HÌNH HSG 12 BÌNH ĐỊNH 2018-2019 CMR nếu một tứ giác ngoại tiếp có dộ dài các cạnh là a,b,c,d và diện tích S = abcd thì
tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
HD:
Ta có abcd = SABD + SCBD =
2
1
absinA +
2
1
cdsinC
ab
cd
= sinA +
ab
cd
sinC (*) Mặt khác a2 + b2 -2abcosA = c2 + d2 -2cdcosC (=BD2)
⇔
a2 + b2 -2ab(1-2sin2 2
A
) = c2 + d2 -2cd(1-2sin2 2
C
)
⇔
(a-b)2 + 4ab sin2 2
A
= (c-d)2 + 4cd sin2 2
C
⇔
(a – b – c - d)(a - b + c - d) = 4cd sin2 2
C
- 4ab sin2 2
A
⇔
cd sin2 2
C
= ab sin2 2
A
(Vì ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên a - b + c – d = 0)
⇔
ab
cd
=
2 sin
2 sin
2
2
C
A
, Thế vào (*)
2
2
sin
2
sin
C
A
= sinA +
2 sin 2 sin 2
2
C
A
.sinC ⇔
2 sin
2
C = 2.cos2
A
+
2 sin 2 sin
2C
A
sinC
⇔
2 = 2.cos2
A
.sin 2
C
+ 2.sin 2
A
.cos 2
C
⇔
sin(2
A
+ 2
C
) = 1 ⇔ A + C = π
đpcm Good luck
A
B
C
D
a
b
c d