Bài giảng số 1. Hàm số đồng biến, nghịch biến và ứng dụng

Bài giảng số 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A.. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y  f x Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm củ

Bài giảng số 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cho hàm số y  f x ( ) trên khoảng ( ; ) a b

Tính chất 1: Hàm s ố y  f x ( )trên khoảng ( ; ) a b được gọi là:

i) Đồng biến nếu f '( ) x  0   x ( ; ) a b

ii) Nghịch biến nếu f '( ) x  0   x ( ; ) a b

Tính chất 2: Hàm s ố y  f x ( )trên khoảng ( ; ) a b được gọi là:

i) Đồng biến nếu f '( ) x  0   x ( ; ) a b , và f x  ( ) 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; ) a b

ii) Nghịch biến nếu f '( ) x  0   x ( ; ) a b và f x  ( ) 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ; ) a b

Nhận xét: Trong các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu chúng ta thường dùng tính chất 2 để

áp dụng

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y  f x ( )

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm

Bước 3: Lập bảng xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 2 

5

y  x x 

Giải:

Tập xác định: DR

Ta có

3

y

x



 Khi đó phương trình y' 0 x2

Bảng xét dấu

X  0 2 

y’ + || - 0 +

Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đồng biến trên khoảng (  ; 0)và (2;   )

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; -2)

3 sin cos

2

x

Giải

Tập xác định: DR

Ta có y '  3 cos x  sin x  1, khi đó phương trình

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

' 0 sin 3 cos 1 sin( ) sin

2 2 7 2 6











 



 



Trên khoảng ( , ).0 y’ = 0 có một nghiệm .

2

x 

 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )

2



 và nghịch biến

trên khoảng (0; )

2



D ạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

Phương pháp 1:

Bước 1: Cô lập tham số m sang một vế dạng f x ( )  m

Bước 2: Tính đạo hàm xét dấu và lập bảng biến thiên trên khoảng cho trước

Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện của tham số m

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số

2

1

y

x

 



 đồng biến với mọi x > 3

Giải:

Tập xác định: D  R \   1

Khi đó, ta có

2

2

1

y

x





Để hàm số đồng biến với mọi x > 3, thì

 

2

2 2

2

1

'

.

x



Xét hàm số f x ( )  2 x2 4 x  3 trên miền x > 3, ta có f x '( )  4 x   4 0   x 3

Vậy f(x) là hàm số đồng biến với x 3suy ra f x( )f( )3 9, vậy để 2

2x 4x 3 m  x 3 thì

m  f ( ) 3  9

Phương pháp 2:

D ựa vào định lý dấu tam thức bậc hai và định lý viet

Ví dụ 4: Tim m để hàm số y  x3 3 x2 mx  m (4) là nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

Giải:

Tập xác định: DR

Ta có y'3x26x m Điều kiện để hàm số (4) nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng bằng 1 thì phương trình:

3x26xm0 (4’)

phải có hai nghiệm x x1, 2sao cho x2x1 1 (* )

Điều kiện để (4’) có hai nghiệm phân biệt là  ' 09 3 m0m3

1 2 1 1 2 4 1 2 1 (* ) x x  (x x )  x x  Áp dụng định lý viet, ta có:

4

m

m

    So sánh với điều kiện suy ra không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5: Cho hàm số yx3ax2(2a27a7)x2(a1)(2a3) đồng biến trên [2:+ ) 

Giải:

Ta có y '  3 x2 2 ax  ( 2 a2 7 a  7 ) Điều kiện để hàm số đồng biến trên   2;    là

Ta có   ' 7 a2 21 a  21  0  a

Gọi x x1, 2( x2 x1) là hai nghiệm của phương trình y’ = 0, khi đó tập nghiệm của bất phương trình (*) là

(  ; x ]  [ ; x   ) Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng   ; 2   

Thì [2;     ) ( ; x1]  [ ; x2   )nghĩa là x1 x2 2 Điều kiện là

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com

2

2

2 4

4 0

6

1 5

2 1

2

a

theo viet

a a

a a







 









  

Dạng 3: Ứng dụng tính đơn điều trong chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp

Sử dụng các kiến thức sau:

 Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn

 f ( x) đồng biến trên [a; b] thì f a ( )  f x ( )  f b ( )

 f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f a ( )  f x ( )  f b ( )

Ví dụ 6: Chứng minh rằng

3

x

Giải:

Xét hàm số

3

3

x

2

1

cos

x

Dễ thấy tan (0; )

2

2

  

Vậy hàm số f x ( ) đồng biến trên khoảng (0; )

2



suy ra

3

x

Ví dụ 7: Chứng minh bất đẳng thức sau:

2

2

x e     x   x R

Giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

2

2

x  e    x    x R

Xét hàm số

2

2

f x  x e     x   x R Ta có

'

( ) sin x 1

f x   x e    x và f''( ) x   cos x  ex    1 1 cos x e  x  0,   x R

Vậy f x '( ) 0 có nghiệm duy nhất x  0.

Bảng biến thiên

x  0 

'( )

f x - 0 +

( )

f x

Từ bảng biến thiên chúng ta suy ra: f x  ( ) 0 với   x R (đpcm)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Với giá trị nào của m, hàm số: 2

1

m

y x

x

  

 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó Bài 2: Xác định m để hàm số

3

2

3

x

y    m  x  m  x đồng biến trên khoảng (0; 3)

Bài 3: Cho hàm số mx 4

y

x m







a Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định

b Tìm m để hàm số tăng trên (2;  )

c Tìm m để hàm số giảm trên (  ;1)

Bài 4: Cho hàm số y  x3 3(2 m  1) x2 (12 m  5) x  2 Tìm m để hàm số:

a Liên tục trên R

b Tăng trên khoảng (2;  )

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi

2



 x ta có

x x

x  tan  3

1 sin 3

2

3

1 sin 3

2 )











 2

;

0 

0



