De thi thu dai hoc co dap an ( cuc hot)

Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. Giải phơng trình: 2 cos.. Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bê

Trờng thpt Xuân áng

đề thi thử đại học năm 2009-2010

Môn Toán

(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) I- PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH .

Câu I Cho hàm số

1

1 2

−

+

=

x

x

y có đồ thị (C).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B

Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu II 1 Giải phơng trình: 2

cos 2 sin

2sin x

-2x 3sin

x x

2 Giải hệ phơng trình :









=

− + +

= +

− +

−

0 22 2

0 9 6 4

2 2

2 2 4

y x

y x

y y x x

.

Câu III 1.Tính tích phân sau: 2 sin cos3 dx

0

sin 2

x x

e x

∫

π

2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z ≤3 Chứng minh rằng:

4 625

3xy z4 + +15yz x4 +4+5zx 81y4 +4 ≥ 45 5 xyz.

Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc α.

Tìm α để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.

II- PHầN RIÊNG (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )

Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )

Câu Va 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(

2

1

; 0) Đờng thẳng chứa cạnh AB có phơng trình x-2y+2= 0 , AB =2AD

Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (d và 1) (d có phơng trình 2)

Lập phơng trình mặt phẳng chứa (d1) và (d 2)

.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10 2+8x+4=m(2x+1). x2 +1.

Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao )

Câu Vb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng (∆) và ( )∆' có phơng trình







 +

=

=

+

=

∆









=

+

=

+

=

∆

4t' 2

t' 2 y

t' 2 -2 x : ; 4

2t -1 y

t 3 x

z z

Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và ( )∆'

Câu VIb Giải và biện luận phơng trình : mx+1(m2x2 +2mx+2)=x3 −3x2 +4x−2

3

3 9

1 6

4 -x : ) (d

; 1

2 -z 3

1 y 2

1 );

d

đề chính thức

Xuan áng

năm 2009-2010

Hớng dẫn chấm môn toán

I.1

Khảo sát hàm số y=

1

1 2

−

+

x

1 Tập xác định: R\{1}

2 Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: 2 ( 1)2

3 )

1 (

) 1 2 ( ) 1 ( 2 '

−

−

=

−

+

−

−

=

x x

x x

y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1;+∞)

Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị

0,25

−

+

= −

1 2 lim

lim

1

x y

x x

= +∞

−

+

= +

1 2 lim

lim

1

x y

x x

Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng

2

1

1 2 lim

−

+

=

±∞

→

±∞

x y

x x

Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang

0,25

* Bảng biến thiên:

-∞

+∞

2

3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.

0,5

I.2 Với M bất kì ∈ (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam

Gọi M









−

+

1

3 2

;

0 0

x

* Tiếp tuyến tại M có dạng:

1

3 2 ) (

) 1 (

3

0 0

2

−

=

x x

x x

y

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A









−

+

1

6 2

;

1

0

x

0,25

Câu Nội dung Điểm

B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2)

* Ta có: S∆IAB =

2

1

IA IB= 21 6 1 2 0 1 2.3 6

0

=

=

−

⋅

−

0,25

* ∆ IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi

IA= IB (HS tự chứng minh)









−

=

+

=

⇒

−

=

3 1 1

2 1

6

0

0 0

x x

x

* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện

M 1 (1+ 3;2+ 3)

M 2 (1− 3;2− 3)

Khi đó chu vi ∆ AIB = 4 3+2 6

0,5

II.1

Giải phơng trình: 2

cos 2 sin

sin 2 2 sin 3

=

−

x x

x

cos 2 sin

sin 2 2 sin 3

=

−

x x

x x

Điều kiện: sin2x ≠ 0 =>







≠

≠

0 cos

0 sin

x x

* Từ phơng trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx

⇔ (2sin2x 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0–

⇔2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0

0,5

* ⇔ 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0

⇔











=

−

⇔

=

−

=

⇒

=

0 ) 1 cos 2 ( sin 0

sin 2 sin

0 sin 1 cos

x x

x x

x x

* ⇔2cosx -1 =0 (do sinx ≠ 0)

⇔ π π 2π

3 3

cos 2

1 cosx = = ⇒x =± +k (k∈Z)

0,5

II.2

Giải hệ phơng trình:









=

− + +

= +

− +

−

0 22 2

0 9 6 4

2 2

2 2 4

y x y x

y y x x

* Hệ phơng trình tơng đơng với









=

− + +

=

− +

−

0 22 )

2 (

4 ) 3 ( ) 2 (

2 2

2 2

2

x y x

y x

1,00

(loại)

0,25

0,5

III.1

Tính tích phân

1,00

Đặt sin 2 x= t => dt= 2sinx cosxdx

Đổi cận: x=0 => t=0; x= Khi đó I=

0,5

Đặt Dùng tích phân từng phần ta có I=

0,5

III.2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 Chứng minh rằng: + 1,00

Bất đẳng thức

+ +

VT

0,5

Câu Nội dung Điểm

Đặt t =

ta có do đó t 1

Điều kiện 0 < t 1 Xét hàm số f(t)= +

=45

Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y= ; z=

0,5

IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp với đáy góc Tính để thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất.

1,00

* Tính V=

* Ta có

. .

V khi đó tan =1 = 45

0,5

0,5

Va.1

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ; AB có phơng trình: x- 2y+2= 0; AB= 2AD

Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm 1,00

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH=

Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R= IA đờng tròn (C) có phơng trình là: A(-2; 0);

B(2; 2) Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0)

Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2)

0, 5

0, 5

Va.2

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 )có phơng trình:

d 1 : ; d 2 :

Hãy lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và (d 2 ) 1,00

+ Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh đợc)

0,25

Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phơng có giá song song

hoặc nằm trên mặt phẳng (P) là: và (3;2;1).Vậy (P) có véc tơ pháp tuyến là:

Mặt phẳng (P) qua M 1 (1; -1; 2) Vậy phơng trình (P) là: x+ y- 5z +10 =0

0,25

0, 5

VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:

m( 2x+1) =10x

1,00

Nhận xét : 10x = 2(2x+1)2 +2(x2 +1)

Phơng trình tơng đơng với : (

Đặt Điều kiện : -2< t Rút m ta có: m=

Lập bảng biến thiên của hàm số trên , ta có kết quả của m để phơng trình có

hai nghiệm phân biệt là: hoặc -5 <

0,25

0,75

Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4;

-2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phơng trình

các cạnh của hình vuông trên.

1,00

+ Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là

(a 2 + b 2

0) => véc tơ pháp tuyến của BC là: Phơng trình AB có dạng: a(x-2)

+b(y-1)= 0

ax + by -2a-b =0

BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0

Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)

0,5

Hay

Tr

ờng hợp 1 : b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:

AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0

BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0–

Tr

ờng hợp 2 : b= -a Khi đó

AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0–

AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0–

0,25

0,25

Vb

2

Cho (∆): ; (∆’)

Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆ ) và (∆’) 1,0

0

+ Gọi đờng vuông góc chung của (∆ ) và (∆’) là d

Khi đó

+ Gọi (α) là mặt phẳng chứa (∆ ) và (d) thì (α ) qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp

tuyến:

0,25

Câu Nội dung Điểm

Vậy phơng trình của (α ) là: 2x- y + 10z - 47 =0

+ Gọi (β) là mặt phẳng chứa (∆’) và (d) thì (β) qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp

tuyến:

Vậy phơng trình của (β ) là: x + 3y- 2z + 6 =0

Do đó đờng vuông góc chung của ∆ và ∆’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:

2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0– – –

+Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)

0,25

0,25

0,25

0

* Phơng trình tơng đơng với:

Xét hàm số: f(t)= , hàm số này đồng biến trên R.

* Giải và biện luận phơng trình trên ta có kết quả cần tìm.

+ phơng trình có nghiệm x=

+m=-1 phơng trình nghiệm

Các trờng hợp còn lại phơng trình vô nghiệm

0,5

0,5

Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa