Đề toán và đáp án chuyên KHTN hà nội lần 1

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;... Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SB tạo với mặt

Môn : Toán học; Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1: Cho số phức z  2 3i Tìm môđun của số phức  = 2z + (1+i)z

A   4 B   2 2 C   10 D   2

Câu 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang ?

A

2 1 1

x y x





1 1

x y x





1 2

x y x





1 1

y x

A ' 1 .

( 1) ln 2

y x

Câu 6: Cho hàm số y  x4 2x2 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  

B Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 0 

C Hàm số đồng biến trên khoảng  1;  

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

phương trình

2 1

Câu 12 : Cho hàm số yx3 3x2 3 có đồ thị như hình vẽ

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m đề phương trình 3 2

x  x  m có ba nghiệm phân biệt

A.x 7 B.x 7 C 1  x 8 D 1  x 7

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

C P =   2

2

2 2 log b

Câu 16 Cho hàm số y  (x 5)3 x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x = 0 B Hàm số đạt cực đại tại x = 1

C Hàm số đạt cực đại tại x = 2 D Hàm số không có cực đại Câu 17 Tính đạo hàm của hàm số 3

y x x

A.

3 ' 3 2

x

3

3 2

y

x

3 ' 2 3

x

3

2 3

x

x y x

x

x y x

ln 2

ln cos 2 2

a

S 

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

với mặt đáy và SA = 2a Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Câu 28 Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, Ac = 2a Quay tam giác

ABC xung quanh cạnh AB ta được một khối nón Tính thể tích V của khối nón đó

A.V  2 a3 B.

3 4 3

a

3 2 3

a



Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (-1; 2; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y +

z – 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)

A (Q): 2x – y + z + 3 = 0 B (Q): 2x – y + z - 3 = 0

C (Q): -x + 2y + z + 3 = 0 D (Q): -x +2 y + z - 3 = 0 Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 1; -1) và B (1; 2; 3) Viết phương

trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B

Câu 32 Tìm tập hợp tất cả các tham số m để đồ thị hàm số yx3x2mx m 2có hai cực trị

nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành

ln( 1) 1

C. 1 2

ln( 1) 2

A V H  9  B V H  6 

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Câu 38 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt

đáy và SB tạo với mặt đáy một góc 45 o

Tính thể tích V của hình chóp S ABC

A

3 3 2

a

3 3 4

a

3 3 6

a

3 3 12

trí điểm M để người đó đến C nhanh nhất

A MB = 3km B MB = 4 km C M trùng B D M trùng C

Câu 44: Với các số phức z thỏa mãn (1 i z)   1 7i  2 Tìm giá trị lớn nhất của z

A.max | | 4.z  B max | | 3.z  C max | | 7.z  D max | | 6.z 

Câu 45 : Tìm tham số m đề phương trình ln xmx4 có đúng một nghiệm

A 1 .

4

m e

4

m e

m e



Câu 46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, AB = a Hình chiếu vuông góc

của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600 Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD

A

3

3 3 4

a

3 3 8

a

3 3 4

a

3 3 12

dx I

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Nếu a>1 thì loga x  c x a c

Sử dụng tính chất biến đổi tổng thành tích và hiệu thành thương và đưa số mũ vào trong logarit

- Cách giải;

2 2

2 log 4 log log 4 log log 2 log log log log b

+ f(x) có đạo hàm f „(x) ≥ 0 (≤ 0) ∀x ∈ℝ và số giá trị x để f‟(x) = 0 là hữu hạn

Do y‟ là một tam thức bậc 2 nên ta sử dụng kiến thức: 2 0

Phương pháp: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số ta thực hiện các bước sau:

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Phương pháp: công thức tính đạo hàm của hàm (au

Phương pháp: Ta thấy trong nguyên hàm có chứa hàm lnx và hàm dx

x x với x1, x2 là hai nghiệm phức của phương trình bậc hai

ax2 + bx + c = 0:

+ Giải phương trình bậc hai ra nghiệm x1 a bi x; 2  a bi

+ Đưa về dạng x1 k1  cos  1 isin  1  ;x2 k2  cos  2 isin  2  + Dùng công thức Moivre: k cos  isin   n k n cosn isinn  – Cách giải

i P

 

Chọn đáp án A Câu 22

Phương pháp: Biểu thức trong tích phân là hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử dụng công

thức biến đổi lượng giác hạ bậc rồi mới tính tích phân

Cách giải

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Đưa tan 2x về dạng sin 2

cos 2

x x

– Cách giải

Tâm I(1;1;–2), bán kính mặt cầu là R = IM = 3 nên phương trình mặt cầu là

   2   2  2

x  y  z 

Chọn C Câu 26

– Tính chất

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Hình nón thu được có bán kính đáy r = AC = 2a, chiều cao h = AB = a nên có thể tích

3 2

Vì (P) // (Q) nên 2 mặt phẳng có cùng VTPT (2;–1;1) (Q) đi qua A(–1;2;1) nên có phương trình 2x – y + z + 3 = 0

Chọn A Câu 30

Đường thẳng AB nhận AB  1;1; 4  làm VTCP và đi qua A(0;1;–1) nên có phương trình

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

+ Cô lập m, đưa phương trình (*) về dạng m < f(x) hoặc m > f(x)

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) hoặc lập bảng biến thiên trên đoạn [a;b], từ đó kết luận ra m thỏa

Chọn C Câu 32 – Phương pháp:

Tìm m để đồ thị hàm số bậc 3 có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bở là trục hoành

(tức là hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu) Tìm nhanh:

Điều kiện đề bài tương đương với phương trình bậc ba f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt Ta thử từng giá trị m rồi giải bằng máy tính, nếu phương trình bậc 3 có 3 nghiệm thực phân biệt thì giá trị m đó thỏa mãn

– Cách giải

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Phương trình đã cho tương đương với log 2

2 2

x m x

phương trình f(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng (–∞;x 0 ) và (x 0 ;+∞)

Mà f(1) = f(2) = 0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a và

x = b (a < b) được tính theo công thức b  

Câu 37

Thiết diện qua trục của hình nón và hình trụ

có dạng như hình bên, với A là đỉnh nón, BC

là đường kính đáy nón, O là tâm đáy, D là 1 giao điểm của đường tròn đáy hình trụ với

BC

Có góc BAC = 90o, OB = OC = OA = 4 Chiều cao hình trụ bằng 1 nên áp dụng định

lý Ta lét ta có OC = 4CD ⇒ CD = 1

⇒ Bán kính đáy hình trụ là r = OD = 3 Thể tích hình trụ là 2

9

V  r h 

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

3

3 4 tan 45

– Phương pháp: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước:

+ Đặt z = a + bi (a, b ∈ℝ) + Chuyển hệ thức với z về hệ thức với a, b, rút gọn để tìm hệ thức liên hệ giữa a và b ⇒ Phương trình (đường thẳng, đường tròn) cần tìm

– Cách giải Giả sử z = a + bi (a,b ∈ℝ) Ta có

– Phương pháp + Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc (d): nhận VTCP của d (u d ) làm VTPT

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Chọn D Câu 41

– Phương pháp Đặt cả 3 logarit bằng nhau và bằng k – Cách giải

Đặt k  log 9a log 12b log 16 a b 

9

16 4 16

b T



Chọn C Câu 42

– Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (P) chưa đường thẳng d 1 cho trước và song song với d 2 cho trước (d 1 và d 2 chéo nhau)

+ Tìm M ∈ (d 1 ) bất kì

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Để người đó đến C nhanh nhất thì M phải thuộc đoạn BC Đặt BM = x ⇒ CM = 7 – x (0 ≤ x ≤ 7)

2 16

– Phương pháp:

+ Đặt z = a + bi (a,b ∈ ℝ) + Biến đổi điều kiện đề bài, sử dụng các bất đẳng thức cần thiết để đánh giá |z|

– Cách giải

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Điều kiện x > 0 + Với m = 0, phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = 1 + Với m > 0, xét hàm số   4

x m

Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD và

CD ⊥ (SHE) nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc SEH

= 60o

3

3 3 tan 60

– Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng d (biết phương trình) trên mặt phẳng (P) (biết phương trình):

+ Tìm giao điểm M của (d) và (P) + Tính n  u n d; P 

+ Viết phương trình đường thẳng qua M và nhận u  n n; P  làm VTCP – Cách giải

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Hàm số đạt cực đại tại A(0;-3) ta có: y‟(0) = 0; y (0) = -3 Hàm số đạt cực tiểu tại B(-1;-5) ta có: y‟(-1) = 0; y (-1) = -5

Cách giải

Hàm số đạt cực đại tại A(0;-3) ta có: y‟(0) = 0; y (0) = -3

 c = -3 Hàm số đạt cực tiểu tại B(-1;-5) ta có: y‟(-1) = 0; y (-1) = -5

Giả sử thiết diện qua trục của nón là tam giác ABC đều, với

A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón, gọi H là tâm đáy Khi đó thiết diện của mặt cầu (C) là đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC Ta có OH = r2, HC = r1

∆ HOC vuông tại H có góc OCH = 30 o

nên 2

1

3 tan 30

3

r T r

Chọn C

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)