Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng ABCD sao cho SB = SD... MQ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x... Lưu ý : Học sinh làm khác đáp án đúng vẫn cho điểm tối đa.
Trang 1TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
TỔ: TOÁN TIN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2015-2016 Môn thi: TOÁN 11
Ngày thi: 10/03/2016
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 06 câu, gồm 01 trang
Câu 1: (6,0 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác: sin cos 4 2sin 2 2 1 4sin ( 2 )
x
b) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa mãn:
2 cot 2 tan
c) Giải phương trình: x + 1 = − 3 x2 + 4 x + 17
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Chọn ngẫu nhiên một số có 5 chữ số có dạng abcde tính xác suất để chọn được một số thỏa mãn a ≤ b < c ≤ d < e
b) Tìm hệ số của x4 trong khai triển biểu thức: n
x x
x
P ( ) = [ + 3 ( 1 − 1 )] Biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 3 C1n+1 + 8 Cn2+2 = 3 Cn3+1
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho dãy số (u n):
+
=
=
2
3 1
1
n
n u u
u
;n ∈ N* a) Chứng minh rằng dãy (v n): vn = un − 1 là một cấp số nhân lùi vô hạn
b) Tính lim un
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho hình vuông cạnh a, tâm O Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB =
SD Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x mặt phẳng (α) qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a và x Tính x để diện tích MNPQ lớn nhất
Câu 5: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD ,biết điểm A có tung độ dương, đường thẳng
AB có phương trình: 3 x + 4 y − 18 = 0, điểm ; 1 )
4
21
M thuộc cạnh BC,đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại N thỏa mãn BM.DN = 25.Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
Câu 6: (2,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn: a + b + c = 3.
Chứng minh rằng: 2
2
b a
a
2
c b
b
+ + 2
2
a c
c
3
≥
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
.HẾT
Số báo danh
………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỒI 11 MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016
Câu Ý Hướng dẫn-Đáp án Điểm
) 2 4 ( sin 4 1 2 sin 2 4 cos
x x
) 2 )(
( 2 2 1
sin
2 4 cos
1 sin 0
) 2 4 )(cos 1 (sin
0 ) sin 1 ( 2 ) 1 (sin 4 cos
0 ) sin 1 ( 2 4 cos 4
cos sin
0 )]
2 cos(
1 [ 2 1 2 sin 2 4 cos
Z k k x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
∈ +
=
⇔
=
⇔
=
=
⇔
=
−
−
⇔
=
− +
−
⇔
=
− +
−
⇔
=
−
− +
− +
⇔
π π
0,5 0,5 0,5 b
gt
2 sin 2 cos 2 cos cos
sin
C
C B
A
2
) cos(
) cos(
cos
1− C = A+B + A−B
⇔cos(A-B)=1⇔ A−B=k2π(k∈Z).do 0 < A,B < π
suy ra A = B ⇒∆ABC cân đỉnh C
0,5
0,5 0,5
0,5
c Điều kiện :x≥−1 với điều kiện trên phương trình
17 4 3
1=− 2 + +
x ⇔ x+1−2+3x2 −4x−15=0
0 ) 5 3 )(
3 ( 2 1
+ +
−
x
x
0 ) 5 3 2 1
1 )(
3
+ +
−
x x
0
3=
−
2 1
1 + + >
+
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,5
0,5 0,5 0,5
2 a Gọi B là biến cố cần tính xác suất
Không gian mẫuΩ =9.104 (do a≠0)
vì a ≠0 mà a mà số bé nhất nên b,c,d,e cũng khác không.vậy a, b,c,d,e là 5 số được
chọn trong 9 số từ 1 đến 9 xếp thứ tự duy nhất.có các trường hợp xảy ra sau:
+Trường hợp 1:Chọn a<b<c<d <e mỗi số là một cách xếp duy nhất thứ tự 5 phần
tử trên được chọn trong 9 phần tử nên có 5
9
C số tạo thành
+Trường hợp 2: Chọn
<
=
<
<
<
<
<
=
e d c b a
e d c b a
do có 2 số bằng nhau nên chỉ cần chọn 4 số trong 9 số xếp thứ tự duy nhất vậy có 2 C số 94
+Trường hợp 3: a=b<c=d <e do có 2 cặp số bằng nhau (a = b;c = d)nên chỉ cần
chọn 3 số khác nhau trong 9 số xếp thứ tự duy nhất vậy có 3
9
C số Vậy có tất cả B = C +95 4
9
2 C + 3
9
C
=
⇒ P (B) ( 5
9
C + 4
9
2 C + 3
9
C )/(9.104) =
15000 77
0,5
0,5
0,5
0,5 b
2
) 1 ( ) 1 ( ) 2 )(
1 ( 4 ) 1 (
Trang 3Theo khai triển nhị thức newton ta có
x x
x
P( ) [ 3(1 1)] ( )11 3 (1 1)
11 11 0
− +
i
i i k k i
k k k
) 1 ( 3
)
(
0
11 11
11
0
−
∑
∑
=
−
k i i k k i
k k
−
=
11
0 11 11
Xét phương trình 112−k −i=4;0≤i≤k ≤11⇔k+2i=3⇔ k k ==13;;i i==10
Suy ra hệ số của x là 4 3C111C11(−1)+33C113 = 4422
0,5
0,5 0,5
2
1 2
1 ) 1 ( 2
1 2
1 2
1 1 ) 1 ( 2
1 1 1
+
và v1 =u1−1=2
suy ra v là một cấp số nhân lùi vô hạn công bội n
2
1
=
q
0,5
0,5 b
Ta có 1 ) 1
2
1 ( −
n v
2
1 (
suy ra limv n =0 suy ra limu n =lim(v n +1)=1
0,5 0,5
4 a Tứ giác MNPQ là hình gì ?:
Ta có : SB = SD ⇒ ∆ SBC = ∆ SDC (c-c-c)
Gọi I là trung điểm SC ⇒∆ IBC = ∆ IDC
⇒ IB = ID
⇒ ∆ IBD cân tại I
⇒ IO ⊥ BD
Mà OI // SA ⇒ SA ⊥ BD (*)
) ( ) (
) (
//
) (
BD MQ MQ ABO
ABO BD
BD
⇒
=
∩
⊂
α α
Tương tự : ⇒ NP // BD ( 2 )
Từ (1) và (2) , suy ra MQ//NP//BD (3)
) ( ) (
) (
//
) (
SA MN MN
SAO
SAO SA
SA
⇒
=
∩
⊂
α α
Tương tự : ⇒ PQ // SA ( 5 )
Từ (4) và (5) , suy ra MN//PQ//SA (6)
Từ (3) , (6) và (*), suy ra MNPQ là hình chữ nhật Vậy : MNPQ là hình chữ nhật
0,5
0,5
b Tính diện tích MNPQ theo a và x:
Ta có : S MNPQ =MQ.MN
Tính MQ : Xét tam giác AQM :
M
=
=
= Α
0 0 0
90 ˆ 45 ˆ 45 ˆ
cân tại M ⇒MQ = AM = x
Tính MQ : Xét tam giác SAO :
0,25
M
N I P
Q
O
D
C B
A S
Trang 4Ta có : MN//SA⇒ 2
2
2 2
2
a x a a OA
OM AS MN OA
OM AS
2
1 ) 2 (
MQ
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương x 2 và a−x 2
) 2 ( 2
x − ≤ ) 2
2 ) 2 2 (x +a−x ≤ a4²
⇒
2 4
² 2
4
² 4
² 2
S a
a
S MNPQ ≤ = ⇒ MNPQ mã = Đẳng thức xảy ra khi x 2 =a−x 2
4
2 2 2
a a
x= =
trung điểm AO Vậy :
4
2
a
x= thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất
0,25 0,25
0,25
suy ra
DA
ND BM
AB.DA=BM.ND=25
5
=
=
Phương trình đường thẳng BM:
0 ) 1 ( 3 ) 4
21 (
4 x− − y+ = hay 4x - 3y - 24 = 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :
=
− +
=
−
−
0 18 4 3
0 24 3 4
y x
y x
suy ra B(6;0)
vì A∈AB⇒ A(2+4t;3−3t);AB=5 suy ra
−
⇒
=
⇒
=
⇔
=
− +
− +
) )(
3
; 10 ( 2
) 3
; 2 ( 0 25
) 3 3 ( ) 6 4 2
loai A
t
A t
t t
Ta có
4
5
=
BM mà BC = 5 ⇒ BM=
4
1
BC Suy ra C(3 ;-1)
AB = DC suy ra D(-1 ;2)
6
BĐT ⇔a - 22
b a
ab
+ + b - 2
2
c b
bc
+ + c - 2
2
a c
ca
+ ≥ 2
3
<=> 22
b a
ab
2
c b
bc
2
a c
ca
3
≤
Sử dụng BĐT cô si ta có
=
≤ +
=
≤ +
=
≤ +
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
c a a c
ca a
c
ca
b c c b
bc c
b
bc
a b b a
ab b
a
ab
⇒ 22
b a
ab
2
c b
bc
2
a c
ca
c a b c a
4
) 1 ( ) 1 ( ) 1 (a+ +c b+ +a c+
b
2
3
3
)
= + +
≤ a b c ) ⇒đpcm Dấu bằng xảy ra ⇔a=b=c=1
0,5
0,5
0,5
M
N C
D
Trang 5Lưu ý : Học sinh làm khác đáp án đúng vẫn cho điểm tối đa