Luận Văn Lý Thuyết ổn định (LV Toán Học)

Lý Thuyết ổn định là một trong những tính chất định tính tiêu biểu của lý thuyết phương trình vi phân và tích phân. Được bắt đầu nghiên cứu từ những năm cuối thế kỷ 19 bởi nhà toán học người Nga A.M.Lyapunov, đến nay lý thuyết ổn định đã có những bước phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều thành tựu rực rỡ.

Mục lục

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hoá 6

1.1.1 Bài toán ổn định 6

1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 8

1.1.3 Bài toán ổn định hoá 9

1.2 Bài toán ổn định, ổn định hoá hệ có trễ 10

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 10

1.2.2 Bài toán ổn định hoá hệ phương trình điều khiển có trễ 12 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 12

2 Tính ổn định và ổn định hoá hệ phương trình vi phân hàm 15 2.1 Tính ổn định hệ có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ 15

2.2 Tính ổn định hoá hệ điều khiển có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ 20

2.3 Tính ổn định và ổn định hoá hệ tuyến tính không ôtônôm không chắc chắn có trễ 32

3 Tính ổn định và ổn định hoá hệ có nhiễu phi tuyến có trễ hỗn hợp 41 3.1 Tính ổn định các hệ có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ hỗn hợp 41

3.2 Tính ổn định hoá các hệ có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ hỗn hợp 58

Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72

1

Một số kí hiệu dùng trong luận văn

◦ λ(A): tập tất cả các giá trị riêng của A;

◦ λmax(A) := max{Reλ : λ ∈ λ(A)};

◦ A ≥ 0: ma trận A xác định không âm;

◦ A > 0: ma trận A xác định dương;

◦ BM+(0, ∞): tập các hàm ma trận đối xứng, xác định không âm và bịchặn trên (0, ∞);

◦ à(A) := 12λmax(A + AT) được gọi là độ đo của ma trận A;

◦ η(A) := pλmax(AAT) được gọi là chuẩn theo phổ của ma trận A

Mở đầu

Lý thuyết ổn định là một trong những tính chất định tính tiêu biểu của

lý thuyết phương trình vi phân và tích phân Nói một cách hình tượng, một hệthống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu

bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống không làmcho hệ thống đó bị thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân bằng đó Đượcbắt đầu nghiên cứu từ những năm cuối của thế kỷ 19 bởi nhà toán học ngườiNga A M Lyapunov, đến nay lý thuyết ổn định đã có những bước phát triểnmạnh mẽ và thu được nhiều thành tựu rực rỡ Đến những năm của thập kỷ

60, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầunghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là tính ổn địnhhoá của các hệ điều khiển, do đó lý thuyết ổn định mà Lyapunov đề xướngtrước tiên càng thể hiện được tầm quan trọng của mình trong sự phát triểnliên tục của toán học Vì những lý do vừa phân tích ở trên mà cho đến naytính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một lý thuyết toán học

độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong tất cả các lĩnh vực từ kinh tế

đến khoa học kỹ thuật

Như chúng ta đã biết, có nhiều phương pháp để nghiên cứu tính ổn định

hệ phương trình vi phân Chẳng hạn như : phương pháp thứ nhất Lyapunov(hay còn gọi là phương pháp số mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai Lyapunov(hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phươngpháp so sánh, ã ã ã Mỗi phương pháp đều có ưu điểm, nhược điểm riêng.Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hoá của

hệ phương trình vi phân hàm theo phương pháp hàm Lyapunov vì nó là mộtphương pháp hữu hiệu để nghiên cứu lớp phương trình này Không nhữngthế, đây cũng là một công cụ quan trọng trong lý thuyết định tính các hệ

điều khiển, các hệ động lực Ngoài ra, vì hầu hết trong các quá trình vật lý,hoá học, sinh học, kinh tế, kỹ thuật, thường liên quan đến độ trễ thời gian

nên một cách tất nhiên, lớp hệ có trễ đã thu hút được nhiều sự quan tâm củanhiều nhà toán học Để có thể ứng dụng nhiều hơn trong thực tiễn, người

ta không chỉ quan tâm đến việc đưa ra các tiêu chuẩn ổn định cho một lớp

hệ có trễ mà phải đánh giá được "độ" ổn định của hệ có trễ đó Một trongnhững cách đánh giá độ ổn định của một hệ có trễ là đánh giá bằng hàm mũ.Vì vậy, tính ổn định mũ và ổn định hoá được dạng mũ của các hệ có trễ đã

được quan tâm nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây

Luận văn trình bày một hướng nghiên cứu về tính ổn định mũ và ổn

Chương 3 là kết quả nghiên cứu của luận văn Chương này nghiên cứutính ổn định và ổn định hoá cho một lớp hệ có trễ mở rộng hơn Cụ thể,chúng tôi chứng minh một số điều kiện đủ mới cho tính ổn định và ổn địnhhoá của hệ phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễhỗn hợp (có trễ rời rạc và phân phối)

Các kết quả trên được áp dụng để đưa ra một số điều kiện đủ mới chotính ổn định mũ bền vững và ổn định hoá được dạng mũ bền vững cho lớp

hệ tuyến tính không ôtônôm không chắc chắn có trễ hỗn hợp Ngoài ra, mỗilớp hệ được xét đến ở đây đều có các ví dụ minh hoạ

Tôi xin bày tỏ lòng khâm phục và biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Vũ

Ngọc Phát - Người Thầy đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm luậnvăn và trong suốt quá trình chúng tôi học chuyên ngành " lý thuyết tối ưu

và điều khiển" tại Viện toán học Đồng thời, tôi cũng bày tỏ sự kính phục

và biết ơn tới những thầy, cô ở Viện toán học Những người đã truyền chotôi lòng đam mê nghiên cứu khoa học Cuối cùng tôi xin dành tặng luận vănnày cho gia đình tôi, những người luôn động viên, khích lệ và là chỗ dựa tinhthần vững chắc cho tôi trong cuộc sống, trong học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian và trình độ còn hạnchế nên luận văn này không thể tránh khỏi những sai lầm, thiếu xót Tôi rấtmong nhận được sự chỉ bảo và những ý kiến đóng góp của quí thầy cô vàcác bạn

Cơ sở toán học

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về tính

ổn định và tính ổn định hoá được của lớp hệ phương trình vi phân thường vàlớp hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tôi cũng nhắc lại một số kết quảkinh điển và phương pháp nghiên cứu cơ bản

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hoá

điểm (t0, x0) và nghiệm kéo dài được với mọi t ≥ t0 Khi đó nghiệm này

được ký hiệu là x(t, t0, x0)

Với z(t) là một nghiệm của hệ (1.1), bằng phép đổi biến

y(t) = x(t) − z(t),thì hệ (1.1) sẽ được đưa về dạng

˙y(t) = f (t, y(t) + z(t)) − f (t, z(t)) (1.2)

6

Đặt F (t, y(t)) = f(t, y(t) + z(t)) − f(t, z(t)) thì F (t, 0) = 0 và nghiệmy(t) ≡ 0 của hệ (1.2) sẽ tương ứng với nghiệm z(t) của hệ (1.1) Vì vậy,thay vì nghiên cứu tính ổn định của nghiệm z(t) của hệ (1.1) thì ta nghiêncứu tính ổn định của nghiệm y(t) ≡ 0 của hệ (1.2) Chính vì lý do này nênkhông mất tính tổng quát ta có thể giả sử f(t, 0) = 0, tức là giả sử hệ (1.1)luôn có nghiệm không (nghiệm đồng nhất bằng 0) Khi đó, ta có các địnhnghĩa sau:

Định nghĩa 1.1 [3]

◦ Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ số

 > 0, t0 > 0, tồn tại số δ(, t0) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, t0, x0) của

hệ với k x0 k< δ, thì ta có k x(t, t0, x0) k< , ∀t ≥ t0

◦ Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn

định và tồn tại số δ0 > 0 (phụ thuộc vào t0) sao cho mọi nghiệm x(t, t0, x0)với k x0 k< δ thì limt→+∞ k x(t, t0, x0) k= 0

◦ Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số

N > 0 và số α > 0 sao cho

k x(t, t0, x0) k≤ N e−α(t−t0 ) k x0 k, ∀t ≥ t0 (1.3)Khi đó N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn

định Và α, N được gọi chung là các chỉ số ổn định Lyapunov

Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) là ổn định (ổn

định tiệm cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận,

ổn định mũ)

Ngay từ những công trình đầu tiên, Lyapunov đã đưa ra một tiêu chuẩnquan trọng cho tính ổn định mũ của hệ tuyến tính ôtônôm

dựa vào các giá trị riêng của ma trận A Cụ thể là hệ (1.4) ổn định mũ khi vàchỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của ma trận A là âm Một tiêuchuẩn cổ điển khác là hệ (1.4) ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ một matrận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov ATP + P A = −Q

có nghiệm P đối xứng, xác định dương Hai kết quả quan trọng này tiêu biểucho hai phương pháp cơ bản nghiên cứu tính ổn định của một hệ phương trình

vi phân Đó là phương pháp phổ và phương pháp hàm Lyapunov Trong luậnvăn này chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp hàm Lyapunov là phương phápchính để nghiên cứu bài toán ổn định và ổn định hoá

→ R+, a(0) = 0

Định nghĩa 1.2 Hàm V (t, x) : R+

ì Rn

→ R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, khả viliên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.5) nếu:

Sau đây là hai định lý ổn định của Lyapunov được nhắc lại trong [16]

Định lý 1.1 Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định Hơn nữa, nếuhàm Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.

Định lý 1.2 Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thoả

i) ∃λ1, λ2 > 0 : λ1 k x k≤ V (t, x) ≤ λ2 k x k, ∀(t, x) ∈ R+

ì Rn,ii) ∃α > 0 : ˙V (t, x(t)) ≤ −2αV (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ(1.5), thì hệ (1.5) là ổn định mũ với α, N = qλ 2

λ 1 là các chỉ số ổn địnhLyapunov

1.1.3 Bài toán ổn định hoá

Xét một hệ điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.6)trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển.Hàm điều khiển u(.) thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn[0, s], ∀s > 0và lấy giá trị trong Rm Hàm f : R+

ì Rn

ì Rm

→ Rn là hàmvéc tơ cho trước được giả thiết thoả f(t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0

Định nghĩa 1.3 [3] Hệ điều khiển (1.6) được gọi là ổn định hoá được nếunhư tồn tại hàm g : Rn

→ Rm sao cho hệ phương trình vi phân sau (thườnggọi là hệ đóng, closed - loop system)

Nếu một hệ ổn định mũ (hoặc ổn định hoá được dạng mũ) với tốc độhội tụ mũ α cho trước thì hệ đó được gọi là hệ α−ổn định (hoặc α−ổn địnhhoá được).

1.2 Bài toán ổn định, ổn định hoá hệ có trễ

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mốiquan hệ giữa biến thời gian t, trạng thái của hệ thống x(t) và vận tốc thay

đổi của trạng thái x(t) tại cùng một thời điểm t Song trên thực tế, các quátrình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan tới quá khứ, đều mang ítnhiều tính di truyền Vì vậy khi mô tả các quá trình này, chúng sẽ được biểudiễn bằng các phương trình vi phân có trễ

Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (0 ≤ h < +∞).Với x(.) là một hàm liên tục trên R+,nhận giá trị trong Rn,chúng ta xây dựnghàm xt ∈ C := C



 − h, 0, Rn

như sau xt(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0].Như vậy, xt là một đoạn quỹ đạo trên [t − h, t] của hàm x(.) với chuẩn trong

C được xác định bởi k xt k= sups∈[−h,0] k x(t + s) k Khi đó hệ phươngtrình có trễ mô tả sự phụ thuộc của vận tốc thay đổi tại thời điểm t vào trạngthái của hệ thống trong khoảng thời gian trước đó [t − h, t] được cho dướidạng

trong đó f : R+

ì C → Rn Một nghiệm x(.) của hệ (1.8) đi qua điểm(t0, φ) ∈ R+ ì C được ký hiệu x(t, φ) Khi đó, hàm giá trị ban đầu củanghiệm này trong khoảng [t0 − h, t0] chính là hàm φ, tức là xt0(t0, φ)(s) =x(t0 + s) = φ(s), ∀s ∈ [−h, 0] Ta cũng giả thiết rằng hàm f(.) thoả điềukiện sao cho với mỗi điểm (t0, φ) ∈ R+ì C hệ (1.8) có nghiệm duy nhất điqua điểm này và nghiệm kéo dài được với mọi t ≥ 0

Tương tự như các hệ phương trình vi phân thường, ta cũng giả thiết

f (t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.8) có nghiệm không Khi đó, ta cũng có các kháiniệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.8) như sau:

Định nghĩa 1.5 [7]

◦ Nghiệm không của hệ (1.8) được gọi là ổn định nếu với mọi số  > 0,với mọi t0 ∈ R+, tồn tại số δ = δ(t0, ) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ)với φ ∈ C thoả k φ k< δ thì k x(t, φ) k< , ∀t ≥ t0

◦ Nghiệm không của hệ (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và tồn tại số δ0 = δ0(t0) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ) với

φ ∈ C thoả k φ k< δ0 thì limt→+∞ k x(t, φ) k= 0

◦ Nghiệm không của hệ (1.8) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số

N > 0 và số α > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của hệ thoả

R+ì C → R là một hàm khả vi liên tục và x(t, φ) là nghiệm của hệ (1.8).Khi đó, trong [7] đưa ra một tiêu chuẩn ổn định cho sự ổn định hệ (1.8) nhưsau:

Định lý 1.3 Giả sử f : R+

ì C → Rn đi từ R+ ì ( tập bị chặn trong C)vào tập bị chặn trong Rn Nếu tồn tại hàm khả vi V : R+

ì C → R sao choi) ∃λ1, λ2 > 0 : λ1 k x(t) k2≤ V (t, xt) ≤ λ2 k xt k2,

ii) ˙V (t, xt) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.8),

thì hệ (1.8) là ổn định và nghiệm của nó là bị chặn, tức là

∃N > 0 :k x(t, φ) k≤ N k φ k, ∀t ≥ t0.Nếu điều kiện ii) được thay bằng điều kiện

iii) ∃λ3 > 0 : ˙V (t, xt) ≤ −2λ3V (t, xt), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.8),thì hệ (1.8) là ổn định mũ và các chỉ số ổn định mũ là α = λ3 và N = qλ 2

λ 1

1.2.2 Bài toán ổn định hoá hệ phương trình điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển có trễ

˙x(t) = f (t, xt, u(t)), t ≥ 0, (1.10)trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển,

xt ∈ C, f : R+

ì C ì Rm

→ Rn là hàm véc tơ cho trước thoả điều kiện,

f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0 Hàm điều khiển u(.) thuộc lớp hàm khả tích bậc haitrên các đoạn hữu hạn [0, s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm

Định nghĩa 1.6 Cho trước α > 0 Hệ điều khiển (1.10) được gọi là α− ổn

định hoá được nếu tồn tại hàm g : Rn

→ Rm sao cho hệ phương trình viphân đóng (closed - loop system)

Chúng tôi đưa ra một số bổ đề, hệ quả, được trình bày lại trong [2], sẽ

được sử dụng để chứng minh các kết quả chính trong các chương tiếp theo

Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức ma trận Cauchy) Giả sử S ∈ Rnìn là một matrận đối xứng, xác định dương Khi đó với mọi ma trận Q ∈ Rnìn, ta có

2hQy, xi − hSy, yi ≤ hQS−1QTx, xi, ∀x, y ∈ Rn

Hệ quả 1.1 Ta có

i) 2hx, yi ≤ hx, xi + −1hy, yi, ∀x, y ∈ Rn, ∀ > 0,

ii) | 2hQy, xi |≤k y k2 + k Qx k2, ∀x, y ∈ Rn, ∀Q ∈ Rnìn

Bổ đề 1.2 Giả sử M ∈ Rmìn là một ma trận đối xứng, xác định dương Khi

đó với mọi số σ > 0 và với mọi hàm khả tích w : [0, σ] → Rn, ta có

iii) Víi mäi ma trËn P > 0 vµ mét sè  > 0 tho¶ m·n P − EET > 0

th×

(A + EF H)TP−1(A + EF H) ≤ AT(P − EET −1A + −1HTH

Chương 2

Tính ổn định và ổn định hoá hệ phương trình vi phân hàm

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả mới trong việcnghiên cứu tính ổn định và ổn định hoá được dạng mũ cho hệ có nhiễu phituyến không ôtônôm có trễ và hệ tuyến tính không ôtônôm không chắc chắn

có trễ Đây chính là tiền đề cho những mở rộng ở chương 3

2.1 Tính ổn định hệ có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có

0 ≤ h(t) ≤ h, ˙h(t) ≤ δ < 1, ∀t ≥ 0,

và nhiễu phi tuyến f(.) thoả mãn

∃γ > 0 : k f (t, y) k≤ γ k y k, ∀t ≥ 0, y ∈ Rn (2.2)

15

DÔ thÊy

λ1 k x(t) k2≤ V (t, xt) ≤ λ2 k xt k2, t ≥ 0,víi

β T(t)]x(t), x(t) ≤ 2βà(A) k x(t) k2 Vì P (t) là nghiệm của phương trình (LDE) nên

≤ (p + β + h2) k φ k2 +2h23e2αh k φ k2

Từ đó, suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 2.1[10] Xét hệ có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ (2.1) với hàm

điều kiện ban đầu φ(t) ∈ C([−2, 0], R2), hàm trễ

h(t) = 2sin(0.45)tvà

f (t, x(t − h(t))) = −γsin(t)[x2(t − h(t))]

γcos(t)[x1(t − h(t))]

, A(t) = a(t) 1

−1 a(t)

,trong đó

a(t) = −0.5cost − 10e(−sint)+4 − 5.1e−sint − 1

Từ à(A) = supt∈R+(12λmax(A + AT)), bằng tính toán , ta thu được

à(A) = supt∈R+(−0.5cost − 10e−sint+4 − 5.1e−sint − 1) ≈ −203.731.Cho β = 0.1, 1 = 10e4, 2 = 10, α = 1 và 3 = 5 Khi đó với những

ký hiệu như trong Định lý 2.1, ta có h = 2, δ = 0.9 và γ = 0.5 Khi đó

η = 10.2 + 20e4 và 1 = 10e4 ≥ 2βà(A) ≈ 2(0.1)(−203.731) = −40.7462.Chúng ta có thể kiểm tra được rằng nghiệm P (t) của phương trình (LDE)là

P (t) =esint 0

0 esint



N =

s

p + β + h2 + 2h23e2αh

2.2 Tính ổn định hoá hệ điều khiển có nhiễu phi tuyến

không ôtônôm có trễ

Xét hệ điều khiển có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ sau

˙x(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t − h(t)) + B(t)u(t)

+ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)),x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0],

(2.3)

và nhiễu phi tuyến f(.) thoả mãn: ∃a, b, c > 0 sao cho

k f (t, x, y, u) k≤ a k x k +b k y k +c k u k, ∀(x, y, u) ∈ Rn ì Rnì Rm

(2.4)Cho trước các số dương α, β, h, 1, 2, ta đặt

˙

P (t) + ATα(t)P (t) + P (t)Aα(t) − P (t)Q(t)P (t) + I = 0 (RDE1)Khi đó hệ (2.3) là α − ổn định hoá được nếu

a < 22(p + β),

b < 1(p + β)eαh

r

1(1 − δ)[2 − 2a(p + β)]

c < 2 − 2a(p + β)(p + β)2 k B k −

3b2e2αh

1 k B k (1 − δ).Hơn nữa, hàm điều khiển ngược ổn định hoá được cho bởi

+ eαtf (t, e−αty(t), e−α(t−h(t))y(t − h(t)), ˜u(t)),y(t) = eαtφ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0,

(2.5)

trong đó ˜u(t) = e−αtK(t)y(t).Với hệ (2.5), ta xét hàm Lyapunov - Krasovskii

V (t, yt) = V1 + V2 + V3,trong đó

V1 = hP (t)y(t), y(t)i, V2 = β k y(t) k2, V3 = 1

f (.) := eαtf (t, e−αty(t), e−α(t−h(t))y(t − h(t)), ˜u(t))

Lấy đạo hàm của V (t, yt) theo t dọc theo nghiệm y(t) của hệ (2.5), ta có

˙

V (t, yt) ≤

[ ˙P (t) + ATα(t)P (t) + P (t)Aα(t) − P (t)B(t)BT(t)P (t)+ 1I]y(t), y(t)

+ h[β2B(t)BT(t) + β(Aα(t) + ATα(t))]y(t), y(t)i

+ 2hP (t)A1,αy(t − h(t)), y(t)i − 1(1 − δ)

3 hy(t − h(t)), y(t − h(t))i+ 2βhA1,αy(t − h(t)), y(t)i − 1(1 − δ)

3 hy(t − h(t)), y(t − h(t))i+ 2h[P (t) + βI]f (.), y(t)i − 1(1 − δ)

3 k y(t − h(t)) k2 Theo Hệ quả 1.1, ta có

2hP (t)A1,αy(t − h(t)), y(t)i

≤ 2(p + β) a k y(t) k +beαh k y(t − h(t)) k +c k ˜u(t) k
k y(t) k

≤ 2a(p + β) k y(t) k2 +2b(p + β)eαh k y(t − h(t)) kk y(t) k

+ c(p + β)2 k B kk y(t) k2

y(t), y(t)

+

2a(p + β) + c(p + β)2 k B k



k y(t) k2+ 2b(p + β)eαh k y(t − h(t)) k k y(t) k

− 1(1 − δ)

3 k y(t − h(t)) k2 Theo HÖ qu¶ 1.1, ta cã

2b(p + β)eαh k y(t − h(t)) k k y(t) k

Theo gi¶ thiÕt, ta cã

k y(t) k≤ N k φ k L¹i quay trë l¹i nghiÖm x(t), ta ®­îc

víi hµm ®iÒu kiÖn ban ®Çu φ(t) ∈ C([−1

A(t) = a(t) 1

−1 b(t)

, A1(t) =

a(t) = 1

2(cos

4t + 4cos2t + 4)e−t − 1

2 − 4et,b(t) = 1

µ(Aα) = 1, k B k= 3, η(A1,α) = √2

3.Cho

P (t) = e−t 0

0 e−t



≥ 0, ∀t ≥ 0,

dễ kiểm tra được tất cả các điều kiện của Định lý 2.2 được thoả mãn Do đó

hệ là 1 − ổn định hoá được với hàm điều khiển ngược là

Nhận xét Ta thấy hai Định lý 2.1 và Định lý 2.2 đều đòi hỏi nhiễu phi tuyến

là đủ nhỏ và các số γ, a, b, c đều bị ràng buộc bởi một điều kiện nào đó Điềunày gây nhiều hạn chế trong thực tế Định lý sau đây cho điều kiện đủ vềtính ổn định hoá được trong đó các số a, b, c không bị ràng buộc bởi điềukiện chặt chẽ như trên

˙

P (t) + AT(t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)Q(t)P (t) + 2(α + βγ)P (t) + I = 0

(RDE2)Khi đó hệ (2.3) là α − ổn định hoá được với hàm điều khiển ngược là

u(t) = −1

2B

T(t)[P (t) − 2βI]x(t).

Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) của hệ thoả mãn điều kiện

λ1 = β,

λ2 = p + β + h1 + 2h22e2αh.Lấy đạo hàm của V (t, xt) theo t dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) của hệ (2.7)

ta được

V (t, xt) + 2αV (t, xt)

≤ P (t) + A˙ T(t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)BT(t)P (t)x(t), x(t)+ hβP (t)B(t)BT(t)x(t), x(t)i

− 1e

−2αh(1 − δ)

3 hx(t − h(t)), x(t − h(t))i+ 2hPβ(t)f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t)), x(t)i

+ (2αβ + 1 + 2he2αh) k x(t) k2

− 1e

−2αh(1 − δ)

3 k x(t − h(t)) k2 Theo Bổ đề 1.1, ta có

Theo HÖ qu¶ 1.1 vµ ®iÒu kiÖn (2.4), ta cã

4h[P (t) − 2βI]B(t)BT(t)[P (t) − 2βI]x(t), x(t)i

≤ γh[P2(t) + 2βP (t) + β2I]x(t), x(t)i+ 3 k x(t) k2 +1e

−2αh(1 − δ)

3 k x(t − h(t)) k2+ 1

4P (t)B(t)B

T(t)P (t) − βP (t)B(t)BT(t)

+ β2B(t)BT(t)

x(t), x(t)

x(t), x(t)

.Vì P (t) là nghiệm của phương trình (RDE2) nên ta có

˙

V (t, xt) + 2αV (t, xt) ≤ 0, ∀t ≥ 0

A(t) = a(t) 1

−1 b(t)

, A1(t) =

f (.) = 2x2(t)sin[tx√ 21(t − h(t))] − 2u1(t)cos[t2x(t)]

2x1(t − h(t))sin[x(t)x1(t − h(t))]

,trong đó

ta có γ = 16,  = 10,

Q(t) = 3sin4t + 11 0

.Nghiệm của phương trình (RDE2) là

(2.9)

trong đó x(t) ∈ Rn

, u(t) ∈ Rm, A(t), A1(t), B(t) là các ma trận hàm liêntục trên [0, ∞), còn φ(t) là hàm điều kiện ban đầu φ(t) ∈ C([−h, 0], Rn)với chuẩn k φ k= supt∈[−h,0] k φ(t) k và hàm điều khiển ngược u(t) ∈

L2([0, t], Rm), ∀t ∈ R+ Hàm trễ h(t) khả vi liên tục thoả mãn điều kiện

0 ≤ h(t) ≤ h, ˙h(t) ≤ δ < 1

Còn các ma trận nhiễu ∆A(t), ∆A1(t), ∆B(t) có dạng

∆A(t) = E(t)F (t)H(t), ∆A1(t) = E1(t)F (t)H1(t),

∆B(t) = E2(t)F (t)H2(t),trong đó E(t), E1(t), E2(t), H(t), H1(t), H2(t)là các ma trận hàm cho trước

có chiều thích hợp, F (t) là ma trận không xác định nhưng thoả mãn điềukiện giới nội

Định nghĩa 2.2 Hệ (2.9) là ổn định hoá được dạng mũ bền vững nếu tồn tạihàm điều khiển u(t) = K(t)x(t) sao cho hệ đóng

˙x(t) = [A(t)+(B(t)+∆B(t))K(t)+∆A(t)]x(t)+[A1(t)+∆A1(t)]x(t−h(t))

là ổn định mũ bền vững Hàm u(t) = K(t)x(t) được gọi là hàm điều khiểnngược ổn định hoá của hệ

và ma trận P (t) ∈ BM+(0, ∞) sao cho 1I − H1(t)H1T(t) > 0 và phươngtrình (RDE3) được thoả mãn Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) của hệ thoả mãn

k x(t, φ) k≤ N k φ k e−αt, t ∈ R+,trong đó

−2αh) + 1

Chứng minh Cho P(t) ∈ BM+(0, ∞), t ≥ 0 là nghiệm của phương trình(RDE3) Ta thực hiện phép đổi biến

y(t) = eαtx(t), t ≥ 0Khi đó hệ (2.9), trong đó u(t) = 0, được biến đổi thành hệ sau

Dễ kiểm tra được

 k y(t) k2≤ V (t, yt) ≤ (p +  + h) k yt k2,trong đó p = maxt≥0 k P (t) k là một số hữu hạn vì P (t) ∈ BM+(0, ∞).Lấy đạo hàm của V (.) theo t dọc theo nghiệm y(t) của hệ (2.10) ta được

= h ˙P (t)y(t), y(t)i + 2hP(t)Aα(t)y(t), y(t)i

+ 2hP(t)E(t)F (t)H(t)y(t), y(t)i

+ k y(t) k2 −(1 − ˙h(t)) k y(t − h(t)) k2

+ 2eαh(t)hP(t)[A1(t) + E1(t)F (t)H1(t)]y(t − h(t)), y(t)i

≤ h ˙P (t)y(t), y(t)i + 2hP(t)Aα(t)y(t), y(t)i

+ 2hP(t)E(t)F (t)H(t)y(t), y(t)i+ k y(t) k2 −(1 − δ) k y(t − h(t)) k2+ 2heαh(t)P(t)[A1(t) + E1(t)F (t)H1(t)]y(t − h(t)), y(t)i

2hP(t)E(t)F (t)H(t)y(t), y(t)i

= h[P(t)E(t)F (t)H(t) + HT(t)FT(t)ET(t)P(t)]y(t), y(t)i

0hP(t)E(t)ET(t)P(t)y(t), y(t)i + 0hHT(t)H(t)y(t), y(t)i,

1 − δP(t)A1(t)AT1(t)P(t)+ P(t)A1(t)H1T(t)(1I − H1(t)H1T(t))−1H1(t)AT1(t)P(t)

+ 1P(t)E1(t)E1T(t)P(t)

y(t), y(t)

.Vì P (t) là nghiệm của phương trình (RDE3) nên ta có