Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB , vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB.. Gọi N là giao điểm của AD với BC.. Chứng minh MN// AC.
Trang 1Đề thi olympic năm học 2008-2009 Môn toán 8 huyện hơng sơn
−
−
−
− + +
−
−
−
+
x
x x
x x x
x x
1
1 4 1
1 1
1
2 2
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nào của x thì A< 12
Câu 2 Cho hai số dơng x,y thoả mãn x+y =1
a) Tính giá trị của biểu thức M= x(x+34) +y( y+ 34 ) +2xy +65
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= −
− 2 12
1 1 1
y x
Câu 3 Đa thức P(x) bậc 4 có hẹ số bậc cao nhất là 1
Giả sử P(1)= 0 ; P(3) =0 ; P(5) =0.Hãy tính giá trị của biểu thức :
Q= P(-2) +7P(6)
Câu 4 Tìm tất cả các số nguyên n thoả mãn :
(n+5)2 =[ ( ) ]3
2
4 n−
Câu 5 Cho đoạn thẳng AB , gọi O là trung điểm của AB , vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB Lấy điểm C trên Ax , lấy điểm D trên By sao cho góc COD = 900
a) Chứng minh ∆ACO đồng dạng với ∆BOD
b) Chứng minh CD= AC + BD
c) Kẻ OM vuông góc với CD tại M Gọi N là giao điểm của AD với BC Chứng minh MN// AC
Trang 2
đáp án và biểu điểm
Câu 1( 3,5 đ)
a) (0,5đ) ĐKXĐ
≠
±≠
0
1
x x
b) (1,5đ) Rút gọn ta có A=
x
x 1004−
c) (1,5đ) A< khi x 1004x
2
< 2008 0 0 2008 2
1 ⇔ − < ⇔ < x<
x
x
Kết hợp với ĐKXĐ ta
có khi
≠
<
<
1
2008
0
x
x
Thì A<
2 1
Câu 2 (4đ)
a) (2đ) M= x(x+34) + y( y+34) +2xy +65= (x+y)2 +34(x+y) +65
thay x+y =1 ta có M=100
b) (2đ) P= −
− 2 12
1
1 1
y
2 2
2
y x
y
thay x+y =1 ta có
P = ( )( )
xy xy
xy xy
xy y x xy
y
1 2
1 1
1
+
= +
= + + +
= + +
Ta có P nhỏ nhất khi xy2 nhỏ nhất do x,y >0 nên xy2 nhỏ nhất khi x,y lớn nhất
mà x+y =1 không đổi nên x,y lớn nhất khi x=y=1/2 Vậy 9
2
1 2 1
2 1 min = + =
P
Câu 3 ( 3 đ)
Vì P(1) =0; P(3)= 0; P(5) =0 nên đa thứcP(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm Mà hệ số của bậc cao nhất bằng 1 nên P(x) = (x-1) (x-3) (x-5) (x-a) Từ đó
⇒P(-2) =210+105a và 7P(6) = 630-105a Vậy Q= P(-2) +7P(6) =840
Câu 4 (3,5đ)
Vì (n+5)2 ≥ 0với mọi n nên n ≥ 2 Dễ thấy n=2 không thoả mãn nên n>2 Với n>2 ta có
(n+ 5)2 = 64(n− 2)3≥ 64(n− 2)2⇒(n+ 5)2 ≥ 8(n− 2) ⇔ 7n≤ 21 ⇔n≤ 3
Kết hợp với n>2 ta có n=3 Vậy giá trị cần tìm là n=3
Câu 5 (6 đ)
a) (2đ) Ta có ∠BOD = ∠OCAcùng phụ với góc COA
∠A= ∠B = 1V ⇒ ∆ACO đồng dạng với ∆BOD
b) ( 2đ)
Kéo dai CO cắt BD tại E ta có tam giác AOC bằng tam giác BOE Suy ra
CA =BE và CO =OE Từ AC =BE suy ra CA + BD=DE (1)
Từ CO =OE và DO vuong góc với CE suy ra tam giác CDE cân tại D ⇒
CD=DE (2)
Trang 3Từ (1) và (2 ) ta có AC+BD= CD
c) (2đ) Từ AC//BD ta có ND NA = BD AC (3) vì tam giác CDE cân tại D nên DO cũng là phân giác của góc CDE ⇒OM =OB.Vậy ∆MOC = ∆BOE mà
AOC
BOE = ∆
∆ Suy ra ∆MOC = ∆AOC Từ đó AC=CM (40 mà AC+BD= CD
=CM+MD suy ra BD =MD (5) Từ (3),(4),(5) ta có MC MD = ND NA Vậy MN//AC