Để học tốt Hình học 11, phần này giúp bạn giải các bài tập cơ bản Toán 11 được biên soạn bám sát theo nội dung sách Hình học 11. Dưới đây làmột số bài tập Hình học 11 chương 1. 1) Các bài tập tìm ảnh của 1 điểm, đường thẳng, đường tròn. 2) Các bài tập tìm ảnh của 1 hình qua phép đồng dạng 3) Chứng minh hai hình đồng dạng, hai hình bằng nhau
Trang 1ÔN TẬP HÌNH 11 CHƯƠNG 1 Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v=(1; 3− )và đường thẳng d có phương trình 2x−3y+ =5 0
Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến T v
Giải:
Cách 1
Lấy điểm M x y( ; ) tùy ý thuộc d: 2x−3y+ =5 0 *( )
Gọi M'(x y'; ')=T M v( ) Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến '
'
x x x y y y = + = = + = Thay vào (*) ta được phương trình 2 ( ) (−3 )+ = 5 0 =0
Vậy ảnh của d là đường thẳng d' :
Cách 2 Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến Gọi T d v( )=d', nên d' song song hoặc trùng với d => phương trình đường thẳng d' có dạng + =c 0 (*) Lấy điểm M( ; )d Khi đó M'=T M v( ) (= ; )
Do M' , thay tọa độ M’ vào (*) ta được: ………=> c = …… d' Vậy ảnh của d là đường thẳng d' :
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C có phương trình x2+y2+2x−4y− =4 0 Tìm ảnh của ( )C qua phép tịnh tiến theo vectơ v=(2; 3− ) Giải: Cách 1 Lấy điểm M x y( ; ) tùy ý thuộc đường tròn ( )C : 2 2 ( ) 2 4 4 0 * + + − − = x y x y Gọi M'(x y'; ')=T M v( ) Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến '
'
x x x y y y = + = = + = Thay vào phương trình (*) ta được ( ) (2 )2 ( ) ( ) + +2 −4 − =4 0
Vậy ảnh của ( )C là đường tròn( )C' :
Cách 2 Gọi ( )C' =T v( ) ( )C Dễ thấy ( )C có tâm I( ; ) và bán kính R =
( )C' có tâm I'(x y'; ') và bán kính R'= =R
Ta có: T I v( )=I' ' ' ; ( )
'
x
I y
=
( )
Trang 2Câu 3: Tìm ảnh của đường thẳng d: 5x−3y+15=0 qua phép quay Q(O;90 0)
Giải:
Gọi ( )Q0;90 0 ( )d =d', vì d' ⊥d nên phương trình d’ có dạng: + =c 0
Lấy M( ; ) , ta có ( )d Q0;90 0 ( )M =M' ; ( )
Do M' ,khi đó: d' =c
Vậy phương trình ' : d
Câu 4: Tìm ảnh của đường tròn ( ) ( ) (2 )2
C x y qua phép quay Q(I;90 0) với I( )3; 4 Giải: Gọi ( );90 0 ( )( ) ( ')
I
Đường tròn ( )C có tâm N( ; ,) R = ,
Đường tròn ( )C có tâm ' N x y'( '; ' , ') R = =R
Ta có ( );90 0 ( ) '( '; ')
I
'
x y
=
=
N' ; ( ) Vậy phương trình ( )C' :
Câu 5: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x+ − =y 2 0 Tìm ảnh của d qua
phép vị tự tâm O tỉ số k= −2
Giải: Gọi V( ; 2)O− ( )d =d Phương trình d’ có dạng d: (1)
Lấy M( ; )d, khi đó : V( ; 2)O− (M)=M x y( '; ')OM'= −2OM
Ta có: OM =' ( ; )
( ; )
OM =
'
'( ; ) '
x
M y
=
Do M' ta có: d =c
Vậy phương trình d’ là : ………
Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( )C có phương trình(x−1)2+(y−2)2 =4 Phép vị tự tâm O tỉ số k= −2 biến ( )C thành đường tròn nào?
Giải: Gọi V( ; 2)O− (( ))C =( ')C
Đường tròn ( )C có tâm I( ; ) và bán kính R =
Đường tròn (C’) cần tìm có tâm I x y( '; ') và bán kính R' |= k R| =
Khi đó: V( ; 2)O− ( )I = I' OI'= −2OI
Ta có: OI =' ( ; )
( ; )
OI =
'
'( ; ) '
x
I y
=
Phương trình đường tròn (C’) có tâm I ( ; ) và bán kính R =' là :
Trang 3Câu 7: Trong mặt phẳng hệ trục Oxy Cho đường tròn (C) có phương trình: ( ) (2 )2
và điểm I(2; 3 − ) Gọi ( )C là ảnh của ( )C qua phép vị tự V tâm I tỉ số k= −2.Viết phương trình (C’)?
Giải:
Gọi V( ; 2)I− (( ))C =( ')C
Đường tròn ( )C có phương trình: ( ) (2 )2
x y có tâm N( ; ,) R =
Đường tròn (C’) cần tìm có tâm '( '; ')N x y , bán kính R' |= k R| =
Khi đó: V( ; 2)I− ( )N =N'IN'= −2IN Ta có: ' ( ; )
( ; )
IN IN = =
'( ; )
N = = Phương trình đường tròn (C’) có tâm N'( ; ) và bán kính R =' là :………
Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt có phương trình: x−2y+ =1 0 và x−2y+ =4 0, điểm I( )2;1 Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng 1 thành 2 khi đó giá trị của k là bao nhiêu ? Giải: Ta lấy điểm A( )1;1 1 Khi đó V( )I k, ( )A =A x y'( ' ') ( ) (11 ) ( (11 ) )21 21 x kx k a x k k x k y ky k b y k k y = + − = + − = − = + − = + − = Mà A −2 x 2y+ = − −4 0 2 k 2.1 4+ = =0 k 4 Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD, I là giao điểm của 2 đường chéo Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AM, AI Chứng minh APQ và CNI đồng dạng Giải: A P M B Ta có: V( ;2)A ( )A =
( ;2)A ( )
V P = Q ( ;2)A ( )
V Q = => V( ;2)A (APQ)=
Và : D I( )= D N C ( )
I D = ( )
I D = => D I( )=
Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép V( ;2)A và D I biến APQ thành
Vậy APQ và CNI đồng dạng Câu 10: Cho hình vuông ABCD tâm I, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, DC Tìm phép dời hình biến MNI và IPC Ta có: (M =)
( )N =
( )I =
=> (MNI)=
Và : =I
=P
C=
=> ( ) = IPC
Vậy phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép ………… và ……… biến MNI
Q I
Trang 4Câu 11: Cho hình chữ nhật ABCD, AC cặt BD tại I Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD,
BC, KC, IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau
Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng của nó Gọi I, K, L, M lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC, CD, DA Tìm ảnh của tam giác AEO qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện lien tiếp phép đối xứng qua đường thẳng IL và phép vị tự tâm B tỉ số 2
Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A Tìm 1 phép đồng dạng biến tam giác
HBA thành tam giác ABC
Trang 5Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I(1;-3), bán kính 2 Viết phương trình ảnh
của đường tròn (I;2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép quay tâm O góc quay 900
Giải:
+) Gọi V( ;3)O (( ))C =( ')C
Đường tròn ( )C có tâm I( ; ,) R =
Đường tròn (C’) cần tìm có tâm '( '; ')I x y , bán kính R' |= k R| =
Khi đó: V( ;3)O ( )I = I' OI'=3OI
Ta có: OI'=( '; ')x y
( ; )
OI =
'
'( ; ) '
x
I y
=
Phương trình đường tròn (C’) có tâm I ( ; ) và bán kính R =' là :……… +) Gọi ( ;90 0)(( ')) ( ")
O
Đường tròn (C”) cần tìm có tâm ''( ''; '')I x y , bán kính " R =R' =
Ta có :
( ;90 0)( )' "( "; ") "( ; )
O
Phương trình đường tròn (C”) có tâm I”(… ;……) và bán kính R” = … là: Vậy phương trình ảnh của đường tròn (I;2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép
vị tự tâm O tỉ số 3 và phép quay tâm O góc quay 900 là:
Câu 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x+ + =y 1 0 Viết phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 và phép phép quay tâm O góc quay 900
Giải:
+) Gọi V( ;2)O ( )d =d Phương trình d’ có dạng : + = (1) c 0
Lấy M( ; )d, khi đó : V( ;2)O (M)=M x y( '; ')OM'=2OM
Ta có: ' ( '; ')
( ; )
OM
=
=
'
'( ; ) '
x
M y
=
Do M' , thay tọa độ M’ vào (1) ta có: d =c
Phương trình d’ là :
+) Gọi ( ;90 0)( )' "
O
Q d =d Vìd'⊥d" nên phương trình d” có dạng: .+c"= (2) 0
Ta có : ( )Q0;90 0 ( )M' =M"(x"; "y )M"( ; )
Do M''d" , thay tọa độ M’’ vào (2) ta có: =c"
Phương trình d’ là :
Vậy phương trình ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị
tự tâm O tỉ số 2 và phép phép quay tâm O góc quay 900 là .