Bài giảng đạo hàm riêng

Nội Dung1 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêngcấp cao 2 Đạo hàm theo hướng, vecto gradient 3 Vi phân, vi phân cấp cao 4 Khai triển Taylor, Maclaurin... Tính chất của đạo hàm riên

Đạo hàm riêng, vi phân

—————

Th.S.Phan Thị Khánh Vân

E-mail: khanhvanphan@hcmut.edu.vn

Ngày 8 tháng 3 năm 2016

Nội Dung

1 Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, đạo hàm riêngcấp cao

2 Đạo hàm theo hướng, vecto gradient

3 Vi phân, vi phân cấp cao

4 Khai triển Taylor, Maclaurin

Hàm nhiều biến

Một ánh xạ f : R2 → R : (x, y ) → f (x, y ) được gọi làhàm 2 biến

Ví dụ

1 f (x , y ) = xx +y2 +y 2 TXĐ: R2 \ {(0, 0)}

2 f (x , y ) = arcsin(x2 + y2) TXĐ: (x2+ y2) ≤ 1: Hìnhtròn tâm O bán kính 1

3 f (x , y ) = ln(y2 − x) TXĐ:y2 > x: Phần nằm dướiparabol x = y2

Tương tự với hàm 3 biến f (x , y , z), 4 biến f (x , y , z, t)

Đồ thị hàm z = f (x , y ) = x2 − y2

Đồ thị hàm z = f (x , y ) = 2xe−x2−y2

Ví dụ

Cho hàm f (x , y ) = ln(x2 + y2), tính fx0(1, 0), fy0(1, 0)

fx0 = x22x+y 2, fx0(1, 0) = 2

fy0 = x22y+y 2, fy0(1, 0) = 0

Ý nghĩa đạo hàm riêng

Xét

fy0 tại M0(x0, y0) (cố định

x = x0): là hệ số góc củatiếp tuyến với đường conggiao tuyến của mặt

z = f (x , y ) và mặt phẳng

x = x0, hay là tốc độ thayđổi của hàm theo hướngcủa tia Oy

Tính chất của đạo hàm riêng

Tính chất của đạo hàm riêng được suy ra từ tính chất củahàm 1 biến:

Đạo hàm theo hướng

Cho hàm f (x , y ) xác định trong lân cận điểm M0(x0, y0),đạo hàm theo hướng vecto đơn vị ~u(u1, u2)

(pu2

1 + u22 = 1) tại M0 là:

f~u0(M0) = ( ~grad f (M0), ~u) = fx0(M0).u1 + fy0(M0).u2

Ý nghĩa đạo hàm theo hướng

Cho mặt cong (S ) : z = f (x , y ), xét mặt phẳng songsong với Oz và ~0 đi qua điểm M0(x0, y0, f (x0, y0)), cắt

(S ) theo giao tuyến (C ) Đạo hàm theo hướng ~0 tại M0

là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C ), hay

chính là tốc độ thay đổi của f theo hướng ~0

Tính chất

|f~u0(M0)| ≤ | ~grad f (M0)| = q(fx0(M0))2 + (fy0(M0))2

Đạo hàm theo hướng ~ tại 1 điểm cố định M0:

đạt max = | ~grad f (M0)| khi u =~

~grad f (M0)

| ~grad f (M0)|

đạt min = −| ~grad f (M0)| khi ~u = −

~grad f (M0)

| ~grad f (M0)|

Vecto gradf (M~ 0) là hướng mà hàm f tăng nhanh nhất tại

M0

Ví dụ

Cho f (x , y ) = 3x2y + ln x − ey, u = (3, 2)

Tìm gradf (1, 2), f~u0(1, 2) Tìm vecto đơn vị u0 sao cho tại

Vecto pháp tuyến, phương trình mặt phẳng tiếpdiện

Cho mặt cong (S ): F (x , y , z) = 0

Vecto pháp tuyến: ~n =grad F = (F~ x0, Fy0, Fz0)

Ptmp tiếp xúc với (S ) tại M0(x0, y0, z0):

Khả vi và vi phân

Cho hàm f (x , y ) xác định trong lân cận của M0(x0, y0).Nếu ∆f (M0) = f (x0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x0, y0)

f khả vi tại M0

Lượng df = Adx + Bdy được gọi là vi phân của f tại M0

Điều kiện cần của hàm khả vi

Nếu f khả vi tại M0(x0, y0) thì f liên tục tại M0 và

A = fx0(M0), B = fy0(M0)

Điều kiện đủ của hàm khả vi

Nếu f có đạo hàm riêng fx0, fy0 liên tục tại M0 thì khả vi tại

f (2, 2) = √3

8 = 2

Vậy

f (2.0002, 2.0001) ≈ (0.0002 + 0.0001)/3 + 2 = 2.0001

f0x = f0(u)ux0 = (2u − 1+u12u2)(6x2 − yex)

fy0 = f0(u)uy0 = (2u − 1+u12u2)(−ex)

3 Cho f (u, v ) = euv, u = x y , v = x + y, tính fx0, fy0

fx0 = fu0.ux0 + fv0vx0 = veuv.y + ueuv.1

fy0 = fu0.uy0 + fx0.vy0 = veuv.x + ueuv

Đạo hàm riêng, vi phân cấp 2 hàm hợp

Cho f (u, v ), u(x , y ), v (x , y )

Đạo hàm riêng, vi phân hàm ẩn

F 0 z

Đạo hàm riêng, vi phân cấp 2 hàm ẩn

F 0 zz”xy = (zx0)0y = (−Fx0

Ví dụ

Cho z(x , y ) thoả ez + xz + xy2 − 1 = 0 Tìm d2z(0, 1)

biết z(0, 1) = 0

zx0 = −z+yez +x2, zy0 = −e2xyz +x ⇒ zx0(0, 1) = −1, zy0(0, 1) = 0z”xy = (−z+yez +x2)0y = −(zy0+2y )(e z +x )−e z z 0

y (z+y 2 ) (e z +x ) 2

z”x2 = (−z+yez +x2)0x = −(zx0)(e z +x )−(e z zx0+1)(z+y2)

(e z +x ) 2z”y2 = (−e2xyz +x)0y = −2x (e

z +x )−e z zy02xy (e z +x ) 2

Vậy d2z(0, 1) = dx2 − 4dxdy

Công thức Taylor với phần dư Peano:

Cho hàm f (x , y ) khả vi đến cấp n + 1 trong 1 hình cầutâm (x0, y0)

= ln(4) + (x −1)4 + (y −2)4 − (x −1)32 2 − (x −1)(y −2)16 − (y −2)32 2 + R2

Khai triển Maclaurin hàm 1 biến

Ví dụ khai triển Maclaurin hàm 2 biến

Khai triển Maclaurin đến

Ví dụ khai triển Taylor hàm 2 biến

Khai triển Taylor đến