Chuyen de 06 BDT va GTLN GTNN

Xét dấu đạo hàm y' hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN, GTNN.. Ngược lạivới hàm nghịch biến... Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y... Không mất tính tổng quát, giả sử b a... Tì

Cho hai dãy số tăng a1� � �a2 a n và b1� � �b2 b n (n�2)

Nếu  1, 2, ,n là một hoán vị của dãy 1, 2, , n thì:

Đối với y' 0 thì ta có bất đẳng thức ngược lại.

Việc xét dấu y' đôi khi phải cần đến y y'', ''', hoặc xét dấu bộ phận, chẳng hạn tử số của một phân số

có mẫu dương,… Nếu y'' 0 thì y' đồng biến từ đó ta có đánh giá f x'  rồi f x ,…

Lập phương trình tiếp tuyến tại x b : y Ax B .

Nếu f x  �Ax B trên K, dấu bằng xảy ra khi x b .

Khi đó f a 1  f a 2   f a n �A a 1  a2 a nnB

Dấu bằng xảy ra khi a1a2   a n b.

Còn nếu f x  �Ax B trên K, dấu bằng xảy ra khi x b thì có ngược lại

 1  2  n  

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Đối với hàm số y f x  trên D Xét dấu đạo hàm y' hoặc từ bảng biến thiên có kết luận về GTLN,

GTNN Nếu cần thì đặt ẩn phụ t  g x  với điều kiện đầy đủ của t.

Nếu y f x  đồng biến trên đoạn  a b; thì: min f x   f a  và max f x   f b  Ngược lạivới hàm nghịch biến

Nếu y f x  liên tục trên đoạn  a b; và f x'  0 có nghiệm x i thì:

Bài toán 6.1: Chứng minh các bất đẳng thức:

a) 2sinxtanx3x với mọi x 0;2

1'

đó g x'  g' 0  0 Suy ra g đồng biến trên 0;� nên g x  g 0 0 với mọi x�0;� �đpcm.

f x

xy x

Do x, y thuộc  0;1 nên thừa số thứ hai luôn dương, như thế f x'  đổi dấu từ âm sang dương tại y, suy

ra y là điểm cực đại, suy ra f x  �f y  0: đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y.

Bài toán 6.6: Cho x y z, , �0 và x y z  1 Chứng minh:

x y z�

Giả sử

13

x  y z

Bài toán 6.7: Chứng minh bất đẳng thức:

a) cosbcosa �b a với a, b tùy ý.

 Không mất tính tổng quát, giả sử b a .

Hàm số f x  cosx liên tục trên  a b; và có đạo hàm f x'   sinx.

Theo định lý Lagrange, tồn tại c� a b; sao cho:

Giả sử a b� , đặt

a t b

n n

Áp dụng ta có:

1 2

n n

Ta chứng minh: f n1 x �0,x�0;  Giả sử có số x0�0;  mà f n1 x0 0 Vì f n1 x liên

tục và có đạo hàm nên tồn tại điểm cực tiểu x1 để: f n1 x1 0,0 x1  Ta có

Bài toán 6.14: Chứng minh bất đẳng thức sau:

F a b c d abc bcd cda dab    abcd

Không mất tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất, d là số bé nhất trong 4 số a, b, c, d Ta có:

Nếu

176

027

 , , ,  1

27

) thỏa 2 tính chất sau đây:

 1 a n1,b n2,c n1,d n1 là 4 số theo thứ tự giảm dần của 4 số

Trở lại bài toán Ta xét hai trường hợp

- Tồn tại 1 trong 3 số, chẳng hạn c, sao cho

� � Khi đó do điều kiện a b c, , �1, ta phải có hai số

âm và 1 số dương (Nếu ngược lại, giả sử b c, 0 thì ta có a b c      1 1 1 1, vô lý) Giả sử,

chẳng hạn a b, 0.

Khi đó f a   f b   f c  �f c  �12 10 9

.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

13

Dấu “=” xảy ra khi a b c d   .

Bài toán 6.18: Cho 3 số không âm x, y, z thỏa mãn x y z  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy min y2 2 2 tại x 1 2.

Bài toán 6.20: Cho các số nguyên dương p, q, n.

a) Tìm giá trị lớn nhất của ycosp x.sinqx với 0� �x 2

p q

p q

p q y

thì cotxtanx0,sin 4x0

Ta có y'ntann1x1 tan 2xn.cotn1x1 cot 2x

tann 1 cotn 1  tann 1 cotn 1  2 sin 42 0

Bài toán 6.21: Cho các số thực x, y thỏa mãn  3

t�

dấu = xảy ra khi

12

  ln 2 1

tại

34



Hướng dẫn giải

M

� �

.Vậy

1max

18

M 

khi 2x2 3y2, min M 0 khi y0.

Bài toán 6.24: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 3 2,y z 0.

Vậy min P 3 4, đạt được khi x 3 2,y z 0.

Bài toán 6.25: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:

Suy ra f t  đồng biến trên  0;3

Vậy max P max 0;3 f t   f  3 25

Xét hàm f x   x3 4x25x trên

2

;23

x � ��� �� �

nên P�25.

Dấu đẳng thức xảy ra khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị

Vậy min P25, đạt được khi x2,y z 1 hoặc các hoán vị.

Bài toán 6.29: Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     2 

.Lập BBT thì min0;  f t  f  3 5

Do đó P�5, dấu đẳng thức xảy ra khi a b c  1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −5, đạt khi a b c  1.

Bài toán 6.30: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 5

max y 5.4 , khi

1sin

Min P , đạt khi a2,b c 0 hoặc các hoán vị.

Bài toán 6.33: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x2 y2 z2 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y z x

Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y z 1.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 12, dấu = khi x  y z 1.

Bài toán 6.34: Cho các số thực x, y, z đều thuộc đoạn  0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài toán 6.37: Cho hàm số f, xác định trên � và thỏa mãn:

cot  sin 2 cos 2 ,

Đặt y 1 x và t xy Do x�1;1 nên ta có

12;

a)

 2 2   2  2   2  2

65

4

a b c�

và a b c  1.

Hướng dẫn

a) Chuẩn hóa: a b c  3 và dùng tiếp tuyến tại x1

b) Tiếp tuyến tại

13

Bài toán 6.5: Chứng minh

   

2 2

27

f 

, min f 0.

S 

,

19116

min S 