Định lý bốn màu

Vào năm 1852 lần đầu tiên Francis Guthrie - khi ông thử tô màu bản đồ nước Anh - ông nhận ra rằng chỉ cần bốn màu khác nhau là đủ. Ông đã đem vấn đề này hỏi người anh trai là Fredrick, lúc đó đang là sinh viên của trường Đại học Học viện London (UCL). Fredrick đã đưa vấn đề này hỏi thầy của mình là nhà toán học Augustus De Morgan nhưng người thầy cũng chưa biết rõ và chưa nghiên cứu đến.Người đầu tiên giới thiệu vấn đề ra trước công chúng là nhà toán học Arthur Cayley vào năm 1878 tại Hội Toán học London, ông đã chỉ ra người đề cập vấn đề là De Morgan.Người đầu tiên chứng minh định lý này là Alfred Kempe vào năm 1879. Năm 1880, có thêm một cách chứng minh khác của Peter Guthrie Tait. Nhưng đến năm 1890 Percy Heawood đã chỉ ra sai lầm trong cách chứng minh của Kempe, và đến năm 1891 Julius Petersen chỉ ra sai lầm trong cách chứng minh của Tait....

Định lý bốn màu (về Bản đồ bốn màu và Bài toán xếp lịch)

I.- Khái quát & định lý

Định lý bốn màu (còn gọi là định lý bản đồ bốn

màu) phát biểu như sau:

Với bất kỳ mặt phẳng nào được chia thành các vùng

phân biệt, chẳng hạn như bản đồ hành chính của một

quốc gia, vùng lãnh thổ , chỉ cần dùng tối đa bốn

màu để phân biệt các vùng lân cận với nhau

Hai vùng được coi là lân cận nếu như chúng có

chung nhau một đoạn đường biên (Biên giới, địa

giới, danh giới ), không tính chung nhau một điểm

(Điểm mút)

“Định lý bốn màu” là định lý lớn đầu tiên được chứng minh bằng máy vi tính ; Tuy nhiên một số nhà toán học không đồng tình với cách chứng minh này, bởi vì con người không thể kiểm chứng trực tiếp được cách chứng minh Do vậy, muốn tin vào chứng minh này thì người ta phải công nhận sự chính xác của Trình biên dịch

và phần cứng máy tính được sử dụng để chạy chương trình chứng minh

II.-Lịch sử và ý nghĩa của “Định lý bốn màu”

1/- Vấn đề đạt ra:

Vào năm 1852 lần đầu tiên Francis Guthrie - khi ông thử tô màu bản đồ nước Anh - ông nhận ra rằng chỉ cần bốn màu khác nhau là đủ Ông đã đem vấn đề này hỏi người anh trai là Fredrick, lúc đó đang là sinh viên của trường Đại học Học viện London (UCL) Fredrick đã đưa vấn đề này hỏi thầy của mình là nhà toán học

Augustus De Morgan nhưng người thầy cũng chưa biết rõ và chưa nghiên cứu đến

Người đầu tiên giới thiệu vấn đề ra trước công chúng là nhà toán học Arthur

Cayley vào năm 1878 tại Hội Toán học London, ông đã chỉ ra người đề cập vấn đề

là De Morgan

Người đầu tiên chứng minh định lý này là Alfred Kempe vào năm 1879 Năm

1880, có thêm một cách chứng minh khác của Peter Guthrie Tait Nhưng đến năm

1890Percy Heawood đã chỉ ra sai lầm trong cách chứng minh của Kempe, và đến năm 1891Julius Petersen chỉ ra sai lầm trong cách chứng minh của Tait

Trong việc chỉ ra sai lầm của Kempe, Heawood còn chứng minh rằng tất cả các Đồ thị phẳng phải sử dụng năm màu khác nhau,( xem Định lý năm màu)

Trong những năm 1960 và 1970, nhà toán học người Đức là Heinrich Heesch đã phát triển phương pháp sử dụng máy vi tính cho việc chứng minh vấn đề

Năm 1976, cuối cùng thì định lý cũng được chứng minh bởi Kenneth Appel và

Wolfgang Haken tại trường Đại học Illinois với sự trợ giúp của máy vi tính

2- Vấn đề áp dụng vào thực tế

Mặc dù định lý được phát hiện ra trong quá trình tô màu bản đồ, nhưng trên thực tế rất ít khi được áp dụng vào khoa học vẽ bản đồ Nhiều bản đồ phải sử dụng nhiều hơn bốn màu để thể hiện các khu vực, ngoài ra có những bản đồ sử dụng ít hơn bốn màu

Hầu hết các bản đồ thực tế đều có vẽ hồ ao, mà tất cả hồ ao này phải vẽ cùng màu

Do vậy làm tăng số lượng màu cần thiết để vẽ các vùng đất Nếu bỏ qua không vẽ

hồ ao, thì trên thực tế vẫn có những vùng đất của cùng một quốc gia nhưng bị tách rời nhau, do đó phải vẽ cùng màu và định lý không áp dụng được

Các sách vở về môn Bản đồ học cũng không nhắc đến định lý này Những người

vẽ bản đồ cho rằng họ quan tâm hơn đến việc phối màu bản đồ sao cho đẹp mắt; do vậy việc sử dụng bốn, năm hay nhiều màu hơn không phải là vấn đề đáng bận tâm

3/-Những vùng đất không liên tục

Trên thực tế có nhiều quốc gia mà các phần lãnh thổ không liền kề nhau Ví dụ như phần lãnh thổ Alaska của nước Mỹ, Nakhchivan của Azerbaijan, hay Kaliningrad

của Nga Nếu việc vẽ bản đồ đòi hỏi các phần lãnh thổ này phải cùng màu thì việc

sử dụng bốn màu là không đủ

Trong toán học, những vùng đất tách rời này được gọi là điểm cô lập của tập hợp miền quốc gia

Thử xét một hình vẽ đơn giản sau

Trong hình, hai khu vực được đánh dấu "A" cùng

thuộc về một quốc gia, và phải được vẽ cùng màu

Bản đồ này phải sử dụng năm màu

III.- Bài toán xếp lịch

1/Giới thiệu bài toán

Bài toán xếp lịch có một lịch sử phát triển dài, trải qua nhiều sự thay đổi lớn Kể

từ những thế hệ đầu tiên của máy tính,người ta đã nghĩ đến việc sử dụng máy tính

để trợ giúp người xếp lịch Ban đầu đó chỉ là những công cụ trợ giúp cho việc phân công những công việc điều hành phối hợp Sau này mới thực sự được phát triển thành những công cụ xếp lịch cụ thể

Bài toán xếp lịch được chia thành những lớp bài toán cụ thể sau:

- Xếp thời khoá biểu Thường được sử dụng trong các trường Phổ thông, Đại học

- Xếp lịch thi Được quan tâm mỗi khi kì thi tuyển sinh Đại học hoặc thi học kì ở các trường Đại học và Cao đẳng

- Xếp lịch công tác cán bộ Được sử dụng chủ yếu ở các cơ quan, tổ chức lớn

Tuy nhiên trong bài này chúng ta chỉ quan tâm đến bài toán xếp lịch thi trong các trường Đại học

2/Phát biểu bài toán

”Vào cuối mỗi một học kì, các trường đại học phải tổ chức một đợt thi cho từng khoa hoặc cả trường.Trường có một nhiều phòng thi, các phòng có kích cỡ khác nhau (khả năng chứa thí sinh) Mỗi lớp có thể được chia thành nhiều nhóm thi, mỗi nhóm thi thi trong một phòng, mỗi phòng có thể có nhiều, nhóm cùng thi Và tổng số lượng thí sinh của các nhóm phải nhỏ hơn hoặc bằng kích cỡ của phòng.

Kì thi được chia thành các đợt thi Mỗi nhóm sẽ thi một môn trong một đợt thi

Yêu cầu chặt chẽ: có một số môn thi không được thi cùng đợt với môn thi khác, các nhóm của cùng một lớp (nếu có thể) phải thi trong cùng một đợt.”

Ta có thể chia bài toán trên thành 2 bài toán đơn giản hơn:

B1- Phân bổ các nhóm thi vào các đợt thi sao cho chúng không xung đột nhau (không vi phạm ràng buộc)

Xây dựng một đồ thị G, với mỗi đỉnh là một nhóm, nối cạnh giữa hai đỉnh mà nhóm của chúng có ràng buộc với nhau, tìm cách tô màu và sắc số p của đồ thị G

Số p là giới hạn dưới của số các đợt thi Các đỉnh được tô cùng màu có nhóm tương ứng được xếp vào một đợt thi

B2- Tìm cách xếp các nhóm trong một đợt thi (đã tìm được ở trên) vào các phòng thi của trường

IV.- Bài toán tô màu đồ thị và sắc số đồ thị

(Ứng dụng thuật toán tô màu đồ thị để giải quyết Bài toán xếp lịch)

Cho trước một số nguyên dương P, ta nói rằng đồ thị G có P sắc có nghĩa là: chỉ bằng P màu khác nhau ta có thể tô màu tất cả các đỉnh sao cho 2 đỉnh liền kề bất kỳ

có màu khác nhau Khi số p nhỏ nhất thì ta gọi P là sắc số của đồ thị và việc tìm

cách tô P màu lên đồ thị chính là bài toán tô màu đồ thị

1/Ví dụ:

Việc tô màu bản đồ hành chính, ta phải tô màu các nước sao cho: mỗi Quốc gia được tô một màu, hai nước có liền kề (có chung biên giới) không được tô cùng một màu

Ta thiết lập một đồ thị G, có tập các đỉnh là tập tất cả các quốc gia trên bản đồ Hai nước liền kề nhau thì có cạnh nối hai đỉnh tương ứng với nhau Ta tiến hành tìm sắc số của đồ thị này

Đây là trường hợp riêng của bài toán tô màu đồ thị Khi đồ thị chỉ là đồ thị phẳng Người ta đã chứng minh được rằng: chỉ cần nhiều nhất là 4 màu để tô đồ thị này

Từ lâu người ta đã chứng minh bài toán tô màu đồ thị thuộc lớp NP - đầy đủ Tuy nhiên nếu dùng một chiến thuật thuật hợp lý thì kết quả thu được

cũng có thể chấp nhận được

2/-Thuật toán tìm sắc số của đồ thị (Thuật toán 1):

Giả sử chúng ta có một đồ thị chứa các đỉnh x và y G: xy là một đồ thị thu được từ

đồ thị G bằng cách thay thế hai đỉnh x và y bằng một đỉnh, đỉnh đó có cạnh nối tới tất cả các đỉnh kề với đỉnh x, y hoặc cả x lẫn y Hay là hai đỉnh x và y đã được nhập với nhau Đồ thị G - {x} là một đồ thị thu được từ đồ thị G bằng cách loại bỏ đỉnh x cùng với tất cả các cạnh nối tới đỉnh x đó Một đồ thị trống là đồ thị không chứa một đỉnh hay một cạnh nào Hai đỉnh gọi là kề nhau nếu có cạnh nối với nhau

Với một đỉnh x bất kỳ, ta xây dựng một tập các bộ 3 như sau:

Graph Code:

(x, z(1,1), y1)

[

(x, z(1,2), y1)

ơ

ơ

(x, z(1,m1), y1)

ơ

ơ

(x, z(i,1), yi)

(x, z(i,2), yi)

(x, z(i,mi), yi)

[

(x, z(n,mn), yn)

Trong đó đỉnh thứ nhất kề với đỉnh thứ hai, đỉnh thứ 2 kề với đỉnh thứ 3 Và không tồn tại một bộ 3 nào mà: đỉnh thứ nhất kề hoặc trùng với đỉnh thứ 3 Từ tập các bộ

3 đó, ta tìm các đỉnh yi sao cho có:

mi = max(m1, m2, , mn) và đặt yi = x Nếu có nhiều đỉnh y đạt max ta chọn đỉnh đầu tiên

Ta có thể hình dung: Chọn một đỉnh trong số những đỉnh không kề với đỉnh x, kề với đỉnh (đỉnh trung gian) kề với đỉnh x, có số đỉnh trung gian là lớn nhất

Các bước của thuật toán (đồ thị G là dữ liệu vào):

Bước 1: Đặt j = 1, H=G

Bước 2: Đặt vj là đỉnh có bậc cao nhất trong H

Bước 3: Từ vj xây dựng tất cả các bộ 3 như trên và tìm đỉnh x Nếu không tìm được x, trong trường hợpkhông tìm được bộ 3 nào, chọn một đỉnh có bậc lớn nhất không kề với vj

Bước 4: Nhập x vào vj và quay lại bước 3 cho tới khi không chọn được một đỉnh nào nữa thì quay lại bước 2

với : H=H-{vj}, j=j+1

Bước 5: Khi không còn một đỉnh nào còn lại trong H, dựng lại và tô màu cho tất

cả các đỉnh được nhập vào vi với (1 =< i =< j) Khi đó j là sắc số của đồ thị G

3/- Sắc số của đồ thị: Cromatic.

Một số thủ tục và hàm sử dụng trong chương trình: Procedure Input; Nhập ma trận thể hiện đồ thị G từ file

Procedure Output; Xuất mảng Color[i] là màu của đỉnh i ra file

Function Degree(x:byte):byte; Tính bậc của đỉnh x, bậc của đỉnh x là số đỉnh chưa

bị nhập vào đỉnh

khác (hay Merge[I]=false) có cạnh nối với x (M[x,i]=true)

Function MaxDegree:byte; Trả lại đỉnh chưa được tô màu (Color[i]=0) và có bậc lớn nhất (Degree(i) * Max)

Function NumIntermediate(x,y:byte):byte; Trả về số đỉnh trung gian giữa hai đỉnh

x và y (Đỉnh i là trung gian

của x và y (i<>x; i<>y; Merged[i]=false; M[x,i]=true và M[i,y]=True)

Function MaxIntermediate(x:byte):byte; Trả về đỉnh có số đỉnh trung gian với đỉnh

x là lớn nhất NumIntermediate(x,I) * Max

Function Merge(i,x:byte); Nhập đỉnh I vào đỉnh x Tìm tất cả các đỉnh chưa nhập vào đỉnh nào có cạnh nối với đỉnh i (Merged[j]=false; M[i,j]=true), nối đỉnh đó với đỉnh x (M[j,x]:=true;M[x,j]:=true),

xoá cạnh nối giữa đỉnh đó với đỉnh i (M[i,j]:=0;M[j,i]=0)

Function NonMaxDegree(x:byte):byte; Tương tự như hàm MaxDegree, tìm đỉnh khác đỉnh x (i<>x), không có cạnh nối với x (M[i,x]=false) có bậc lớn nhất

(Degree(i) * Max)

Nguồn tham khảo: Wikipedia & Web Công đông Việt