ET 2060 Định lý lấy mẫu ( TS. Đặng Quang Hiếu ) pptx

Cách tiếp cận khácCoi lấy mẫu là phép nhân của xt với hàm xung đơn vị tuần hoàn với chu kỳ Ts.

ET 2060 Định lý lấy mẫu

TS Đặng Quang Hiếu

http://ss.edabk.org

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông

2011-2012

Định lý lấy mẫu

x(t)−−−−−−→lấy mẫu

T s

x(nTs) −−−−−−−−→ x[n]chuẩn hóa

t

x(t)

b b b

b b b b

b b b bb

b b b b b b

nT s

x(nT s )

“Nếu tín hiệu x(t) không có thành phần tần số nào lớn hơn B

hertz thì nó được hoàn toàn xác định tại các mẫu cách nhau 2B1 giây.” – Claude Shannon

Chứng minh định lý lấy mẫu (1)

Ω

X (jΩ)

2πB

−2πB

Gọi X (jΩ) là phổ của x(t) Khi đó:

x(t) = 1

2π

Z ∞

−∞

X (jΩ)ejΩtdΩ = 1

2π

Z 2πB

−2πB

X (jΩ)ejΩtdΩ Nếu thay t = 2Bn với n∈ Z, ta có:

x(n/2B) = 1

2π

Z 2πB

−2πB

X (jΩ)ejΩ2Bn dΩ

Chứng minh định lý lấy mẫu (2)

Ω

˜

X (jΩ)

2πB

−6πB

˜

X (jΩ) =

∞

X

n= −∞

cnej4πB2π nΩ =

∞

X

n= −∞

cnejΩ2Bn

cn = 1

4πB

Z 2πB

−2πB

˜

X (jΩ)e−j4πB2π nΩdΩ = 1

4πB

Z 2πB

−2πB

X (jΩ)e−jΩ2Bn dΩ

x(n/2B) → cn = 1

2Bx(−n/2B) → ˜X (jΩ) → X (jΩ) → x(t) QED!!!

Cách tiếp cận khác

Coi lấy mẫu là phép nhân của x(t) với hàm xung đơn vị tuần hoàn với chu kỳ Ts

xs(t) = x(t)p(t)

t

x(t)

u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u

t p(t)

u u

u u

u u u u u u u u

t

x s (t)

Phổ của tín hiệu sau lấy mẫu

Xs(jΩ) = 1

2π[X (jΩ)∗P(jΩ)], với P(jΩ) = 2π

Ts

∞

X

k= −∞

δ(Ω−k2πT

s

)

=⇒ Xs(jΩ) = 1

Ts

∞

X

k= −∞

X (j(Ω− kΩs)), Ωs = 2π

Ts

Ω

X (jΩ)

Ω

P(jΩ)

2π

Ω s

−Ω s

Ω

X s (jΩ)

1

Ω s

−2Ω s

Khôi phục lại tín hiệu

Cho tín hiệu xs(t) qua bộ lọc thông thấp lý tưởng với

Ωc = Ωs/2 > B

H(jΩ) =



Ts, |Ω| ≤ Ωc

0, |Ω| > Ωc

h(t) = Ts sin(Ωct)

πt

Ta có:

x(t) = xs(t)∗ h(t) =

∞

X

n=−∞

x(nTs)h(t − nTs)

=

∞

X

n= −∞

x(nTs)ΩcTs

π sin(Ωc(t − nTs))

Ωc(t − nTs)