MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG

MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNGMÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN

KHOA CNHH & MT

HỌC PHẦN

MÔ HÌNH HÓA TRONG MÔI TRƯỜNG

Sinh viên: Nguyễn Thị Hằng Ngân Lớp: 116151

Giảng viên: Đặng Xuân Hiển

Hưng Yên, tháng 12, năm 2018

5.3.2 Đa thức nội suy Newton

Từ bảng số 1: Với các mức nội suy xi, v = , ở đây đưa thêm mốc nội suy x thuộc [a,b] (bất kì) gần x0 tính:

f [x,x0] =

=> f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0] (2)

Ta lại có:

f [x,x0,x1] = Hay f [x, x0] = f [x0, x1] + (x – x1)(x,x0,x1) (3)

Thay (3) vào (2) ta được:

f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0] + (x – x0)(x – x1) f[x,x0,x1] Lặp lại quá trình trên đối với tỷ hiệu cấp 3,4 ….cuối cùng ta được:

f(x) = f(x0) + (x – x0) f[x,x0] + (x – x0) (x – x1) f[x,x0,x1] +…

+ (x – x0)(x – x1) (x – xn-1) f[x0,x1,…xn] + … + (x – x0)(x – x1) …(x – xn) f[x,x0,…xn] (4) Trong (4) nếu đặt:

Pn(x) = f(x0) + (x – x0) f[x0,x1]+… + (x – x0)(x – x1)… (x – xn-1) f[x0,x1,…xn] (5) Và: Rn(x) = f[x,x0,…xn] (6)

Thì f(x) = Pn(x) + Rn(x) (7)

Nhận thấy: Pn(x) xác định theo (5) thì Pn(x) là đa thức bậc n sinh ra từ bảng số (1) Ở đây ta cần chỉ ra đa thức này cần thỏa mãn điều kiện: yi= Pn(x) , i = thì Pn(x) là đa thức

Thực vậy, từ (7) ta có:

yi = f(xi) = Pn(xi) + Rn(xi)

Do Rn(xi) = 0 (i = ) {theo (6)} nên ta có:

yi = f(xi) = Pn(xi), i = Nhận xét: Biểu thức (5) là đa thức nội suy Newton (dạng tiến,

x phát từ x0)

Nếu các mốc nội suy được đánh theo thứ tự: xn, xn-1, xn-2,…x1,

x0 thì đa thức xuất phat từ xn có dạng:

Pn(x) = f(xn) + (x – xn) f[x1,xn-1] + (x – xn)(x – xn-1) f[x,xn-1,xn-2]

+…+ (x – xn)(x – xn-1)… (x – x1) f[xn,xn-1…x1,x0] (8) Nhận xét:

+) Biểu thức (8) là đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn

+) Cả hai đa thức (5) và (8) đều chung bảng tỷ hiệu ở trên

+) Trong thực hành, nếu cần tính giá trị nội suy của hàm

Y = f(x) tại điểm , nếu gần x0 thì áp dụng công thức (5), nếu gần xn thì áp dụng công thức (8)

5.3.3 Đa thức nội suy có mốc cách đều

Nhận thấy:

+) Các đa thức nội suy Lagrange và đa thức nội suy Newton đều

có thể áp dụng được cho trường hợp này

+) Nếu các mốc nội suy cách đều, tức ta có khoảng cách

h = xi+1 – xi , với mọi i = đưa ra thuật toán thuận lợi hơn

a) Sai phân hữu hạn (hay có thể gọi hiệu hữu hạn)

Cho hàm y = f(x) trên [a,b]

Tỷ hiệu ∆x = h (h > 0): số gia

Ta có:

+) ∆f(x) =f(x+h) – f(x) gọi là sai phân cấp I của f(x) tại x

+) Sai phân của sai phân cấp 1 gọi là sai phân cấp II

∆2f(x) = ∆(∆f(x)) = ∆[f(x+h) – f(x)

= f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x) +) Sai phân của sai phân cấp m-1 gọi là sai phân cấp m

∆mf(x) = ∆m-1f(x) ; m = 2, 3,…

Nhận xét:

Từ định nghĩa này, có thể xem ∆ như là toán tử độc lập, từ hàm f(x) tương ứng, nghĩa là ∆ tác động lên f sao cho:

∆ = f(x) = f(x+h) – f(x) b) Bảng sai phân hữu hạn

Giả sử hàm y = f(x) được cho dưới dạng bảng số:

yi = f(xi) ; i = Các mốc nội suy xi = x0 + ih , i =

[h = ∆x = xi – xi-1 với mọi i = Sai phân các cấp được xác định theo các công thức:

∆yi = yi+1 – yi ; i = , sai phân cấp I

∆yi = ∆(∆yi) = ∆yi+1 - ∆yi ; i = , sai phân cấp II Tổng quát: Sai phân cấp

∆n yi = ∆(∆n-1 yi) = ∆n-1 yi+1 - ∆n-1yi Công thức (6) được mô tả trong bảng tính sau:

Nhận xét:

+) Để có sai phân cấp I cần 2 mốc nội suy

+) Để có sai phân cấp II cần 3 mốc nội suy

+) Để có sai phân cấp n cần n+1 mốc nội suy

c)Liên hệ giữa sai phân và tỷ hiệu

Ta có:

f[x0,x1] = = =

f[x0,x1,x2] = == ∆2y0

Ta có công thức tổng quát:

f[x0,x1,… xk] = ∆k.y0 , k = 1, 2,… (7) d) Đa thức nội suy Newton có mốc cách đều

Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0:

f(x) = Pn(x) f(x) + (x – x0) f[x0,x1] + (x – x0)(x – x1) f[x0,x1,x2]

+…+ (x – x0) (x – x1)…(x – xn-1) f[x0,x1,…xn] (8) Đặt x = x0+ ht thì x – x0 = ht

x – x1 = (x – x0) + (x – x1) = ht – h = (t –

1)h

x – xk = (t – k)h , k = 0, 1, 2,…

Cùng với (7) thay vào (8) ta có:

f(x) Pn(x) = Pn(x0 + ht) = y0 + + + t(t – 1) +…+ t(t – 1)… (t – nt) (9)

Nhận xét:

+) Công thức (9) là công thức nội suy Newton có mốc cách đều, hệ số của nó được sử dụng từ hàng đầu của bảng sai phân ở phần trước

+) Tương tự ta cũng xây dựng được công thức nội suy Newton có mốc cách đều xuất phát từ mốc xn

f(x) Pn(x) = f(xn) + (x – xn) f[xn,xn-1,…x0] (10)

5.4 Nội suy bằng hàm Spline

Nhận xét:

+) Phương pháp nội suy bằng đa thức: phương trình không quá phức tạp, song nhược điểm là khi số mốc nội suy tăng thì bậc của đa thức nội suy cũng tăng làm phức tạp cho quá trình tính toán

+) Phương pháp tiếp cận bằng hàm Spline Xét một thuật toán: từ n + 1 mốc nội suy ta xây dựng 1 đa thức bậc thấp hơn n trên từng khúc, mà khi nối chúng với nhau vẫn đạt

dộ trơn cao: còn gọi pp nội suy này là phép ghép trơn từng khúc

5.4.1 Khái niệm về phép ghép trơn spline

Xét một cách chia đoạn [a,b] như sau:

< <x2< … < xn ] Giả sử hàm y = f(x) xác định liên tục trên [a,b] hoặc được cho ở bảng số: yi = f(xi) ; i = (1)

Xây dựng hàm ghép trơn (x) bậc m (m n) trên [a,b] đó sẽ cho (xi) = yi , i =

Để đơn giản xét hàm Spline bậc 3 (m=3) thường được sử dụng trong kỹ thuật tính toán

5.4.2 Hàm Spline bậc 3 (m=3)

Đặt = [xj-1; xj]

hj = xj – xj-1

mj = S”(xj), j = [với S”(xj) = j – x) + j]

Trên đoạn này, S(x) là đa thức bậc 3 nên S”(x) là đa thức bậc nhất

Ta lần lượt cho x = xj-1 và x = xj để xác định j và j

+ Khi x = xj-1 thì mj-1 =jhj => j =

+ Khi x = xj thì mj = jhj => j =

Vậy S”(x) = (xj – x) + (x – xj-1) , j = (3)

Tích phân (3) 2 lần:

S(x) = (xj – x)3 + (x – xj-1)3 + j(xj – x)+ j(x – xj -1) (4)

S(xi) = yi

Để xác định j và j ta cho x = xj-1 và x = xj

+ Khi x = xj thì

S(xj) = j3 – j hj mà S(xj) = yj

Vậy j = (yj – hj2)

+ Khi x = xj-1 thì

j = (yj-1 – hj2)

Thay vào (4) ta được trên đoạn j = [xj-1, xj] , j =

S(x) = (xj – x)3 + (x – xj -1)3 + (yj-1 – hj2)(xj – x)

+ (yj – hj2) (x – xj -1) ; x = [xj-1, xj] (5)

Bây giờ sử dụng điều kiện ghép đơn ở các điểm (điểm nội suy) của khúc (các điểm xj, j = ) để xác định hệ số mj (j = )

Từ (5) ta có:

S’(x) = (xj – x)2 + (x – xj -1)2 – (yj-1 – hj2),

với mọi x = [xj-1, xj], j =

Buộc tại điểm x = xj thì S’(xj+0) = S’(xj-0)

S’(xj-0) sử dụng S(x) trên [xj-1, xj]

S’(xj+0) sử dụng S(x) trên [xj, xj+1]

S’(xj-0) = hj - (yj-1 – hj2) + (yj – hj2)

= hj + hj +

Từ S’(xj-0) = S’(xj+0), j = ta thu được hệ (n – 1) phương trình với n+1 ẩn (m0, m1,… mn)

Chia 2 vế của (6) cho ta có:

mj-1 + 2mj + mj+1 = (*) Đặt

Phương trình (*) ta viết lại như sau:

j mj-1 + 2mj + j mj+1 = dj , j = Nhận xét: Hệ (8) gồm n – 1 phương trình, và n + 1 ẩn: 2 phương trình còn thiếu sẽ được bổ sung từ điều kiện biên tại a

và b hay từ điều kiện x0 = a và xn = b

(1) Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp II tại x = a và x = b, tức

f”(a) = và f”(b) = dn Khi đó ta buộc hàm nội suy Spline phải thỏa mãn điều kiện:

m0 = S”(a) = f”(a) = d0

mn = S”(b) = f”(b) = dn

Vậy để thêm 2 điều kiện biên này, ta có hệ phương trình:

(2) Nếu hàm f(x) có đạo hàm cấp I tại biên x0 = a, xn = b

Như vậy: (10)

Từ đẳng thức S’(x), khi x = x0 + 0 ta được:

= - h1 - (y0 - h12) + (y1 - h12) = - h1 - h1 +

Mà ta có: = Từ đó ta có

2m0 + m1 = ( – ) Đặt vế phải của đẳng thức cuối cùng là d0 ta được:

2m0 + m1 = d0 (11) Hoàn toàn tương tự tại xn = b

Từ ( = (xn) ta suy ra:

mn-1 + 2mn = dn

với dn = ((xn) - (12)

Vậy trong trường hợp này ta được hệ:

, j = (13)

Từ (9) và (13) cả 2 trường hợp ta có thể viết ở dạng tổng quát như sau:

, j = (14)

Trong đó: < 2 ; < 2

Hệ (14) là hệ phương trình có ma trận hệ số đặc trưng dạng 3 đường chéo và có đường chéo chính trội nên có thể được giải bằng phương pháp truy đuổi

Từ (14) giải hệ này ta thu được nghiệm (j = ) Thay vào (14)

ta được hàm spline bậc 3 trên đoạn [xj-1, xj]

Trong trường hợp các mốc nội suy cách đều nhau (xj, j = ) thì:

h = xj – xj-1 ; với mọi x = thì:

= =

Hệ (14) được viết như sau:

, j =

Bài tập: Lập hàm spline bậc III để xấp xỉ làm sinx trên đoạn

đã cho với các mốc nội suy x0 = 0; x1 = =

6 Ứng dụng phương pháp số để tính đạo hàm và tích phân

6.1 Tính đạo hàm nhờ công thức nội suy Lagrange

Từ bảng số yi = f(xi) , i = (1)

Từ sai số của đa thức nội suy: R(x) = f(x) = P(x) (2)

thì sai số của đạo hàm: r(x) = f(x) = P’(x) = R’(x) (3)

Đối với đạo hàm cấp cao ta cũng có công thức tương tự

Bằng đa thức nội suy Lagrange

f(x) = P(x) = yj (4)

ta suy ra: f’(x) = P’(x) = yj (5) tương tự ta suy ra: f’’(x) = f’’’(x),…

Xét trường hợp các mốc xi , i = cách đều:

Do P(x) = yj = yi

Trong đó: = ; x – x0 = th

hay = hn+1 t(t – 1)(t – 2)… (t – n) = hn+1

và (xi) = (xi – x0)(xi – x1)… (xi – xi-1)(xi – xi+1)…

(xi – xn)

= hn i(i – 1 )(i – 2)… 2.1 (-1)(-2)…[-(n – 1)]

= hn (-1)n-1 i!(n – 1)! thì P(x) = yi

Hay P(x) = P(xo+ht) = P(t) = yi (6)

Vậy f’(x) = P’(x) = P’(x0 + ht) = P’t(t)

Xét một số trường hợp riêng:

(1) Trường hợp khi n = 2 (có 3 điểm x0, x1, x2)

Từ (6) ta có:

P2(x) = (t – 1)(t – 2) y0 – t(t – 2) y1 + t(t – 1) y2

f’(x) = P’(x) = = [ (2t – 3) y0 – (2t – 2) y1

+ (2t – 1) y2 ] (7)

Đặc biệt nếu đạo hàm tính tại mốc nội suy, từ (7) ta có thể viết:

(+) x = x0 > t = 0

f’(x0) = P2’(x0) = [- y0 + 2y1 - y2 ] = [-y0 + 4y1 – y2 ]

(+) x = x1 > t = 1

f’(x1) = P2’(x1) = [- y0 + y2 ] = [-y0 + y2 ]

(+) x = x2 > t = 2

f’(x2) = P2’(x2) = [y0 + 4y1 + 3y2 ]

Bằng khai triển taylor ta dễ dàng nhận thấy sai số trong công thức (7) đạt xấp xỉ Q(h2)

Hoàn toàn tương tự ta suy ra giá trị của f’ tại các mốc x0, x1,

x2, x3 như sau:

(9)

Đạt sai số Q(h3) Nhận xét: Nếu các mốc nội suy càng nhiều thì sai số đạt được càng cao, tính càng phức tạp

6.2 Tính gần đúng tích phân xác định nhờ đa thức nội suy Lagrange

Giả sử biết giá trị: yi = f(xi) , i = (1) Trong đó: a x0 < x1 < x2 < … < xn b

Cần tính gần đúng giá trị của tích phân

I = = (2) Thay vào các giá trị của bảng số (1) Ta xây dựng đa thức nội suy Lagrange L(x):

L(x) = yi (3) Trong đó:

= , đồng thời L(xi) = yi , i =

I = = + Rn(x) (4) Trong đó: Rn(x) là sai số

Từ đó và từ (4), nếu bỏ qua sai số ta được phép viết:

I = (5) Với Ai = dx (6)

Nhận xét:

+) Công thức (5) là công thức gần đúng tính tích phân xác định I (còn gọi là công thức cầu phương)

+) Bằng đa thức nội suy khác, suy ra ra được các công thức cầu phương khác

6.3 Công thức Newton – Côtet; Công thức hình thang; Công thức Simson để tính gần đúng tích phân xác định

Cần tính: I = = (7) Chia đoạn [a,b] thành n phần bằng nhau có h = bởi các điểm chia x0a, xnb, xi= x0 + ih (i = )

Đồng thời tại các điểm xi ta có bảng số:

yi = f(xi) , i = với Ai là một số không đổi nào đó Vấn đề: Ta đi tìm biểu thức hiện của Ai trong công thức (9) Nếu sử dụng công thức nội suy Lagrange:

Ai = dx

Do các mốc xi cách đều nhau, với các bước h = và

xi = xo + ht thì:

Ai = d(x0 + ht) Hay Ai = h dt (i = )

Hay Ai = (b – a)Hi (10) Với Hi = dt (i = ) (11)

Vì h = Hi gọi là hệ số Côtet Vậy I = (b – a) (12) Trong đó: yi = f(xi) = f(a + ih) ; i =

Từ (11) ta dễ dàng kiểm tra lại rằng:

= 1 và Hi = Hn-i

Nghĩa là hệ số Côtet đối xứng nhau qua mốc trung gian Nhận xét: Công thức (12) là công thức Newton-Cotet với các hệ số Hi tính theo (n)

Ta xét trường hợp riêng

a) Trong (12) xét khi n = 1

Ta có:

H0 = - dt =

H1 = - dt =

Vậy I = (y0 + y1) (13) Nhận xét: Công thức (13) gọi là coogn thức hình thang b) Trường hợp trong (12) khi n = 2

H0 = dt =

H1 = - dt =

H1 = dt =

Do h = nên theo công thức (12) ta được:

I = (y0 + 4y1 + y2) (14) Nhận xét: Công thức (14) gọi là công thức Simson hay công thức Parabol

c) Trường hợp (12) khi n = 3

[ta có 4 mốc: x0, x1, x2, x3]

h = Theo công thức (11) (12) ta được:

I = (y0 + 3y1 + 3y2 + y3) Nhận xét:

+) Khi n càng lớn thì công thức càng phức tạp, do vậy trong kỹ thuật thường sử dụng công thức (13) (14)

+) Hoàn toàn tương tự, ta có thể xác định được các công thức Cotet với n = 4,5