Đề và đáp án Chuyên Ngữ Hà Nội 2009

Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.. Gọi ;x x là các nghiệm của phương trình trên.. Kẻ đường kính AD của O.. Kẻ EG vuông góc với AD tại

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TR

Ư ỜNG Đ ẠI HỌC NGOẠI NGỮ

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đ

ộc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2009

MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 07 - 06 – 2009 Đề thi gồm: 01 trang

(Chú ý: Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liêu nào, CBCT không giải thích gì thêm)

Câu 1 (2 đ ) Cho biểu thức:

:

3

Câu 2 (2 đ ) Cho phương trình x 2  2 m 1 x 4m m     2 0, m là tham số

1 Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

2 Gọi ;x x là các nghiệm của phương trình trên Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2

thức : Ax 1  x 2

Câu 3 (2 đ ) Giải hệ phương trình:  

























0 4 2 4

0 2

2 2 2 2

y x y x

y x xy y

x

Câu 4 (3 đ ) Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A và B tuỳ ý Giả sử C là một

điểm nằm phía trong đoạn AB (C khác A, C khác B) Kẻ đường kính AD của (O) Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H, cắt (O) tại M và N Đường thẳng qua M và D cắt AB tại E Kẻ EG vuông góc với AD tại G

1 Chứng minh BDHC và AMEG là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh AM2 = AC.AB

3 Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R2

Câu 5 (1 đ ) Với x; y là những số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2

-

-Đáp án MÔN TOÁN THI VÀO THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ HÀ NỘI

NĂM 2009

Thi ngày 07 – 06 – 2009 Người giải đề: Thầy giáo Nguyễn Cao Cường

Giáo viên Toán – Trường THCS Thái Thịnh – Hà Nội

Câu 1 (2 đ ) Cho biểu thức:

:

3

Giải:

:

3

Đặt 3 x t

:

:

2

3

2 t 2 t t 2 t 2t

2 t 4 2t t 4 2t t t 2t 2t t 2 t 2

A

2 t 4 2t t 2 t t 2t 2t

A

2 t 4 2t t t

t 2t 2t 2t t t 2t 2t

A 2 t

2t

t

Vậy giá trị của A = 2 không phụ thuộc vào x

Câu 2 (2 đ ) Cho phương trình x 2  2 m 1 x 4m m     2 0, m là tham số

1 Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

2 Gọi ;x x là các nghiệm của phương trình trên Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2

thức :

Ax  x

Giải

x  2 m 1 x 4m m   0 (*)

1 Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Ta có

'

2 2

Δm14mm m 1 4m m

1 1 Δm14mm 2m 2m 1 2 m 0 m

2 4

          

Nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

2 Gọi x x 1; 2 là các nghiệm của phương trình trên Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Ax  x

Ta có 2  2  2

A  x  x  x x  4x x

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (*) ( )

.

1 2

2

1 2

x x 2 m 1

x x 4m m







Do đó

min

2

2

2 2

2

A 2 m 1 4 4m m

A 4m 8m 4 16m 4m

1 1

A 8m 8m 4 8 m

2 4 1

2

A 2

1

2

    

        

    

Câu 3 (2 đ ) Giải hệ phương trình:

( )

x y 2 xy x y 0 2 xy x y 4x 2 y 4

x y 4x 2 y 4 0 x y 4x 2 y 4 0

xy x 2 y 2 0 x 2 y 1 0 1

x y 4x 2 y 4 0 x y 4x 2 y 4 0 2



Từ (1) ta có x = -2 hoặc y = 1

Với x = -2 thay vào (2) ta có: 2 y 0

y 2 y 0

y 2





 Với y = 1 thay vào (2) ta có: 2 x 1

x 4x 3 0

x 3





     

 Vậy hệ pt có nghiệm ( ; )x y    2 0; , 2 2; , 1 1; ; 3 1;  

Câu 4 (3 đ ) Trên đường tròn (O;R) ta lấy hai điểm A và B tuỳ ý Giả sử C là một

điểm nằm phía trong đoạn AB (C khác A, C khác B) Kẻ đường kính AD của (O) Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H, cắt (O) tại M và N Đường thẳng qua M và D cắt AB tại E Kẻ EG vuông góc với AD tại G

1 Chứng minh BDHC và AMEG là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh AM2 = AC.AB

3 Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R2

Gi i ải

1.Học sinh dễ dàng chứng minh dựa vào dấu

hiệu tổng hai góc đối của tứ giác

2 Xét (O):

AD  MN (gt)

H là trung điểm MN (qhệ vuông góc giữa

đường kính và dây)

AD là trung trực của MN

AM= AN

cungAM=cungAN (liên hệ giữa cung và dây)

gócM1=gócB1 (2 góc nội tiếp chắn hai cung

bằng nhau)

Xét AMC và ABM

 chung

gócM1=gócB1 (cmt)

AMC đồng dạng với ABM (g_g)

AM AC

AM2 = AB.AC (đpcm)

1 1

G

E H

M

N

D

O

3 Chứng minh AE.AB + DE.DM = 4R2

Chứng minh AGE đồng dạng với ABD (g_g)

AE AG

AD AB

AE.AB=AD.AG

Chứng minh tương tự: DE.DM = AD.GD

AE.AB + DE.DM = AD.AG + AD.GD= AD (AG + GD) = AD AD = AD2

AE.AB + DE.DM = 4R2

Câu 5 (1 đ ) Với x; y là những số thực thoả mãn điều kiện x + y + xy = 8

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 2x2 và 4 ta có:

x  4 2 x 4  x  4 4x

Chứng minh tương tự:

2

y  4 4 y

2x 2 y 4xy

 (x2 + 4) + (y2 + 4) + (2x2 + 2y2)  (4x + 4y + 4xy)

 3(x2 + y2) + 8  4(x + y + xy) (**)

 3P + 8  4 8 (vì x + y + xy = 8)

 P  8

Vậy Pmin = 8 

2

2

x 4

y 4

x y 2 2x 2 y

x y xy 8

















