu diễn số phức z là điểm (E 2;2 ) Chọn D
Câu 2 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Gọi z= a+bi (a b Î ¡, ) là số phức thỏa mãn (1 - i z) - 1 5 + i= 0 Khi đó S= a+ b bằng
2 1
a i
b i
ì = ï
- - + = ¾ ¾® = - = - Þ íïïî = - ¾ ¾® = + = Chọn C Câu 3 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Tính P= 1 + 3i2018+ 1 - 3i2018.
1 3
.
ìï
Vậy P= 1 + 3i2018+ 1 - 3i2018= 22018+ 22018= 22019. Chọn D
Câu 4 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1+ z2= 8 6 + i và
1 2 2.
z - z = Giá trị lớn nhất của z1 + z2 bằng
2
, , ,
z a bi
a b c d
z c di
ì = +
íï = +
1 2
8 6
52.
ì
ï + + + = +
z + z = a +b + c +d £ + a +b +c +d = Chọn B
Cách 2 Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn số phức z z1, 2 trên mặt phẳng phức và D là điểm thứ tư của hình bình hành AOBD, suy ra
D là điểm biểu diễn số phức (z1 +z2)¾ ¾ ®OD= z1 + z2 = 10.
z1- z2 chính là độ dài đoạn AB.
Xét DOAB có
·
·
ïï
ïïî
Vậy (OA OB+ )max= 104 = 2 26 hay (z1 + z2)max = 2 26.
Trang 2A I
Câu 5 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1- 1 - i = 1 và
z + + i = z - - i Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P= z1- z2.
A Pmin= 2 1 + B Pmin= 2 1 - C Pmin= 2 2 1 - D
min
3 2 2
2
Lời giải Ta có P= z1 - z2 = (z1 - - 1 i) (- z2 - - 1 i)³ z1 - - 1 i - z2 - - 1 i = - 1 z2 - - 1 i
Giả sử z2= a bi+ Từ giả thiết, ta có a bi+ + + 1 3i = a bi+ - 3 - i
Ta có z2 - - 1 i = a bi+ - - 1 i = (a- 1)2+(b- 1)2 = (a- 1)2+ - -( a 1)2 = 2a2+ 2 ³ 2.
Do đó suy ra P= - 1 z2- - 1 i = z2- - 1 i - 1 ³ 2 1 - = 2 1 - Chọn B
Cách 2 [Phương pháp hình học]
Dễ thấy tập hợp các số phức z1 là đường tròn tâm ( )I 1;1 ,
bán kính R =1; tập hợp các số phức z2 thuộc đường thẳng
:x y 0.
D + =
Ta thấy P= z1- z2 là khoảng cách của hai số phức z z1, .2
Dựa vào hình vẽ ta thấy P= z1- z2 nhỏ nhất là đoạn AH
Câu 6 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z thỏa mãn ( ) 2 1 2( )
1
i
i
+
,
a b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức w= z+ + 1 i Tính P= a2+b2.
2
i
i
+
3
a
b
ì = ïï
= + + = + ¾ ¾® íï ïî = ¾ ¾® = + = Chọn D
Câu 7 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Gọi z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình
z - z+ = Tính giá trị biểu thức P= z1+ z2.
Lời giải Ta có D = -( 1)2- 4.1.1 = - 3 =3i2
2
1 3
1 3 2
i z
i z
ìï +
ï = ïï
íï
-ïï = ïïî
Chọn C
Câu 8 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông với
2
2
a
AC = Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600 Tính khoảng cách d
giữa hai đường thẳng AD và SC
4
a
2
a
2
a
2
a
d =
Lời giải Ta có d AD SC[ , ]= d AD SBCéë ,( )ùû= d A SBCéë ,( )ùû
Trang 3Kẻ AK^ SB Khi đó ( )
,
4
d A SBC AK
SA AB
Câu 9 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Số phức nào dưới đây có
điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình
vẽ ?
A z4= 2 +i.
B z2= + 1 2 i
C z3= - 2 +i.
D z1= 1 2 - i
Lời giải Ta thấy điểm M có 2
1
M M
x y
ì = -ïï
íï =
ïî nên là điểm biểu diễn của số phức z= - 2+ i. Chọn C
Câu 10 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Xét các số phức z= a+ bi (a b Î ¡, ) thỏa mãn z =2 Tính P= a b+ khi z- 4 + 2z+ + 1 4i đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải Vì z = 2 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( )C có tâm là gốc tọa
độ O, bán kính 2 Với z= a+ bi có điểm biểu diễn là điểm MÎ ( )C , ta có
T= z- + z+ + i = a- +b + a+ + b+
2
¾ ¾ ® = + với (A 4;0), (B - -1; 4)
Gọi ( )H 1;0 , ta có OH OA. OM2 4 OH OM 2
Suy ra T= 2(MH+ MB) nên Tmin khi (MH+MB)min
¬ ¾® M , H, B thẳng hàng và điểm M nằm giữa H và B
¾ ¾ ® - ¾ ¾ ® = - ¾ ¾ ® = - Chọn A
Câu 11 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Xét các số phức z thỏa mãn z- 2i+ 1 = 4 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(12 5 - i z) + 3i là một đường tròn tâm I, bán kính r.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A I(- 32; 2 , - ) r= 2 13. B (I 32;2 , ) r =52.
C (I - 22; 16 , - ) r= 52. D I(- 22; 16 , - ) r= 2 13.
Lời giải Dễ thấy rằng với z= a+ bi
-ïï
ïïî
Ta có w=(12 5 - i z) + 3i¬ ¾®w=(12 5 - i z)( + 2i+ - 1) 22 16 - i
22 16 12 5 2 1
Lấy môđun hai vế, ta được ¬ ¾® w+ 22 16 + i = 12 5 - i z+ 2i+ = 1 13.4 52 =
Biểu thức w+ 22 16 + i = 52 chứng tỏ tập hợp các số phức w là một đường tròn có tâm ( 22; 16)
I - - và bán kính r = 52. Chọn C
M
-2
1
x
y
O
Trang 4Câu 12 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hai số phức z1= 1 +i và z2= 2 3 - i Môđun của số phức z= z1- z2 bằng
Lời giải Ta có z1- z2= - + 1 4i¾ ¾ ® z1- z2 = 17 Chọn C
Câu 13 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z i- ³ 3 và
1 5
z - £ Gọi z z1, 2Î S lần lượt là các số phức có mođun nhỏ nhất và lớn nhất Số phức
1 2 2
z + z là
A 12 2i- B - 2 12i+ C 6 4i- D 12 4i+
Lời giải Giả sử z= +a bi a b ,( Î ¡)
Ta có ● z- 1 = (a- 1)2+b2 £ 5 ® (a- 1)2+b2£ 52
¾ ¾® tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường tròn tâm
(1;0)
A bán kính R = 5
● z i- = a2+(b- 1)2 ³ 3 ® a2+(b- 1)2³ 32
¾ ¾® tập hợp các cố phức nằm ngoài hoặc trên đường tròn tâm
(0;1)
B bán kính R =' 3
Dựa vào hình vẽ ta thấy
min 1
max 2
0 2
6 0
Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức z1 - z2 £ z1- z2 £ z1 + z2
Ta có
( ) 1 ( ) 2
2 6.
z
Dấu '' '' = thứ nhất xảy ra khi z1- i = 3, kết hợp với z - 1 £ 5 ta được hệ 1
1
3
2
z i
z
ìï - =
ïï
ï - £ ¾ ¾® =
-íï
ïï =
ïî
Tương tự cho dấu '' '' = thứ hai, ta được
2
2
1 5
3
z
z i
ìï - = ïï
-íï
ïï - ³ ïî
Câu 14 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z thỏa mãn zz =1 và z - 1 = 2 Tổng phần thực và phần ảo của z bằng
Lời giải Giả sử z= +a bi a b ; ( Î ¡ )¾ ¾ ® = -z a bi.
● zz= ¾ ¾ 1 ®(a bi a bi+ )( - )= Û 1 a2 +b2 = 1. ( )1
● z- 1 = 2 ¾ ¾® (a- 1)- bi = 2 Û (a- 1)2+b2= 4. ( )2
Giải hệ ( )1 và ( )2 , ta được
2 2
2 2
1.
0
a b b
ìï + = ì = - ï
ï - + = ï =ï
ïî
Chọn A
Trang 5Câu 15 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Quỹ tích điểm biểu
diễn của số phức z= a+ bi (a b Î ¡, ) là phần không tô
màu nằm giữa đường nét đứt và phần tô màu (không
kể biên) như hình bên Khẳng định nào dưới đây là
khẳng định đúng?
A z £1. B 1< z £ 2.
C 1< z < 2. D 2 £ z.
Lời giải Do quỹ tích biểu diễn các điểm của số phức z nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R =1 nhưng nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2 Chọn C
Câu 16 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hai số phức z1= +a bi a b ;( Î ¡ ) và z2= 2017 2018 - i Biết z1= z2, tính S= a+ 2 b
A S = - 1. B S = 4035. C S = - 2019. D S = - 2016. Lời giải Ta có 1 2
2017
2018
a
b
ì = ïï
Câu 17 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho số phức z= +a bi a b ,( Î ¡ ) thỏa mãn z- 4 3 - i = 5.
Tính a+b khi z+ - 1 3i + z- 1 +i đạt giá trị lớn nhất
A a+ b= 4. B a+b= 6. C a b+ = 8. D a+ b= 10.
Lời giải Vì z- 4 3 - i = 5 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm (I 4;3), bán kính R = 5.
Ta có T= z+ - 1 3i + z- 1 +i = (a+ 1)2+(b- 3)2 + (a- 1)2+(b+ 1)2 = MA MB+ , với (A - 1;3), (1; 1 )
B -
Dựa vào hình vẽ ta thấy Tmax¬ ¾® M, N, I thẳng hàng (N là trung
điểm của AB) với I nằm giữa N, M ¾ ¾ ® M(6;4)¾ ¾ ® + =a b 10. Chọn
D
Nhận xét Tmin¬ ¾® M, N, I thẳng hàng (N là trung điểm của AB
) với M nằm giữa N, I ¾ ¾ ®M(2;2 )
Bài toán rơi vào trường hợp đặc biệt là đường trung trực của đoạn
AB đi qua tâm của đường tròn, nếu không rơi vào trường hợp đặc biệt
thì trở thành bài toán vô cùng khó (cũng có cách giải quyết nhưng rất phức tạp và cũng không nên đâm đầu vào dạng ấy)
Câu 18 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Kí hiệu z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình
z + = Gọi M N, là các điểm biểu diễn của số phức z z1, .2 Tính T=OM+ON với O là gốc tọa độ
2
2
0;2 . 2
i
N
i
i
z z
z
é = - ¾ ¾®
ê
êë
-Vậy T= OM+ON= 02+ -( 2)2+ 02+ 22 = 4. Chọn C
Câu 19 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Biết rằng phương trình z2 +bz c+ = 0 ,(b cÎ R) có một nghiệm phức là z1= 1 2 + i Khẳng định nào sau đây đúng?
A b+ c= 0 B b+ c= 2 C b+ c= 3 D b+c= 7
2 1
O y
x
Trang 6Lời giải Vì z1= 1 2 + i là nghiệm phương trình z2+bz c+ = 0 nên (1 2 + i) +b(1 2 + i)+c= 0
b c
b
ì + - = ïï
Û + - + + = Û íïïî + = ¾ ¾® + = Chọn C
Câu 20 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Trong mặt phẳng Oxy, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức (z- z)2 với z= a+bi (a b, Î ¡ , b¹ 0 ) Khẳng định nào sau đây đúng?
A M thuộc tia Ox. B M thuộc tia Oy.
C Mthuộc tia đối của tia Ox. D M thuộc tia đối của tia Oy.
Lời giải Ta có z= +a biÞ z= -a bi¾ ¾®(z- z)2 =(2bi)2= - 4b2< 0
Suy ra M(0; 4 - b2)¾ ¾® M thuộc tia đối của tia Oy. Chọn D
Câu 21 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1+ 3 2 + i = 1 và
z + - i = Số phức z có phần thực bằng a, phần ảo bằng b thỏa mãn 2a b- = 0. Tính
P= a + b khi z z- 1+ z- 2z2 đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải Ta có z- z1 + z- 2z2 = (z+ 3 2 + i) (- z1 + 3 2 + i)+ (z+ 4 2 - i)- 2(z2 + 2 - i)
-= + + + + -
Xét hàm y= (a+ 3)2+(2a+ 2)2+ (a+ 4)2+(2a- 2)2- 3 trên ¡ , ta được minf a =( ) 4
Dấu '' '' = xảy ra khi a= - ¾ ¾ 1 ® = -b 2. Suy ra P =3. Chọn B
Cách 2 Ta có z2+ - 2 i = Û 1 2z2+ - 4 2i = 2. Đặt z3= 2z2 khi đó z3+ - 4 2i = ® 2 Tập hợp điểm C biểu diễn số phức z3 nằm trên đường tròn (E - 4;2) bán kính r =3 2.
z1+ + 3 2i = ® 1 Tập hợp điểm B biểu diễn số phức z1 nằm trên đường tròn D -( 3; 2 - ) bán kính r =1 1.
Vì số phức z có phần thực bằng a, phần ảo bằng b thỏa mãn 2a b- = 0 nên tập hợp điểm A
biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng d y: = 2 x
Khi đó
T= z z- + z- z = z z- + z z- = AB AC+ Gọi H là điểm đối xứng của E qua đường thẳng d, khi đó ta tìm được H(4; 2 - )
Trang 7Phương trình đường thẳng DH y = -: 2.
Biểu thức T đạt GTNN khi A là giao điểm của hai đường thẳng DH và d, B là giao điểm của DA và đường tròn tâm D, C là giao điểm của EA và đường tròn tâm E.
Chọn B
Câu 22 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho các số phức z z z1, , 2 3 có ba điểm biểu diễn tương ứng trên mặt phẳng tọa độ là ba đỉnh của tam giác đều nằm trên đường tròn
(x+ 2018)2+(y- 2016)2= 1. Tổng phần thực và phần ảo của số phức w= z1+ z2+z3 bằng
Lời giải Đường tròn ( ) (C : x+ 2018)2+(y- 2016)2 = 1 có tâm là (I - 2018;2016) và bán kính
1.
r =
Gọi A B C, , lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z z z1, , 2 3
Khi đó DABC đều và nội tiếp đường tròn ( )C nên tâm (I - 2018;2016) là trọng tâm của DABC.
3 3.2016
-ïí
ïî ¾ ¾®w= z1+ z2+z3=3 2018(- )+3.2016 i
¾ ¾® phần thực và phần ảo của w lần lượt là 3 ´ -( 2018) và 3 2016 ´
Vậy tổng phần thực và phần ảo của số phức w= z1+z2+ z3 bằng - 6.
Chọn A
Câu 23 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho số phức z thỏa mãn z= 2z+ + 1 3i Phần thực của z
bằng
Lời giải Gọi z= a+ bi(a b Î ¡, )¾ ¾ ® = -z a bi.
1
a
b
ì = -ïï
ï = ïî
Chọn B
Câu 24 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong mặt phẳng với
hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC có tọa độ điểm
(3;1 , ) ( 1;2)
A C - (tham khảo hình vẽ bên) Số phức nào
sau đây có điểm biểu diễn là điểm B ?
A z1= - 2 3 + i B z2= 2 3 + i
C z3= 4 - i. D z4= - 4 +i.
.
OA CB
î uur uur
Suy ra số phức z2= 2 3 + i có điểm biểu diễn là B.
Chọn B
Câu 25 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z= a+ bi(a b Î ¡, ) thỏa mãn z- 3 3 - i = 6. Khi P= 2z+ 6 3 - i + 3z+ + 1 5i đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức a+b bằng
A 2 2 5 - B 4 2 5 - C 2 5 2 - D 2 5 4
-Lời giải Ta có z- - 3 3i = ® 6 tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm (3;3)
I bán kính r = 6.
Trang 8Khi đó P= 2z+ 6 3 - i + 3z+ + 1 5i = 2MA+ 3MB với (A- 6;3 ,) (B - 1; 5 - )
IC IM
IM = IA = ¾ ¾® D ∽D ¾ ¾® =
Suy ra P= 3(MC+ MB)³ 3BC¾ ¾ ®Pmin = 3BC khi B M C, , theo thứ tự đó thẳng hàng
( 1;3 5 )
M
¾ ¾® - - Vậy a b+ = 2 2 5 - Chọn A
Nhận xét: Những bài cực trị số phức dạng dùng Hình học để giải này tác giả sẽ viết riêng một chuyên đề và có phân tích kỹ
Câu 26 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Gọi A B C, , lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1= 2, z2= 4 , i z3= 2 4 + i trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Diện tích tam giác ABC bằng
Lời giải Từ đề ta suy ra tọa độ các điểm các điểm biểu diễn các số phức
1 , , 2 3
z z z lần lượt là: (A 2;0 , 0;4) B( ) và (C 2;4) (như hình bên)
Ta thấy tam giác ABC vuông tại C nên 1 . 1.4.2 4.
ABC
SD = AC BC= = Chọn B
Câu 27 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z thỏa mãn (z 1 +i)= 3 5 - i
Tính môđun của z.
A z = 4. B z =16. C z = 17. D z =17. Lời giải Ta có 3 5 (3 5 1)( ) 1 4
i
i
Câu 28 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z= 6 7 + i Số phức liên hợp của z có điểm
biểu diễn hình học có tọa độ là
A (- 6; 7 - ) B (6;7 ) C (6; 7 - ) D (- 6;7 )
Lời giải Số phức liên hợp của z là z= - 6 7i¾ ¾ ® điểm biểu diễn hình học của z là (6; 7 - )
Chọn C