Tìm hiểu năng lực mô hình hóa toán học của sinh viên sư phạm ngành toán trong môi trường công nghệ

Phát biểu một cách cụ thể hơn, mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây

i

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ ÁNH TUYẾT

TÌM HIỂU NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA CỦA SINH VIÊN SƯ PHẠM NGÀNH TOÁN TRONG MÔI TRƯỜNG CÔNG NGHỆ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THỊ TÂN AN

Thừa Thiên Huế, năm 2016

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả

Bùi Thị Ánh Tuyết

iii

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến cô Nguyễn Thị Tân An, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua

Tôi cũng xin chân thành cám ơn tập thể sinh viên năm 4 của Khoa Toán

trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã tạo điều kiện và phối hợp với tôi khi tiến hành thực nghiệm sư phạm

Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý

Chân thành cám ơn!

Huế, tháng 10 năm 2016 Bùi Thị Ánh Tuyết

1

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

MỤC LỤC 1

BẢNG CHỮ VIẾT TẮT 3

DANH MỤC BẢNG  BIỂU ĐỒ  HÌNH VẼ 4

CHƯƠNG 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 7

1.1 Mô hình hóa Toán học 7

1.2 Vai trò của công nghệ trong mô hình hóa Toán học 8

1.3 Sơ lược lịch sử nghiên cứu liên quan đến đề tài 13

1.4 Đặt vấn đề 14

1.5 Kết luận chương 1 15

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 16

2.1 Quá trình mô hình hóa toán học 16

2.2 Quá trình mô hình hóa toán học trong môi trường công nghệ 17

2.3 Sự tương tác giữa MHH, nội dung toán và công nghệ 24

2.4 Các loại tình huống MHH trong môi trường công nghệ 25

2.5 Câu hỏi nghiên cứu 26

3.1Ngữ cảnh và mục tiêu 27

3.2 Phương pháp nghiên cứu 29

3.3 Phiếu học tập 30

3.3.1 Nội dung phiếu học tập 30

3.3.2 Phân tích tiên nghiệm 34

CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 47

4.1 Ví dụ 1 47

4.1.1 Mô tả bài làm của sinh viên 47

2

4.1.2 Nhận xét 53

4.1.3 Kết luận 56

4.2 Tình huống 2 56

4.2.1 Mô tả bài làm của sinh viên 56

4.2.2 Nhận xét 62

4.2.3 Kết luận 65

4.3 Tình huống 3 66

4.3.1 Mô tả bài làm của sinh viên 66

4.3.2 Nhận xét 69

4.3.3 Kết luận 72

4.4 Kết luận chương 4 72

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN 74

5.1 Trả lời và kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu 74

5.2 Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

Hình 2.1 Chu trình MHH của Blum & Lei (2007)

Hình 2.2 Quy trình MHH kết hợp với công nghệ

Hình 2.3 Sơ đồ về bốn bước chuyển đổi của Siller & Greefrath (2010) Hình 2.4 Hình ảnh mô tả sân bóng futsal

Hình 2.5 Mô hình của ví dụ trong DGS

Hình 2.6 Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ DGS

Hình 2.7 Mô hình của ví dụ trong CAS

Hình 2.8 Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ CAS

Hình 2.9 Mô hình của ví dụ trong SP

Hình 2.10 Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ SP

Hình 2.11 Quy trình MHH và ảnh hưởng của công nghệ

Hình 2.12 Mối quan hệ giữa MHH nội dung toán và công nghệ

Hình 3.7 Hình ảnh công cụ compa của cách 2 trong tình huống 1

Hình 3.8 Hình ảnh kết quả của cách 2 trong tình huống 1

Hình 3.9 Hình ảnh công cụ dựng hình đa giác của cách 3 trong tình

huống 1 Hình 3.10 Hình ảnh kết quả của cách 3 trong tình huống 1

Hình 3.11 Hình ảnh mô hình của cách 1 trong tình huống 2

Hình 3.12 Hình ảnh kết quả của cách 1 trong tình huống 2

Hình 3.17 Hình ảnh kết quả giá trị a của cách 1 trong tình huống 3

Hình 3.18 Hình ảnh kết quả của cách 1 trong tình huống 3

Hình 3.19 Hình ảnh kết quả giá trị a;b;c;d của cách 2 trong tình huống 3 Hình 3.20 Hình ảnh kết quả của cách 2 trong tình huống 3

Hình 3.21 Hình ảnh kết quả của giá trị a;b;c của cách 3 trong tình huống 3 Hình 3.22 Hình ảnh kết quả của cách 3 trong tình huống 3

7

1.1 Mô hình hóa Toán học

Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa và mô tả về khái niệm mô hình hóa toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn Trong luận án này, chúng tôi sử dụng định nghĩa mô hình hóa toán học của Edwards và Hamson (2001) như sau:

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận

Phát biểu một cách cụ thể hơn, mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý Tuy nhiên, nếu nói một cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học chỉ là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học

Dựa vào định nghĩa trên, ta thấy rằng mô hình hóa toán học là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán học khác nhau cũng như có kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế được xem xét

Để thuận tiện trong việc trình bày luận văn, kể từ lúc này, tôi sử dụng thuật ngữ

“mô hình hóa”, viết tắt là MHH, thay cho thuật ngữ “mô hình hóa toán học” Trong những thập kỉ gần đây, việc đưa MHH vào dạy và học toán trong nhà trường đã được nhiều sự ủng hộ vì những lí do sau:

8

 Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống, môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn

 Mô hình hóa toán học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán như một công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ đó giúp các em thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế Khả năng sử dụng toán vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự động của sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện

 Mô hình hóa toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện

và phong phú của toán học, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học mà còn là một phần của lịch sử và văn hóa loài người

 Các nội dung toán có thể được hình thành, củng cố bởi các ví dụ mô hình hóa phù hợp, điều này giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thái độ tích cực của các em đối với toán, tạo động cơ, thúc đẩy việc học toán

 Mô hình hóa toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực toán học của học sinh như suy luận, khám phá, sáng tạo, giải quyết vấn đề

1.2 Vai trò của công nghệ trong mô hình hóa Toán học

Trên thế giới, xu hướng ứng dụng công nghệ vào các hoạt động đời sống hàng ngày đang diễn ra và không ngừng phát triển Chính vì lẽ đó mà công nghệ ngày càng được quan tâm đầu tư không chỉ các tập thể mà còn có các cá nhân Công nghệ xâm nhập vào rất nhiều khía cạnh trong đó có giáo dục và ngày càng chứng

tỏ được vai trò của công nghệ trong việc giảng dạy nói chung và học tập nói riêng

Bên cạnh đó, tính chính xác và nhanh chóng của công nghệ cũng là một yếu tố đáng chú ý Bởi vì với yếu tố này công nghệ sẽ trở thành công cụ đầy quyền lực cho sinh viên trong việc giải quyết các mô hình Trên cơ sở đó, công việc giảng

Hệ thống máy tính đại số (CAS)

Có khá nhiều phần mềm CAS nhưng có lẽ quen thuộc nhất đối với giáo viên và sinh viên Toán thì đó là phần mềm Maple Maple là một gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều mục đích Nó phát triển lần đầu tiên vào năm

1980 bởi Nhóm Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo Ontario

Canada Từ năm 1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo Maple Inc (còn được biết đến với tên gọi Maplesoft), một công ty Canada cũng

có trụ sở tại Waterloo, Ontario Phần mềm Maple trở thành một phần mềm được giảng dạy trong chương trình của ngành Sư phạm Toán Chính vì lẽ đó mà Maple chiếm vị trí ưu tiên khi nói đến CAS

Tuy nhiên Maple khá nặng và sử dụng khá phức tạp Chính vì nó có thể giải quyết được những bài toán cao cấp những hàm số với công thức phức tạp nên việc sử dụng Maple cho những câu hỏi Toán học phổ thông trở nên quá cao Do

đó ngoài việc vẫn lựa chọn Maple là phần mềm đại diện cho CAS thì nghiên cứu này đã lựa chọn thêm một công cụ khác Đó là máy tính bỏ túi của Vinacal Đây

là loại máy tính quen thuộc với học sinh cũng như sinh viên Nó sẽ trở nên hữu hiệu khi giải quyết các bài toán phổ thông như giải hệ phương trình bậc nhất 3

10

trên Google thì Sketchpad là cái tên được nhắc đến nhiều nhất The Geometer's Sketchpad (thường được gọi tắt là Sketchpad hay GSP) là một phần mềm thương mại với mục đích khám phá Hình học Euclid, Đại số, Giải tích, và các ngành khác của Toán học Geometer's Sketchpad được sử dụng rộng rãi trong việc giảng dạy ở nhiều trường trung học cơ sở ở Hoa Kỳ và Canada Geometer's Sketchpad từng nhận được nhiều giải thưởng công nghiệp và từng có mặt trong các bài thuyết trình của John Sculley (giám đốc Apple Computer) và Bill Gates (giám đốc Microsoft) về những công nghệ giáo dục tốt nhất Trong chương trình học của ngành sư phạm Toán thì Sketchpad đã được đưa vào giảng dạy với giáo trình riêng Còn trong chương trình tập huấn cho giáo viên Toán phổ thông

Sketchpad cũng là lựa chọn công nghệ hàng đầu để giới thiệu cho giáo viên Do

đó nghiên cứu này đã chọn công cụ đại diện cho DGS là Sketchpad

Chương trình bảng tính (SP)

Bộ Microsoft Office là bộ Office thông dụng đối với tất cả mọi người Kể từ khi

ra đời cho đến nay bộ Office này vẫn giữ vị trí tiên phong trong chương trình tin học văn phòng Microsoft Office ngày càng nâng cấp với rất nhiều phần mềm nhưng phố biến nhất phải kể đến đó Microsoft Word Microsoft Excel

Microsoft Power Point Microsoft Excel là chương trình xử lý bảng tính được thiết kế để giúp ghi lại, trình bày các thông tin xử lý dưới dạng bảng, thực hiện tính toán và xây dựng các số liệu thống kê trực quan có trong bảng từ Excel Bảng tính của Excel bao gồm nhiều ô được tạo bởi các dòng các cột và Excel có nhiều tính năng ưu việt và có giao diện rất thân thiện với người dùng Do

đónghiên cứu này đã chọn công cụ đại diện cho SP là Excel

Một ý tưởng quan trọng của việc sử dụng các công cụ kỹ thuật số trong toán học

và đặc biệt là trong các bài học MHH là sự tích hợp Các công cụ đồ họa biểu tượng mang tính hiện đại và máy tính cung cấp những cách thức mới trong việc học và sự hiểu biết toán học

Nhưng các công cụ kỹ thuật số không chỉ là công cụ để hỗ trợ các hoạt động mô hình của sinh viên Trong nhiều dự án, giáo viên cố gắng thực hiện các công cụ

kỹ thuật số như máy tính xách tay với phần mềm máy tính đại số để mang lại

11

nhiều ứng dụng và MHH vào kinh nghiệm giảng dạy từng ngày (Henn 1998).Vậy thì trong công việc của giáo viên những yếu tố nào sẽ ảnh hưởng đến sự chọn lựa của họ? Vince Geiger đã nghiên cứu và đưa ra những yếu tố ảnh hưởng đến thực hành sáng tạo với công nghệ và MHH toán học của giáo viên

Đầu tiên phải nói đến việc sử dụng CAS trong MHH toán học

Trong hai thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu đã lập luận rằng các công nghệ kỹ thuật số có khả năng tăng cường giảng dạy và học tập của toán học (Zbiek và cộng sự 2007) Mặc dù nghiên cứu năng lực chuyển giao công nghệ kỹ thuật số đến giảng dạy toán học đã tăng lên nhanh chóng (Hoyles và NOSS 2003), nhưng nghiên cứu về cách thức sẵn có của các tác động công nghệ vào giảng dạy và học tập MHH toán học là ít phổ biến

Một số nhà nghiên cứu đã tìm thấy rằng nhiều phương tiện biểu hiện được cung cấp bởi công nghệ kỹ thuật số có thể tăng cường năng lực của sinh viên để giải quyết các vấn đề mang ngữ cảnh toán học (xem ví dụ, Huntley và cộng sự 2000)

Vì vậy, nghiên cứu về các lợi ích tiềm năng được cung cấp bởi công nghệ là tương đối mới với bối cảnh trường học, như CAS - công nghệ kích hoạt, cũng phải xem xét các khả năng và hạn chế gặp phải trong thiết lập lớp học đích thực khi công nghệ này được giới thiệu Trong khi nó đã được lập luận rằng CAS có tiềm năng để cung cấp truy cập đến các vấn đề phức tạp hơn liên quan đến cuộc sống (Thomas 2001) thông qua bản chất tích hợp cao của tính đại diện và sức mạnh tính toán tăng cường cung cấp bởi các thiết bị, các tiềm năng của mô hình

và CAS được xem xét riêng biệt trong nghiên cứu giáo dục toán học (Thomas et

al 2004)

Thứ hai mô hình của việc sử dụng công nghệ trong MHH Toán Học

Mô hình toán học thường được trình bày như là một quá trình tuần hoàn bắt đầu với một vấn đề thiết lập trong cuộc sống để rồi trừu tượng thành một đại diện toán học của tình huống bối cảnh hóa và giải quyết thông qua việc áp dụng các thói quen và quá trình tính toán Các giải pháp được đưa vào hỗ trợ chống lại vấn

12

đề ban đầu để xem xét sự phù hợp của nó với bối cảnh ban đầu Các công nghệ đóng vai trò trong quá trình này đã được mô tả bởi Galbraith và cộng sự (2003) Quan điểm này xác định các khái niệm của MHH toán học là một hoạt động độc quyền của con người, trong khi các hành động của việc tìm kiếm một giải pháp cho các mô hình trừu tượng có thể tăng cường thông qua sự kết hợp của công nghệ Do đó công nghệ được xem là một công cụ dùng để tương tác với những ý tưởng toán học chỉ sau một MHH toán học được phát triển, chứ không phải là một công cụ cho việc thăm dò và phát triển của một mô hình hoặc xác nhận nó như là một đại diện đáng tin cậy của một tình huống liên quan

Nghiên cứu gần đây chỉ ra rằng đây là một quan điểm hạn chế về vai trò của công nghệ trong MHH toán học Confrey và Maloney (2007) cho rằng quá trình xây dựng mô hình được thành lập trên hai hoạt động: điều tra và lập luận Trong khi công nghệ trong mô hình này có thể kết hợp và tạo ra các cơ quan đại diện hỗ trợ

sự chuyển đổi của một tình huống không xác định đến một tình huống có chủ đích, nó cũng đóng một vai trò trung tâm trong việc phối hợp điều tra, lý luận, hệ thống hóa và dẫn đến một tình huống có chủ đích

Trong một nghiên cứu gần đây về vai trò của công nghệ trong MHH toán học

Geiger và cộng sự (2008) nhận thấy rằng công nghệ CAS có thể được sử dụng bởi các giáo viên như một chất kích thích để kích thích khám phá các khái niệm toán học trong các vấn đề cuộc sống đến học sinh trung học

Công nghệ có một vai trò trong việc làm trung gian cho quá trình tính toán ở gần tất cả các điểm trong chu kỳ mô hình Vai trò của công nghệ trong chu kỳ mô hình là phù hợp với Confrey và Maloney (2007), người xem công nghệ như phương tiện cho sự phối hợp của các cuộc điều tra và lý luận cần thiết để tham gia với các vấn đề thiết lập trong một bối cảnh cuộc sống thực tế

Các quan điểm khác nhau chỉ ra rằng vai trò của công nghệ, và đặc biệt là CAS, trong chu kỳ MHH phụ thuộc vào quan điểm cá nhân của giáo viên về việc sử dụng các công nghệ và các mô hình toán học cũng như nhận thức của họ trong các trường hợp mà họ làm việc Từ đó thấy rõ vai trò thiết yếu của giáo viên liên

13

quan đến sự thay đổi sư phạm, và nó sẽ liên quan đến phát triển công nghệ và khi

đó quan điểm truyền thống có nghĩa là để học toán học được thử thách

Cuối cùng Gilbert Greefrath, Ilans-Stefan ShIer, and Jens Weitendorf đã xem xét sự ảnh hưởng của công nghệ đến MHH Bằng cách sử dụng công nghệ trong giáo dục toán học, một sự thay đổi rất lớn từ các thành quả để giải quyết vấn đề

có thể được thực hiện, vì vậy, một sự thay đổi hữu ích nhấn mạnh từ các hoạt động toán học để các kiến thức toán học và phản xạ có thể được nhận ra Nếu bạn

sử dụng công nghệ, ví dụ, CAS (hệ thống máy tính đại số), đồ họa Máy tính, Spreadsheets DGS (Phần mềm hình học động), hoặc phần mềm MHH, một số phản xạ toán học bên trong phải được thực hiện Nhìn lại lịch sử, việc sử dụng công nghệ trong giáo dục toán học bắt đầu vào những năm 1970 (Siller 2008) Ngày nay, sự phát triển về công nghệ đã rất thành công, và từ một loạt phần mềm, các công nghệ thích hợp cho vấn đề tương ứng phải được chọn Tính toán vẫn tồn tại trong nhiều lớp học, nhưng các thiết bị điện tử khác như CAS-máy tính (ví dụ CASIO ClassPad) là những công cụ mạnh hơn cho giáo dục

Khi vai trò của công nghệ có thể tác động mạnh đến giáo dục toán học, trong mô hình toán học đặc biệt, nó là cần thiết để bao gồm vai trò của phụ gia công nghệ trong chu kỳ mô hình Một cách tiếp cận đã được khái niệm bởi Siller và Greefrath (2010)

1.3 Sơ lược lịch sử nghiên cứu liên quan đến đề tài

Đề tài về MHH và công nghệ đã được rất nhiều nhà khoa học nghiên cứu Bằng chứng là có rất nhiều bài báo khoa học đã được công bố về MHH cũng như vai trò của công nghệ

Vào năm 2007, Confrey và Maloney trong quyển sách "Modelling and applications in mathematics education" đã đề cập đến một lý thuyết MHH Toán

học trong thiết lập công nghệ Trong bài nghiên cứu này, Confrey đã xác định có bốn cách tiếp cận khác nhau nhưng liên quan đến công nghệ Đó là:

14

- Dạy khái niệm và kỹ năng mà không cần máy tính, và cung cấp các công cụ công nghệ như là nguồn lực sau khi làm chủ

- Giới thiệu công nghệ để thực hiện mô hình có thể nhìn thấy dễ dàng hơn, và để

hỗ trợ các khái niệm toán học

- Dạy nội dung mới cần phải có do một môi trường công nghệ nâng cao (dự toán, kiểm tra , phương pháp lặp đi lặp lại )

- Tập trung vào các ứng dụng, giải quyết vấn đề, và MHH, và sử dụng công nghệ này như một công cụ để giải quyết của họ

Năm 2010, Siller và Greefrath cũng đã đề cập đến MHH trong công nghệ ở bài báo của mình Trong bài báo này, Siller đã phân bố thành 3 phần rất rõ ràng Phần thứ nhất là MHH không có sự giúp đỡ của công nghệ Ở phần này ông đã nói về tầm quan trọng của Toán học trong các vấn đề thực tế cuộc sống Đồng thời trong phần này ông cũng đã sử dụng mô hình chu kỳ của Blum (2007) để làm cơ sở cho những phát biểu của mình Và dựa trên chu kỳ đó ông đã mở rộng

ra thành chu kỳ MHH khi có sự tham gia của công nghệ Phần thứ hai ông viết MHH với sự trợ giúp của công nghệ Trong phần này, Siller đã trích dẫn những mục tiêu có thể đạt được thông qua MHH với công nghệ của của Möhringer (2006) Đó là những mục đích về sư phạm, về tâm lý, về văn hóa và về thực tế Ông cũng đã nói việc sử dụng các công nghệ có thể giúp đơn giản thủ tục khó khăn trong mô hình hóa Trong một số thời điểm sử dụng công nghệ thậm chí còn không thể thiếu Phần cuối cùng ông giới thiệu về các phần mềm ông cho rằng là là những công cụ công nghệ hữu hiệu cho MHH Toán học

1.4 Đặt vấn đề

Dựa trên các nghiên cứu đã có về MHH trong môi trường công nghệ, đề tài nghiên cứu này phát triển cụ thể hơn nữa về những gì đang diễn ra trên môi trường công nghệ khi giải quyết MHH

Cụ thể, đề tài này sử dụng cơ sở lý thuyết về MHH của Blum để phân tích những bước trong quá trình MHH mà công nghệ đã được sử dụng Đề tài này cũng thực hiện theo đúng chu kỳ MHH mở rộng trong môi trường công nghệ mà Siller đã đưa ra để giải quyết vấn đề Đồng thời, căn cứ vào các loại công nghệ của Siller

và khoa học hơn Và câu hỏi đặt ra là trước khi bài toán thực tế đến với học sinh, người giáo viên sẽ làm gì để việc giải quyết bài toán được nhanh chóng và tiện lợi nhất? Có nghĩa là đề tài nghiên cứu này đang hướng đến phương cách giải quyết vấn đề MHH một cách tối tân của cao cấp của các nhà giáo, những người

sẽ hướng dẫn và giảng dạy cho học sinh

1.5 Kết luận chương 1

Đề tài nghiên cứu này là sự phát triển tiếp nối của những nghiên cứu trước

đó về MHH và công nghệ Đề tài này còn là cầu nối giúp cho công nghệ tiến gần hơn với MHH và trở thành công cụ đắc lực cho việc giải quyết các bài toán MHH phức tạp

16

2.1 Quá trình mô hình hóa toán học

MHH toán học thường được biểu diễn như một quy trình bắt đầu với một vấn đề đặt ra trong tình huống có ngữ cảnh thực tế, tiếp theo tình huống được trừu tượng hóa thành các biểu diễn toán học và được giải quyết thông qua sử dụng các quá trình toán học Người thực hiện MHH dựa trên kết quả toán có được để đưa ra phương pháp giải quyết đối với vấn đề ban đầu, tuy nhiên nếu cách giải quyết không phù hợp với ngữ cảnh thực tế thì quá trình trên được lặp lại

Các nhà nghiên cứu giáo dục thường sử dụng những sơ đồ khác nhau, tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tế được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đều nhằm minh họa các bước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tốt hơn

Blum và Leiß (2007) đã sử dụng một sơ đồ gồm 7 bước (sơ đồ 2.1) để mô tả quá trình giải quyết một nhiệm vụ MHH Điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tế và mô hình thực, bởi vì Blum và Leiß cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình MHH mà mỗi học sinh ít nhiều đều phải trải qua

17

Hình 2.1 Chu trình MHH của Blum & Leiß (2007)

Bước 1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó;

Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa các biến phù hợp vào để được mô hình thực của tình huống;

Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;

Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán; Bước 5: Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;

Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay phải thực hiện chu trình lần 2;

Bước 7: Trình bày cách giải quyết

2.2 Quá trình mô hình hóa toán học trong môi trường công nghệ

Công nghệ có thể được sử dụng dưới nhiều hình thức khác nhau trong quá trình MHH toán học và tạo cơ hội cho quá trình này được diễn ra thuận lợi hơn

a Công nghệ hỗ trợ giải quyết mô hình toán học trong quá trình MHH

Theo Greefrath (2011), việc giải quyết các vấn đề MHH trong môi trường công nghệ đòi hỏi các quá trình chuyển đổi quan trọng sau đây:

Hình 2.2 Quy trình MHH kết hợp với môi trường công nghệ

Bốn quá trình chuyển đổi quan trọng giữa thế giới thực tế, thế giới toán học và thế giới công nghệ trong chu trình MHH toán học có sử dụng công nghệ đã được Siller & Greefrath (2010) mô tả với một sơ đồ ngắn gọn hơn

19

Hình 2.3 Sơ đồ về bốn bước chuyển đổi của Siller & Greefrath (2010)

Ba thế giới trong chu trình trên có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau Sự phát triển của một mô hình toán học trong môi trường công nghệ một mặt phụ thuộc vào kiến thức về tình huống và kiến thức toán, mặt khác chịu ảnh hưởng bởi khả năng sử dụng công nghệ Sử dụng công nghệ trong quá trình MHH giúp đơn giản hóa các quá trình, mở rộng khả năng dự đoán, thử nghiệm các phương án giải quyết các

mô hình toán học mà đôi khi sẽ rất khó thực hiện nếu chỉ dùng giấy viết thông thường

Ví dụ: Trong môn bóng đá futsal, các cầu thủ có nhiệm vụ đưa bóng vào khung

thành Tuy nhiên, việc sút bóng vào khung thành chỉ có một góc hẹp là có thể ghi bàn thắng Khi một cầu thủ đang chạy dọc theo đường chạy điển hình, song song

và cách đường biên dọc 10m thì góc sút sẽ thay đổi tùy thuộc vào khoảng cách từ

vị trí cầu thủ tới đường biên ngang Tại những vị trí nào trên đường chạy, góc sút của cầu thủ là rộng nhất? Biết rằng sân bóng futsan có kích thước là 42m x 25m, chiều rộng của khung thành là 3m

20

Hình 2.4 Hình ảnh mô tả sân bóng futsal Tình huống trên có thể được giải quyết theo nhiều cách hoàn toàn khác nhau trong môi trường công nghệ

 DGS : Sử dụng phần mềm hình học động để minh họa cho tình huống Xây dựng lại mô hình của sân bóng trên phần mềm GSP sử dụng hệ trục tọa

độ làm cơ sở với 1 đơn vị độ dài trên hệ trục tương ứng với 10m độ dài trên thực tế Đoạn GH tượng trưng cho khung thành lúc này GH = 03 Điểm I là hình ảnh mô phỏng một cầu thủ trên đường chạy điển hình EF Kết quả thu được khi cho I chạy đó là góc GIH lớn nhất khi I ở tọa độ (1;4) hay cầu thủ

ở vị trí trên đường chạy điển hình, cách đường biên ngang của khung thành 2m sẽ có góc sút rộng nhất

Hình 2.5 Mô hình của ví dụ trong DGS Lúc này, chu trình MHH với sự giúp đỡ của công nghệ (công cụ DGS) để giải quyết tình huống có thể được mô tả trong hình 2.6

21

Hình 2.6 Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ DGS

 CAS: Mô tả tình huống với sự giúp đỡ của công cụ hàm số

Sử dụng Maple vẽ đồ thị hàm số: arctan 4 arctan 1

Hình 2.7 Mô hình của ví dụ trong CAS

22

Như vậy, với cùng một mô hình toán nhưng việc sử dụng phần mềm hỗ trợ khác nhau đã tạo nên các mô hình máy tính khác nhau Khi sử dụng công cụ CAS, làm việc trên các đối tượng đại số, chúng ta có thể sử dụng đạo hàm và khoảng cách để giải quyết tình huống

Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công nghệ (công cụ CAS) để giải quyết tình huống có thể được mô tả trong hình 2.8

Hình 2.8 Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ CAS

 SP hoặc máy tính bỏ túi: Tính toán các dữ liệu để giải quyết vấn đề

Sử dụng Excel xây dựng bảng tính và dùng hàm atan để tính arctan và hàm max

để tìm GTLN Từ đó ta có kết quả:

Hình 2.9 Mô hình của ví dụ trong SP

23

Hình 2.10 Chu trình MHH với sự giúp đỡ của công cụ SP

Tuy nhiên việc sử dụng công nghệ không chỉ tạo ra thêm một giai đoạn quan trọng đối với quá trình MHH (hình 2.3) mà còn ảnh hưởng đến mỗi bước của quá trình MHH

b Công nghệ được sử dụng trong nhiều bước của quá trình MHH

Môi trường công nghệ có thể được sử dụng trong nhiều giai đoạn khác nhau của quá trình MHH như:

 Khảo sát thông tin liên quan đến vấn đề thực tế

 Hỗ trợ các thử nghiệm Ví dụ chúng ta có thể chuyển đổi một mô hình thực tế sang mô hình hình học hay mô hình số học trong môi trường toán học với sự hỗ trợ của công nghệ

 Giúp người MHH hình dung rõ hơn về tình huống, chẳng hạn như biểu diễn lại dữ liệu được cho trên hệ trục tọa độ, từ đó khởi đầu cho việc hình thành các mô hình toán học

 Mô phỏng các tình huống thực tế nếu tình huống thực tế phức tạp, để

từ đó xây dựng mô hình toán phù hợp dựa trên mô hình được mô phỏng

 Tương tác với các ý tưởng toán học sau khi mô hình toán được hình thành

 Tính toán các kết quả

 Tìm kiếm các biểu diễn đại số từ dữ liệu thực tế được cho

 Kiểm tra kết quả

24

Một số khả năng sử dụng công nghệ suốt quá trình MHH được minh họa trong chu trình MHH dưới đây:

Hình 2.11 Quy trình MHH và ảnh hưởng của công nghệ

2.3 Sự tương tác giữa MHH, nội dung toán và công nghệ

Mối quan hệ qua lại, hỗ trợ lẫn nhau giữa MHH, nội dung toán và công nghệ được thể hiện trong sơ đồ dưới đây (Galbraith và các cộng sự, 2007):

Hình 2.12 Mối quan hệ giữa MHH, nội dung toán và công nghệ

Nội dung toán (C): phải phù hợp với người MHH, nghĩa là các kiến thức, kỹ năng, quy trình, công thức toán cần để giải quyết tình huống thì người thực hiện MHH đã biết, đã học các vấn đề không xuất hiện cùng với các quy tắc, chỉ dẫn, gợi ý giúp giải quyết tình huống đó, mà nó thường đòi hỏi học sinh phải có khả năng để tìm ra kiến thức toán liên quan đến tình huống và khả năng chuyển đổi tình huống được cho theo ngôn ngữ toán học Và thường không dễ đạt được lời giải nếu chỉ áp dụng kiến thức từ một nội dung toán đơn lẻ mà phải kết hợp nhiều nội dung toán khác nhau

25

Công nghệ (T): không chỉ đòi hỏi người MHH phải có kiến thức và kỹ năng liên quan đến các công cụ công nghệ (chẳng hạn như các phần mềm toán học, máy tính bỏ túi, …) mà còn phải được trang bị các thiết bị phù hợp Hơn nữa, người MHH cần khai thác các khả năng khác nhau của công nghệ, sử dụng nhiều biểu diễn khác nhau để hỗ trợ việc giải quyết tình huống MHH hơn là chỉ đơn giản sử dụng chức năng tính toán hoặc kiểm tra kết quả Ngoài ra, việc tích hợp công nghệ vào các nhiệm vụ MHH nhằm giúp học sinh hiểu tốt hơn các kiến thức, kỹ năng, khái niệm, quy trình toán học

MHH (M): quan tâm đến các giai đoạn chuyển đổi của quá trình MHH

2.4 Các loại tình huống MHH trong môi trường công nghệ

Khi sử dụng các tình huống trong môi trường công nghệ cần xem xét nhiều yếu

tố Trước hết, theo Henn (2007), các tình huống thực tế trong giáo dục nên phản ánh thực tế và phải thuận lợi cho việc hiểu tình huống

Trong luận văn này, tôi chọn khái niệm tình huống MHH toán học là tình huống chứa đựng những yếu tố quan trọng của thực tế, nhưng đã được đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa, thêm các điều kiện, giả thiết phù hợp, hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép người MHH tiếp cận với một số công cụ toán học theo ý đồ của người nghiên cứu (An, 2014)

Ngoài ra, các tình huống MHH toán học còn được xếp vào bốn loại theo mức độ

sử dụng công cụ công nghệ khi giải quyết (Greefrath và Riep, 2013)

- Loại 1: Không sử dụng công cụ công nghệ để giải quyết tình huống;

- Loại 2: Công cụ công nghệ có thể được sử dụng nhưng không có đóng góp gì cho việc giải quyết tình huống;

- Loại 3: Công cụ công nghệ đóng góp vào việc giải quyết tình huống nhưng tình huống vẫn có thể được giải quyết nếu không có sự hỗ trợ của công nghệ, mặc dù có thể gặp một số khó khăn về tính toán hoặc hạn chế các phương án giải

- Loại 4: Tình huống không thể giải quyết nếu không sử dụng các công cụ công nghệ để hỗ trợ

Trong phạm vi của luận văn, tôi chỉ quan tâm đến các tình huống loại 3 và loại 4

26

2.5 Câu hỏi nghiên cứu

Các phân tích trong chương 1 cho phép tôi đặt ra một số vấn đề cho nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết trình bày ở chương 2 giúp tôi định vị cách nhìn khoa học đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên cứu thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

- Câu hỏi thứ nhất: Quy trình nào được sinh viên sử dụng khi giải quyết các tình huống MHH toán học trong môi trường công nghệ?

- Câu hỏi thứ hai: Công nghệ hỗ trợ cho quá trình MHH toán học như thế nào? Những công cụ công nghệ nào là quen thuộc và được sử dụng thành thạo trong quá trình MHH toán học của sinh viên ngành Toán? Lý do vì sao?

- Câu hỏi thứ ba: Khả năng MHH toán học của sinh viên sư phạm ngành toán trong môi trường công nghệ như thế nào? Khi sử dụng công nghệ để giải quyết các tình huống MHH toán học sinh viên có những thuận lợi và khó khăn gì?

2.6 Kết luận chương 2

MHH Toán học luôn là một lĩnh vực được quan tâm của người dạy và học Toán Nghiên cứu về MHH trở thành một chủ đề được quan tâm rất nhiều trong cộng đồng Toán học Chính vì thế mà cơ sở lý luận của MHH không quá khó tìm với những người muốn tìm hiểu nó.Từ những nghiên cứu đã được công bố tôi đã trích dẫn một vài phát biểu để làm cơ sở lý thuyết cho nghiên cứu của mình Những trích dẫn của tôi có thể là từ một bài báo trong nước cũng có thể là một nghiên cứu nước ngoài nhưng chúng đều xoay quanh chủ đề MHH và công nghệ

hỗ trợ cho quá trình MHH Những tìm hiểu từ những nghiên cứu đó trở thành cơ

sở để tôi định hướng và phát triển nội dung nghiên cứu của mình Quy trình MHH cũng như quy trình MHH trong môi trường công nghệ đều đã có người nghiên cứu và có những ví dụ cũng như bài báo được công bố Chính vì thế luận văn của tôi không tiên phong nghiên cứu một cái mới mà là tiếp tục nghiên cứu sâu hơn về những gì mà công nghệ đang hỗ trợ cho quá trình MHH toán học

về một số phần mềm toán như maple, excel, GSP

Thực nghiệm được tiến hành trong 3 buổi tại phòng máy tính của trường Đại học

Sư Phạm Huế, mỗi buổi 2 tiết Trong mỗi buổi, sinh viên giải quyết một tình huống theo nhóm (2 sinh viên / 1 nhóm, và giữ ổn định trong suốt 3 buổi) với sự

hỗ trợ của các phần mềm maple, excel, GSP và Wondershare DemoCreator đã

cài đặt sẵn trong máy tính cùng với máy tính bỏ túi Phần mềm Wondershare DemoCreator được sử dụng để ghi lại toàn bộ quá trình thao tác trên máy tính của các nhóm học sinh

Mục tiêu hướng tới của luận văn là khả năng sinh viên sử dụng công nghệ để hỗ trợ việc giải quyết các tình huống MHH Vì vậy luận văn đã sử dụng các tình huống đảm bảo 3 tiêu chí sau:

 Tình huống chứa đựng những yếu tố quan trọng của thực tế, nhưng đã được đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa, thêm các điều kiện, giả thiết phù hợp, hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép người

mô hình hóa tiếp cận với một số công cụ toán học theo ý đồ của người nghiên cứu

 Tình huống tạo điều kiện cho người làm thực hiện toàn bộ quá trình

mô hình hóa để giải quyết được vấn đề đặt ra

 Tình huống có sự hỗ trợ của công nghệ trong việc tìm ra phương án giải quyết

Nghiên cứu được tiến hành với ba tình huống sau:

Tình huống 1 DIỆN TÍCH NAM CỰC

Tình huống này được chỉnh sửa từ ví dụ trong bài báo "Modeling and application

in PISA" của Turner (2007) Tình huống đưa ra bản đồ của châu Nam Cực cùng

28

với tỷ lệ xích kèm theo Vấn đề đặt ra là ước tính diện tích của châu lục đó? Kết quả được chấp nhận nếu diện tích nằm trong khoảng từ 12.000.000 km2 đến 18.000.000 km2

Hình 3.1 Hình ảnh tình huống 1

Tình huống 2 NGƯỜI CHẠY NHANH

Tình huống này được chỉnh sửa từ ví dụ bài báo "A Framework for Identifying Student Blockages during Transitions in the Modelling Process" của Galbraith & Stillman (2006) Tình huống đặt ra là các vận động viên sẽ tham gia một cuộc chạy đua trong sân trường hình chữ nhật Ở cuộc chạy đua này, người chơi xuất phát từ cổng F, chạy đến một trong các trạm đặt dọc theo hàng rào của sân và tháo dải ruybăng cột ở trạm đó (chỉ được chạy đến những trạm còn ruybăng), sau

đó chạy về cổng L Có 18 trạm đặt dọc theo hàng rào, mỗi trạm cách nhau 10 mét, trạm gần với góc A nhất cách góc A 50 mét, và khoảng cách từ các cổng đến hàng rào và các trạm được đánh dấu trên sơ đồ

29

Hình 3.2 Hình ảnh tình huống 2 Vấn đề được đặt ra là nếu bạn là vận động viên, bạn sẽ chọn trạm nào để có đường chạy ngắn nhất? Liệu rằng ta có thế bổ sung thêm trạm thứ 19 để có đường chạy ngắn hơn không, nếu có hãy chỉ ra vị trí của trạm thứ 19

Tình huống 3 NGÀY Ở COPENHAGEN

Tình huống được lấy ra và chỉnh sửa từ bài báo " Modeling a Crucial Aspect of

Students’ Mathbạnatical Modeling" của Niss (2010) Tình huống cho biết độ dài của một ngày (đơn vị: giờ) ở Copenhagen vào ngày 21 mỗi tháng trong năm

2006 Câu hỏi đặt ra là hãy ước lượng độ dài của ngày 04 tháng bảy năm 2006?

Bảng 4.1 Tổng độ dài của thời gian ban ngày tại Copenhagen

Hình 3.3 Hình ảnh của tình huống 3

3.2 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về mô hình hóa toán học và hiểu biết định lượng; Phân tích, tổng hợp các công trình nghiên cứu về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài

Giới thiệu: Hôm nay, trong lúc sắp xếp lại tủ sách của gia đình, Vân tình cờ tìm

thấy tập bản đồ các châu lục cùng với các tỷ lệ xích đi kèm Vân muốn đo diện tích các châu lục đó với sự trợ giúp của phần mềm GSP Bạn hãy giúp Vân đo (càng chính xác càng tốt) diện tích châu Nam Cực nhé

31

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2

Giới thiệu: Chào mừng kỷ niệm ngày Giải phóng niềm Nam thống nhất đất nước

30/4 và ngày Quốc tế Lao động 1/5 trường Mai đã tổ chức một trò chơi vận động trên sân cỏ của Nhà trường

Thể lệ của trò chơi như sau:

Sân trường có chiều dài là 240m Trên đường biên của sân nhà trường đặt 18 cọc

gỗ, mỗi cọc cách nhau 10m và cọc số 1 cách điểm A 50m Tại mỗi cọc cột sẵn 1 sợi dây ruy băng

Người chơi phải xuất phát từ cổng số 1 (vị trí F) chạy đến một trong các cọc gỗ

và tháo sợi dây ruy băng ở đó rồi chạy về đích ở cổng số 2 (vị trí L) Người thắng cuộc là người chạy đến đích với thời gian ngắn nhất Giả thiết rằng vận tốc của người chơi là bằng nhau

Bạn hãy giúp bạn Mai tìm đường chạy nào tối ưu nhất để tham gia trò chơi Có thể đặt thêm trạm thứ 19 ở vị trí nào trên đường biên AB của sân để thời gian từ cổng số 1 đến trạm số 19 rồi đến cổng số 2 là ngắn nhất so với 18 trạm kia

32

Gợi ý thứ nhất:

Sử dụng phần mềm Excel hoặc GSP hãy tính tất cả tổng khoảng cách từ cổng số

1 đến từng trạm trên đường biên AB và từ trạm đó đến cổng số 2 Sau đó tìm khoảng cách ngắn nhất trong các khoảng cách tìm được Mỗi khoảng cách bạn có thể sử dụng định lý Pytago để tính

Gợi ý thứ hai:

Bạn có thể viết một hàm số mô tả quãng đường mà mỗi người chơi sẽ thực hiện với biến x có thể là khoảng cách từ trạm đến vị trí góc A Sau đó khảo sát sự biến thiên của hàm số đó Quãng đường ngắn nhất chính là cực trị của hàm số trong khoảng [0;240]

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3

Giới thiệu: Bạn An vừa dành được một học bổng du học tại thủ đô Copenhagen

của Đan Mạch Trong khi tìm hiểu về Copenhagen bạn An đặc biệt chú ý đến bảng thông tin về độ dài trung bình của một ngày (tính theo giờ) ở thành phố này vào ngày 21 mỗi tháng hàng năm

Bảng thông tin như sau:

Dựa vào bảng trên, bạn An muốn ước tính vào ngày 4 tháng 7, ngày đầu tiên An đến Copenhagen, sẽ có độ dài của ngày là bao nhiêu? Bạn hãy giúp bạn An tính toán bằng các phần mềm thích hợp nhé

33

Gợi ý thứ nhất:

Từ bảng thông tin ta có thể biểu diễn dưới dạng biểu đồ như sau:

Từ hình dáng trên biểu đồ bạn có thể sử dụng kiến thức về đồ thị hàm số nào để trả lời câu hỏi? Hãy tìm giá trị của hàm số và từ đó tính toán giá trị tại ngày 04 tháng 7

Gợi ý thứ hai:

Hàm số nào (hàm số bậc hai hàm số bậc ba hàm số trùng phương hàm sin hàm cos ) có đồ thị hoặc có một phần đồ thi tương tự hình dáng ở biểu đồ trên? Bạn có thể sử dụng một trong các hàm số đó và tìm công thức của hàm số thông qua các thông tin trên biểu đồ

Ngày 04 tháng bảy sau ngày 21 tháng sáu 13 ngày; lúc này giá trị tương ứng với ngày 04 tháng 7 là bao nhiêu?

Cách 1:

Dùng công cụ đánh dấu (khoanh tròn màu đỏ) để vẽ đường biên của lục địa

Hình 3.4 Hình ảnh công cụ đánh dấu của cách 1 trong tình huống 1

Sau đó sử dụng công cụ tính diện tích ở trong công cụ tích phân để tính diện tích hình thang cong (các khoanh tròn đỏ)

Hình 3.5 Hình ảnh công cụ tính diện tích của cách 1 trong tình huống 1

35

Từ đó có được kết quả xấp xỉ của diện tích lục địa là 142.107 km2

Hình 3.6 Hình ảnh kết quả của cách 1 trong tình huống 1

Cách 2:

Sử dụng công cụ compa để dựng hình tròn bao quanh lục địa

Hình 3.7 Hình ảnh công cụ compa của cách 2 trong tình huống 1

Sau đó tính diện tích hình tròn để có được diện tích châu lục Diện tích là 16.107

km2

37

Hình 3.10 Hình ảnh kết quả của cách 3 trong tình huống 1

Cả 3 cách trên đều sử dụng công cụ máy tính để vẽ các hình (hình thang cong, hình tròn, tứ giác) có diện tích xấp xỉ với hình đã cho mà có thể tính được diện tích, và sau khi tìm ra kết quả đều nhân thêm với 106 để có kết quả trên thực tế Các kết quả nhận được đều gần với kết quả thực tế (14 triệu km2) nhưng cách 1