Định lý giới hạn trung tâm

Năm 1933, Kolmogorov cho ra đời cuốn sách ''''''''Foundation of the Theory ofProbability'''''''' thì giới Toán học mới công nhận Xác suất là một lĩnh vực toánhọc chặc chẽ. Ông đã từng nói: giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suấtlà các định lý giới hạn. De Moivre (1667 – 1754) là tác giả của Định lý giớihạn trung tâm (trường hợp đối xứng), một trong những thành tựu quan trọngnhất của Xác suất....

Định lý giới hạn

trung tâm

LỜI NÓI ĐẦU

Xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu về các hiện tượng ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng tưởng chừng không có quy luật này; và nó được ra đời đầu tiên ở nước Pháp vào nửa cuối thế kỷ 17

Năm 1933, Kolmogorov cho ra đời cuốn sách '' Foundation of the Theory of Probability'' thì giới Toán học mới công nhận Xác suất là một lĩnh vực toán học chặc chẽ Ông đã từng nói: giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất

là các định lý giới hạn De Moivre (1667 – 1754) là tác giả của Định lý giới

hạn trung tâm (trường hợp đối xứng), một trong những thành tựu quan trọng

nhất của Xác suất

Cuốn tiểu luận này được trình bày theo bố cục:

Phần I: GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Phần II: NHẮC LẠI MỘT SỐ KẾT QUẢ

Phần III: CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

Phần IV: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Phụ lục: MINH CHỨNG LỊCH SỬ

Tôi viết cuốn tiểu luận định lý giới hạn trung tâm này, nói chung đây chỉ

là sự góp nhặt khai triển chẳng mấy là sáng tạo Thỉnh thoảng có đôi lời khen tặng, tôi lấy làm xấu hổ như đã như đã cưỡng chiếm một cái gì đó mà không thuộc về mình

Nước muôn sông không đủ để tôi rửa tai nghe những lời cao luận

Tác giả Trương Văn Kìm

I VÀI NÉT VỀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Giả sử X kn,k1, 2, ,n n, 1, 2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu hạn

đã được chuẩn hóa từ dãy biến ngẫu nhiên X kn,k 1, 2, ,n n, 1, 2,

Định lý giới hạn trung tâm Cổ điển là dạng định lý cho điều kiện đủ để phân phối của Un hội tụ yếu về phân phối chuẩn N(0 ; 1):

Trong tiểu luận nhỏ này, kỹ thuật hàm đặc trưng được xây dựng Phương pháp

này được sử dụng lần đầu tiên bởi Liapunov (1901) và được hoàn thiện bởi Lindeberg (1917), Feller (1933), Gniedenko (1949), Kac (1961),Petrov (1972),

Theo thông tin Toán học của Hội Toán học Việt Nam (09/2006) thì trong năm 2006

có đề tài cấp quốc gia ''Các định lý giới hạn trong Lý thuyết xác suất và Ứng dụng'' được một nhóm nguyên cứu mà chủ trì đề tài là GS Nguyễn Văn Quảng ở

cho các phép thử Bernoulli (không đối xứng) độc lập

Công trình của de Moivre (1730) và Laplace (1812) là kết quả đầu tiên về Định

lý giới hạn trung tâm đối với sơ đồ Bernoulli và sử dụng công thức xấp xỉ Stirling:

! 2 n n, 10

n n n e n

Đến năm 1878, Chebyshev đề nghị phương pháp moment để xét các Định lý giới hạn nhưng chưa hoàn chỉnh Phương pháp moment được hoàn chỉnh bởi Markov (1898) với một điều kiện đủ cho Định lý giới hạn trung tâm

2 2

1

1

n kn n

k n

E X B





     (2) (trong đó dãy biến ngẫu nhiên X kn,k 1, 2, ,n n, 1, 2, có moment cấp 2+ )

Năm 1901, Liapunov đã sử dụng phương pháp hàm đặc trưng lần đầu tiên để

chứng minh Định lý giới hạn trung tâm và nhận được điều kiện tương tự như điều kiện (2) nhưng khác ở chỗ là >0, tức là

2 2

1

1

n kn n

k n

E X B





     (3) (trong đó dãy biến ngẫu nhiên X kn,k 1, 2, ,n n, 1, 2, có moment cấp 2+ )

Khi nghiên cứu Định lý giới hạn trung tâm, Markov và Liapunov đã làm rõ tính

tiệm cận bé đều so với tổng hay tổng quát hơn sau này là tính vô cùng bé đều

Đỉnh cao của Định lý giới hạn trung tâm Cổ điển chính là định lý Lingdeberg (1917) Ta thấy rằng trong quá trình phát triển, giả thuyết về sự hữu hạn của

moment đến cấp nào đó của các biến ngẫu nhiên thành phần được giảm nhẹ theo thời gian Đến giữa thế kỷ 20 thì điều kiện về sự moment không còn được đặt ra

nữa với Định lý giới hạn trung tâm Tổng quát (Kolmogoroff, Gniedenko – 1949)

Tuy nhiên việc áp dụng các điều kiện trong định lý Định lý giới hạn trung tâm Tổng quát vào các bài toán cụ thể gặp nhiều trở ngại trong tính toán kiểm tra Năm

2005, Phạm Xuân Bình (ĐH Qui Nhơn) đã đưa ra một dạng mới (có thể gọi là

dạng nửa cổ điển của Định lý giới hạn trung tâm) với giả thuyết là tồn tại moment cấp 1, mà việc sử dụng có nhiều thuận lợi hơn

Một vấn đề được đặt ra là liệu các điều kiện đủ trong các định lý đã phát triển mà

ta nói ở trên có cần hay không ?

Năm 1935, Feller đã cho câu trả lời khẳng định cùng với một điều kiện mà sau

này được đặt tên là điều kiện Feller

Định lý giới hạn trung tâm là một trong những thành tựu đặc sắc nhất của Lý thuyết xác suất

II KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

lim 1 u

   Suy ra lim 1

n x n

x e n

III CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

Giả sử X kn,k 1, 2, ,n n, 1, 2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu hạn Để thống nhất và thuận tiện cho việc trình bày, ta quy ước đặt:

  (Un là dãy tổng đã được chuẩn hóa từ dãy

biến ngẫu nhiên X kn,k1, 2, ,n n, 1, 2, )

n

k n

B 

Những định lý giới hạn trung tâm là suy rộng của định lý Moivre – Laplace liên

hệ với lược đồ phép thử Bernoulli

III.1 Định lý (Định lý giới hạn tích phân de Moivre – Laplace, 1812)

Chú ý rằng : số thành công v n có thể viết dưới dạng v n X1n X2n  X nn, trong đó X kn,k1, 2, ,n n, 1, 2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, lấy hai giá trị 1 và 0 với xác suất tương ứng là p và q = 1 – p Khi đó định lý Moivre –

Giả sử v n là số thành công trong n phép thử Bernoulli độc lập, mà trong mỗi phép thử ta có P A  p (0 p1, pq1)

Laplace là định lý giới hạn trung tâm Cổ điển đối với những đại lượng ngẫu

nhiên độc lập cùng phân phối Bernoulli

Định lý sau đây là suy rộng của định lý Moivre – Laplace đối với những đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối nhưng không nhất thiết phải lấy hai giá trị

III.2 Định lý (Lingdeberg – Lévy, 1925)

kn k n

it

X it

n n

n

t n

2 1

kn

kn k

Giả sử X kn,k1, 2, ,n n, 1, 2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có :

Áp dụng định lý III.3 ta có được điều phải chứng minh

Giả sử X kn,k1, 2, ,n n, 1, 2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có :

Điều kiện (20) và (21) là tương đương nhau và được gọi là điều kiện Lindeberg

Nó có ý nghĩa đảm bảo cho tính tiệm cận bé đều so với tổng của các thành phần , 1, 2, , ; 1, 2,

n

t B

Sử dụng bất đẳng thức (5), ta có đánh giá

2 2

2

kn n

t

t B

2 2

2 2

2

n

kn kn

1

n

kn n

k n

E X B

E X B

Theo định lý Lindeberg ta suy ra điều phải chứng minh

III Định lý (Lindeberg – Feller, 1935)

(trong định lý này,điều kiện đủ là định lý Lindeberg, điều kiện cần là định lý Feller)

Chứng minh:

* Điều kiện đủ được suy ra từ chứng minh định lý Lingdeberg

* Ta chứng minh điều kiện cần theo 2 bước như sau:

t B

sao cho khi n N   ta có

 2 2

1

1

ax kn

k n n

n kn n k

2 (2)

n k

t B

2

1

1 os2

n

n n k

Cho n  , sau đó cho t   thì ta sẽ nhận được (21)

Một dạng khác của định lý giới hạn trung tâm là xét tính hội tụ cho mật độ của

n

n

S

B (nếu mật độ này là tồn tại) về mật đọ phân phối chuẩn Những định lý loại này

gọi là Định lý giới hạn địa phương

IV MỘT SỐ BÀI TẬP:

IV.1 KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

Giả sử X kn,k 1, 2, ,n n, 1, 2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phương sai hữu hạn , ta quy ước đặt:

( ) (0) ( )lim kn kn kn

kn t

(trong đó kn là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên Xkn)

* Kiểm tra nếu EX kn 0, ta tiến hành kiểm tra một trong các điều kiện sau đây:

1 Điều kiện Lindeberg:

2 1

2 2 1

n x

n kn

n

t S

n

n kn

k n

E X B

* Kiểm tra nếu EX kn a0, ta tiến hành kiểm tra điều kiện sau đây:

4 Điều kiện Lévy:

2

2

2 2 1

t

k t EX

01

kn

t

k te EX

Ta có

2

2 2 2

1

1 2

1

0

sin(0)

0

k

j kn

kn

t

tjk t EX

1cos

cos1

n

k

n j

tj B

tj k B

tj B k

kn kn

''

2 0

n n

n

k t B

k t B

n

k t B

k k

k

khi x x

Do đó dãy biến ngẫu nhiên đã cho thỏa mãn điều kiện Lindeberg Do đó dãyX kn

tuân theo định lý giới hạn trung tâm

IV.2 ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

BÀI TẬP 2.1

Một con súc xắc cân đối đồng chất được gieo 30 lần Tìm xác suất để tổng số nốt

xuất hiện lớn hơn 120

Giải:

Gọi Xk là số nốt xuất hiện ở lần gieo thứ k (k 1, 2, ,30) Khi đó X1, X2,…, X30

là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, được cho như sau:

6

16

16

16

16

16

Phân phối chính xác của S30 rất phức tạp Nhưng theo định lý giới hạn trung tâm

S30 có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn S với:

Trong một khu phố có 180 hộ 2 người và 50 hộ có nhiều hơn 2 người Lượng

nước sinh hoạt mỗi hộ ít người dung một ngày là một biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình 0,6m3 và độ lệch tiêu chuẩn 0,04m3; còn mỗi hộ có nhiều người là biến ngẫu nhiên có giá trị trung bình 1,9m3 và độ lệch tiêu chuẩn 0,14m3

Tìm xác suất để trong một ngày khu phố đó sử dụng hơn 205m3 nước?

Giải:

Gọi X1, X2,…, X180 là lượng nước dùng của các hộ 2 người

Gọi Y1, Y2,…, Y50 là lượng nước dùng của các hộ nhiều người

BÀI TẬP 2.3

Trọng lượng trung bình của của đàn ông một nước nào đó là 78,5kg, với độ lệch

tiêu chuẩn 11,2kg Chọn ngẫu nhiên 20 người và X là trọng lượng trung bình của

20 người này Tìm xác suất để X lớn hơn 80kg ?

Phụ lục: Minh chứng lịch sử

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov

Aleksandr Lyapunov năm 1876 Aleksandr Lyapunov về già

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (tiếng Nga: Александр Михайлович Ляпунов;

sinh ngày 6 tháng 6 (cũ 25 tháng 5), 1857 – mất 3 tháng 11, 1918 thọ 61 tuổi) là một nhà toán học, cơ học và vật lý người Nga Họ của ông đôi khi được viết sang tiếng La mã là Ljapunov, Liapunov hay Ljapunov

1 Tiểu sử

Lyapunov sinh ra tại Yaroslavl, Đế quốc Nga.Cha ông là Mikhail Vasilyevich Lyapunov (1820–1868), một nhà thiên văn và là người đứng đầu của tổ chức văn hóa Demidovski Vào năm 1863, M V Lyapunov về hưu và chuyển gia đình ông về quê vợ ở Bolobonov, tỉnh Simbirsk (bây giờ là Ulyanovsk Oblast) Sau cha ông mất vào năm 1868, Aleksandr Lyapunov được kèm cặp bởi chính cậu ruột của mình R M Sechenov, anh nhà sinh lý học nổi tiếng Ivan Mikhailovich Sechenov Tại gia đình của cậu mình, Lyapunov đã học với người em họ hàng xa Natalia Rafailovna, người mà trở thành vợ ông vào năm 1886 Năm

1870, mẹ ông đưa các con trai bà tới Nizhny Novgorod, nơi ông bắt đầu học trung học Ông đã tốt nghiệp xuất sắc vào năm 1876

2.Học vấn

Năm 1876 Lyapunov gia nhập khoa Toán Lý tại trường Đại học Saint Petersburg, nhưng

sau đó một tháng ông quyết định chuyển sang học khoa Toán của trường

Trong số các giáo sư toán của Saint Petersburg gồm Chebyshev và các học trò của ông Aleksandr Nikolaevich Korkin và Yegor Ivanovich Zolotarev Lyapunov viết công trình khoa học độc lập đầu tiên của mình dưới sự hướng dẫn của giáo sư cơ học D K Bobylev Năm 1880 Lyapunov nhận huy chương vàng cho công trình nghiên cứu về thủy tĩnh học

Đây là cơ sở cho báo cáo khoa học đầu tiên của ông Về sự cân bằng của vật nặng trong

chất lỏng nặng chứa trong bể chứa có hình dáng cố định và Về thế của áp suất thủy tĩnh

Lyapunov hoàn thành chương trình đại học của mình vào năm 1880, hai năm sau đó Andrey Markov, người mà cũng tốt nghiệp từ Đại học Saint Petersburg Lyapunov đã duy trì mối liên hệ khoa học với Markov trong suốt đời mình

Năm 1884 Lyapunov bảo vệ đề tài Thạc sĩ của ông Về sự ổn định của cân bằng dạng

elipsoid của chất lỏng quay Đề tài này được gợi ý cho ông bởi Chebyshev, người mà đã

cũng gợi ý cho các sinh viên khác của mình nữa, như Zolotarev và Sofia Vasilyevna

Kovalevskaya Đề tài này được xuất bản vào năm 1885 trong Tập san thiên văn học

(Bulletin Astronomique) Nó được dịch nguyên vẹn sang tiếng Pháp vào năm 1904 và đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học, vật lý học và thiên văn học tại Châu Âu.

3.Giảng dạy và nghiên cứu

Năm 1895 Lyapunov trở thành giáo sư ngoại ngạch và được đề xuất vào chức giáo sư cơ khí tại Đại học Kharkiv, cùng năm đó Sinh viên và cũng là trợ lý của ông, Vladimir Steklov, nhớ lại bài giảng đầu tiên của ông như sau: «Một thanh niên đẹp trai, cùng tuổi với các sinh viên khác, đến trước thính giả, trong đó có vị trưởng khoa già, giáo sư Levakovsky, người được sự kính trọng của tất cả sinh viên Sau khi vị trưởng khoa ra ngoài, người thanh niên với giọng nói hơi rung bắt đầu bài giảng về động học của chất điểm, thay vì bài giảng hệ thống động lực học Vấn đề này đã được dạy bởi giáo sư Delarue Nhưng những gì thầy Lyapunov dạy là mới mẽ đối với tôi và tôi không bao giờ thấy những kiến thức này ở trong bất kỳ quyển sách giáo khoa nào Tất cả ác cảm về môn học lập tức tan vào cát bụi Từ ngày đó, sinh viên bày tỏ sự kính trọng đặc biệt đối với thầy Lyapunov»

Năm 1892 Lyapunov bảo vệ luận án tiến sĩ nổi tiếng Đại cương về độ ổn định của

chuyển động Luận án này đã được bảo vệ ở đại học Moscow vào ngày 12 tháng 9, 1892,

với sự phản biện của Nikolai Zhukovsky và V B Mlodzeevski Luận văn này cùng với luận văn thạc sĩ, đã được dịch sang tiếng Pháp Năm sau đó Lyapunov trở thành giáo sư thực thụ của Đại học Kharkiv

4.Những năm sau đó

Lyapunov qua về Saint Petersburg năm 1902, sau khi được bầu vào thành viên của Học viện Khoa học, đồng thời là giáo sư của khoa Toán ứng dụng trường Vị trí đã bị bỏ trống sau khi thầy của ông, Chebyshev mất Không phải tham gia công tác giảng dạy, cho phép Lyapunov tập trung vào nghiên cứu và đặc biệt ông có thể đúc kết những vấn đề của Chebyshev để bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình

Năm 1908 ông tham gia Hội nghị Toán học quốc tế lần thứ tư ở Rome Ông cũng tham gia công việc xuất bản các tuyển tập của Euler: biên tập quyển 18 và 19

Cuối tháng 6, năm 1917, Lyapunov cùng vợ về thăm anh trai ông ở Odessa Vợ ông bị bệnh lao vì thế họ phải rời đi sau đó theo yêu cầu của bác sĩ Bà chết vào 31 tháng 10,1918 Cùng ngày đó, Lyapunov tự bắn vào đầu, ba ngày sau ông mất

5.Sự nghiệp

Lyapunov đóng góp cho nhiều lĩnh vực, bao gồm phương trình vi phân, lý thuyết thế, hệ thống động học và lý thuyết xác suất Quan tâm chính của ông là độ ổn định của cân bằng chuyển động của hệ thống cơ học, lý thuyết mẫu về sự ổn định của chất lỏng rối đồng dạng, và nghiên cứu các hạt dưới ảnh hưởng của trọng trường Sự nghiệp của ông trong nhiều lĩnh vực của vật lý toán liên quan đến bài toán giá trị biên của phương trình Laplace

Trong lý thuyết thế, công trình của ông từ 1987 Về vài vấn đề liên kết với bài toán

Dirichlet’s làm rõ nhiều vấn đề quan trọng của lý thuyết thế Các công trình của ông trong

lĩnh vực này có liên hệ chặt chẽ với các công trình của Steklov Lyapunov đã phát triển nhiều phương pháp xấp xỉ quan trọng Các phương pháp của ông, được phát triển vào năm

1899, giúp định nghĩa độ ổn định của tập hợp các phương trình vi phân thông thường Ông cũng sáng tạo ra lý thuyết hiện đại về độ ổn định của một hệ thống động lực Trong lý thuyết xác suất, ông tổng hợp hóa các công trình của Chebyshev và Markov, và chứng

minh định lý giới hạn trung tâm dưới nhiều điều kiện tổng quát hơn những người đi

trước Phương pháp của ông được sử dụng cho nhiều phép chứng minh được phổ biến rộng rãi sau đó trong lý thuyết xác suất.Ông là thành viên danh dự của nhiều trường đại học, thành viên danh dự của Học viện ở Rome và đồng thời là thành viên của Học viện Khoa học ở Paris