Tailieupro com tóm tắt CÔNG THỨC môn TOÁN cấp 3

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.co

Trang 1

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/

Chương 1

Đại số - Lượng giác - Giải tích

Tam thức bậc hai

f (x) = ax2+ bx + c = 0, (a 6= 0)

có hai nghiệmx1, x2

• Định lí Viete:

S = x1+ x2 = −b

a; P = x1x2= c

a

• ∆ < 0 thì f (x)cùng dấu vớia

• f (x) ≥ 0,∀x ∈ R ⇔

½

∆ ≤ 0

a > 0

• f (x) ≤ 0,∀x ∈ R ⇔

½

∆ ≤ 0

a < 0

• x1< α < x2⇔ a f (α) < 0

• α < x1< x2 ⇔











∆ > 0

a f ( α) > 0 S

2− α > 0

• x1< x2< α ⇔











∆ > 0

a f ( α) > 0 S

2− α < 0

•

·

α < x1< x2

x1< x2< α ⇔

½

∆ > 0

a f ( α) > 0

• x1< α < β < x2 ⇔

½

a f ( α) < 0

a f ( β) < 0

• α < x1< β < x2 ⇔

½ a f (α) > 0

a f ( β) < 0

•

·

x1< α < x2< β

α < x1< β < x2 ⇔ f (α) f (β) < 0

• α < x1< x2< β ⇔







∆ > 0

a f (α) > 0

a f (β) > 0 S

2− α > 0

S

2− β < 0

1.2 Bất đẳng thức

1.2.1 Bất đẳng thức có dấu trị tuyệt đối

• −|a| ≤ a ≤ |a|∀a ∈ R

• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

• |x| > a ⇔ x < −a W x > a

• |a| − |b| < |a + b| < |a| + |b|

• a + b

2 ≥pabdấu bằng xảy ra khia = b

• a + b + c

3 ≥p3abcdấu bằng xảy ra khia = b = c

• ab + cd ≤p(a2+ c2)(b2+ d2)

Dấu “ = ” xảy ra khiad = bc

• a1b1+ a2b2+ c3b3≤

q

¡a2

1+ a22+ a23¢ ¡b2

1+ b22+ b32¢

Dấu “ = ” xảy ra khi a1

b1 =a2

b2 =a3

b3

Trang 2

1.3 Cấp số cộng

• Số hạng thứn:u n = u1+ (n − 1)d

• Tổng của n số hạng đầu tiên:

S n=n

2(u1+ u n) =n

2[2u1+ (n−)d]

• Số hạng thứn:u n = u1.q n−1

• Tổng củansố hạng đầu tiên:S n = u11 − q n

1 − q

trình chứa giá trị tuyệt đối

• |A| = |B| ⇔ A = ±B

• |A| = B ⇔

½

B ≥ 0

A = ±B

• |A| < B ⇔

½

A < B

A > −B

• |A| < |B| ⇔ A2< B2

• |A| > B ⇔

·

A > B

A < −B

trình chứa căn thức:

• p

A =pB ⇔

½

A ≥ 0hoặcB ≥ 0

A = B

• p

A = B ⇔

½

B ≥ 0

A = B2

• p

A <pB ⇔

½

A ≥ 0

A < B

• p

A < B ⇔







A ≥ 0

B > 0

A < B2

• p

A > B ⇔







½

B < 0

A ≥ 0

½

B ≥ 0

A > B2

• (a + b) n=

n

P

k=0

C n k a n−k b k

• (a + b) n = C n0a n +C n1a n−1 b +···+C n n−1 ab n−1 +C n n b n

Newton

• (1 + x) n = C n0+C n1x +C n2x2+ · · · +C n n x n

• (1 − x) n = C n0−C n1x +C n2x2− · · · + (−1)n C n n x n

• (x + 1) n = C n0x n +C n1x n−1 +C n2x n−2 + · · · +C n n

• 2n= (1 + 1)n = C n0+C n1+C n2+ · · · +C n n

• a α .a β = a α+β

• a

α

a β = a α−β

• (a α)β = a αβ

• pβ

a α = a α β

• a

α

b α =³a

b

´α

• a α α = (a.b) α

• a −α= 1

a α

• n

pmp

a k= n.mpa k = a

k n.m

Trang 3

• loga N = M ⇔ N = a M

• loga a M = M

• aloga N = N

• N1loga N2= N2loga N1

• loga (N1N2) = loga N1+ loga N2

• loga

µ

N1

N2

¶

= loga N1− loga N2

• loga N α = αlog a N

• loga α N = 1

αloga N

• loga N = logb N

logb a

• loga b = 1

logb a

trình logarit

• loga f (x) = log a g (x) ⇔







0 < a 6= 1

f (x) > 0hoặcg (x) > 0

f(x)=g(x)

• loga f (x) > log a g (x) ⇔











0 < a 6= 1

f (x) > 0

g (x) > 0

(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0

trình mũ

• a f (x) = a g (x)⇔







½

0 < a 6= 1

f (x) = g (x)

½

a = 1

f (x), g (x)có nghĩa

• a f (x) > a g (x)⇔

½

a > 0

(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0

trình mũ

• a f (x) = a g (x)⇔







½

0 < a 6= 1

f (x) = g (x)

½

a = 1

f (x), g (x)có nghĩa

• a f (x) > a g (x)⇔

½

a > 0

(a − 1) £ f (x) − g (x)¤ > 0

1.13 Công thức lượng giác cơ bản

• sin2x + cos2x = 1

• tan x = sin x

cos x

• cot x = cos x

sin x

• tan x cot x = 1

• 1 + tan2x = 1

cos 2x

• 1 + cot2x = 1

sin2x

1.14 Cung liên kết

• cos(−x) = cos x

• sin(−x) = −sin x

• tan(−x) = −tan x

• cot(−x) = −cot x

• sin(π − x) = sinx

• cos(π − x) = −cosx

• tan(π − x) = −tanx

• cot(π − x) = −tanx

Trang 4

• sin(π

2− x) = cos x

• cos(π

2− x) = sin x

• tan(π

2− x) = cot x

• cot(π

2− x) = tan x

• sin(π + x) = −sinx

• cos(π + x) = −cosx

• tan(π + x) = tanx

• cot(π + x) = cotx

2

• sin

³π

2+ x

´

= cos x

• cos³π

2+ x´= −sin x

• tan³π

2+ x

´

= −cot x

• cot

³π

2+ x

´

= −tan x

• sin(x ± y) = sin x cos y ± sin y cos x

• cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y

• tan x(x ± y) = tan x ± tan y

1 ∓ tan x tan y

• sin 2x = 2sin x cos x

• cos 2x = cos2x − sin2x

= 2cos2x − 1

= 1 − 2sin2x

• tan 2x = 2 tan x

1 − t g2x

• cos2x = 1 + cos2x

2

• sin2x = 1 − cos2x

2

• sin 3x = 3sin x − 4sin3x

• cos 3x = 4cos3x − 3cos x

• tan 3x = 3 tan x − tan

3x

1 − 3tan2x

• cos3x = 3 cos x + cos3x

4

• sin3x = 3 sin x − sin3x

4

Đặtt = tan x

2 thì

• sin x = 2t

1 + t2

• cos x = 1 − t

2

1 + t2

• tan x = 2t

1 − t2

1.19 Công thức biến đổi

• cos x cos y =1

2£cos(x − y) + cos(x + y)¤

• sin x sin y =1

2£cos(x − y) − cos(x + y)¤

• sin x cos y =1

2£sin(x − y) + sin(x + y)¤

Trang 5

• cos x + cos y = 2cos x + y

2 cos

x − y

2

• cos x − cos y = −2sin x + y

2 sin

x − y

2

• sin x + sin y = 2sin x + y

2 cos

x − y

2

• sin x − sin y = 2cos x + y

2 sin

x − y

2

• tan x + tan y = sin(x + y)

cos x cos y

• tan x − tan y = sin(x − y)

cos x cos y

• cot x + cot y = sin(x + y)

sin x sin y

• cot x − cot y = sin(x − y)

sin x sin y

• sin x + cos x =p2 sin(x + π

4 ) =p2 cos

³

x − π

4

´

• sin x − cos x =p2 sin

³

x − π

4

´

= −p2 cos

³

x + π

4

´

• 1 ± sin2x = (sin x ± cos x)2

1.20 Phương trình lượng giác

• sin x = sinu ⇔

·

x = u + k2π

x = π − x + k2π

• cos x = cosu ⇔

·

x = u + k2π

x = −u + k2π

• tan = tanu ⇔ x = u + kπ

• cot = cotu ⇔ x = u + kπ

• sin x = 1 ⇔ x = π

2+ k2π

• sin x = −1 ⇔ x = − π

2+ k2π

• sin x = 0 ⇔ x = kπ

• cos x = 1 ⇔ x = +k2π

• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

• cos x = 0 ⇔ x = π

2+ kπ

giác

• a2= b2+ c2− 2bc cos A

• b2= a2+ c2− 2ac cos B

• c2= a2+ b2− 2ab cosC

• cos A = b

2+ c2− a2 2bc

• cos B = a

2+ c2− b2 2ac

• cosC = a

2+ b2− c2 2ab

a

sin A= b

sin B = c

sinC = 2R

trung tuyến

• m2a=b

2+ c2

2 −a

2

4

• m2b=a

2+ c2

2 −b

2

4

• m2c=a

2+ b2

2 −c

2

4

giác trong

• l a=

2bc cos A

2

b + c

Trang 6

• l b=

2ac cos B

2

a + c

• l c=

2ab cos C

2

a + b

1.21.5 Công thức tính diện tích tam giác

• S =1

2a.h a=1

2b.h b=1

2c.h c

• S =1

2bc sin A =1

2ab sinC =1

2ac sin B

• S = p.r = abc

4R

• S = pp(p − a)(p − b)(p − c)

• (x α)0= α.x α−1

• ( p

x)0= 1

2 p

x

• µ 1

x

¶ 0

= − 1

x2

• (sin x)0= cos x

• (cos x)0= −sin x

• (t g x)0= 1

cos 2x

• (cot g x)0= − 1

sin2x

• (e x)0= e x

• (a x)0= a x ln a

• (ln x)0= 1

x

• (loga x)0= 1

x ln a

• (u α)0= α.u α−1 .u0

• ( p

u)0= u

0

2 p

u

• µ 1

u

¶ 0

= −u

0

u2

• (sin u)0= u0 cos u

• (cos u)0= −u0 sin u

• (t g u)0= u

0

cos 2u

• (cot g u)0= − u

0

sin2u

• (e u)0= u0e u

• (a u)0= u0a u ln a

• (ln u)0=u

0

u

• (loga u)0= u

0

u ln a

•

Z

d x = x +C

•

Z

x α d x = x

α+1

α + 1 +C (α 6= 1)

•

Z d x

x = ln |x| +C

•

Z d x

x2 = −1

x +C

•

Z

e x d x = e x +C

•

Z

a x d x = a

x

ln a +C

•

Z

cos xd x = sin x +C

•

Z

sin xd x = −cos x +C

•

Z d x

cos 2x = tan x +C

Trang 7

•

Z d x

sin2x = −cot x +C

tích vật thể tròn xoay

S =

a

Z

b

¯

¯f (x) − g (x)¯¯d x

1.24.2 Công thức tính thể tích

• Hình phẳng quay quanh trụcOx

V = π

a

Z

b

¯

¯f2(x) − g2(x)¯¯d x

• Hình phẳng quay quanh trụcO y:

V = π

a

Z

b

¯

¯f2(y) − g2(y)¯¯d y

Trang 8

Chương 2

Hình học

2.1 Tọa độ của vectơ, tọa độ điểm

• −→

AB = (x B − x A , y B − y A)

• ĐiểmM chia đoạnAB theo tỉ sốk 6= 1:

−−→

M A

M B = k ⇔ M

(

x M =xA −kx B

1−k

y M =yA 1−k −k y B

• ĐiểmI là trung điểm củaAB:

I

½

x I =x A +x B

2

y I =y A +y B

2

• ĐiểmGlà trọng tâm của tam giácABC:

G





x G=x A + x B + x C

3

y G=y A + y B + y C

3

• Cho tam giácABC có−→AB = (a1; a2), −→

AC = (b1; b2)

⇒ S ∆ABC=12|a1b2− a2b1|

• Phương trình tổng quát:∆ : Ax + B y +C = 0

Vectơ pháp tuyến−→n = (A;B); A2+ B26= 0

• Phương trình tham số: ∆ :

½

x = x0+ at

y = y0+ bt

Vectơ chỉ phương−→u = (a;b), qua điểmM (x0; y0 )

• Phương trình chính tắc: ∆ :x − x0

a =y − y0

b

• Phương trình đoạn chắn: ∆ quaA(a; 0); B (0; b)

∆ : x

a+y

b = 1

2.3 Góc tạo bởi hai đường thẳng:

Góc tạo bởid : Ax + B y +C = 0và∆ : A0x + B0y +C0= 0

làϕxác định bởi

cosϕ =

¯

¯A.A0+ B.B0¯¯ p

A2+ B2.pA02+ B02

Khoảng cách từ một điểm M (x0; y0) đến đường thẳng∆ : ax + bx + c = 0:

d (M ,∆) =

¯

¯Ax0+ B y0+C¯¯ p

A2+ B2

giác

Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d :

Ax + B y +C = 0và∆ : A0x + B0y +C0= 0 là:

AX + B y +C

p

A2+ B2 = ±A

0x + B0y +C0

p

A02+ B02

Xác định phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài

• Khoảng cách đại số

t1=Axp1+ B y1+C

A2+ B2 ; t2=

A0x2+ B0y2+C0

p

A02+ B02

• Hai điểm M (x1; y1) vàM0(x2; y2) nằm cùng phía

so với∆⇔ t1.t2 > 0 : phân giác ngoài.

• Hai điểm M (x1; y1) và M0(x2; y2) nằm khác phía

so với∆⇔ t1.t2 < 0 : phân giác trong.

Trang 9

• Phương trình đường tròn có tâmI (a; b)và bán

kínhR

(C ) : (x − a)2+¡ y − b¢2= R2

• Phương trình có dạng

(C ) : x2+ y2− 2ax − 2by + c = 0

Vớia2+b2−c > 0là phương trình đường tròn(C )

có tâmI (a; b)và bán kínhR =pa2+ b2− c

2.7 Elip

• Phương trình chính tắc Elip

(E ) : x

2

a2 +y

2

b2 = 1

vớia2= b2+ c2

• Tiêu điểm:F1(−c;0),F2(c; 0)

• Đỉnh trục lớn:A1(−a;0),A2(a; 0)

• Đỉnh trục nhỏ:B1(0; −b),B2(0; b)

• Tâm sai:e = c

a < 1

• Phương trình đường chuẩn:x = ± a

e

• Bán kính qua tiêu điểm:

M F1= a + ex M , M F2= a − ex M

• Phương trình tiếp tuyến tạiM0(x0; y0) ∈ (E)

x0x

a2 +y0y

b2 = 1

• Điều kiện tiếp xúc của(E ) : x

2

a2 +y

2

b2 = 1 và

∆ : Ax + B y +C = 0là:A2a2+ B2b2= C2

2.8 Vectơ trong không gian

Trong không gian cho các vectơ−u→1=¡x1, y1, z1¢,−u→2=

¡x2, y2, z2¢

và sốktùy ý

• −u→

1 = −u→2⇔







x1 = x2

y1 = y2

z1 = z2

• −u→

1 ± −u→2=¡x1± x2, y1± y2, z1± z2

¢

• k− u→

1 =¡kx1, k y1, k z1

¢

• Tích có hướng:−u→1.−u→

2= x1.x2+ y1.y2+ z1.z2

− →

u1⊥ −u→2⇔ −u→1.−u→

2= 0 ⇔ x1.x2+ y1.y2+ z1.z2= 0

• ¯¯ −u→

1

¯

¯ =

q

x12+ y21+ z21

• Gọiϕlà góc hợp bởi hai vectơ ¡0 ◦É ϕ É 180◦¢

cosϕ =¯ −u→1.−u→2

¯ −u→

1

¯

¯ ¯¯ −u→

2

¯

= q x1x2+ y1y2+ z1z2

x21+ y12+ z12.

q

x22+ y22+ z22

• −→

AB = ¡x B − x A , y B − y A , z B − z A

¢

AB =

q

(x B − x A)2+¡ y B − y A¢ 2

+ (z B − z A)2

• Tọa độ các điểm đặc biệt:

? Tọa độ trung điểmIcủa AB:

I³x A + x B

2 ,

y A + y B

2 ,

z A + z B

2

´

? Tọa độ trọng tâmG của tam giácABC:

G³x A + x B + x C

3 ,

y A + y B + y C

3 ,

z A + z B + z C

3

´

? Tọa độ trọng tâmG của tứ diệnABC D:

• Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cả hai vectơ xác định bởi

−

→u =£ −u→

1 , −u→

2 ¤ =

µ¯

¯

y1 z1

y2 z2

¯

¯ ,

¯

z1 x1

z2 x2

¯

¯ ,

¯

x1 z1

x2 z2

¯

¶

• Một số tính chất của tích có hướng

? −→a và−→b cùng phương ⇔

h

−

→a ,→−bi

=→−0

A, B,C thẳng hàng ⇔

h −→

AB ,−→

ACi=→−0

Trang 10

? Ba vectơ→−a,→−b,→−c đồng phẳng

h − →a ,→−bi

.− →c = 0

A, B,C , Dkhông đồng phẳng

h −→

AB ,−→

ACi −−→

AD 6=−→0

? ¯¯

h

−

→a ,→−bi¯

¯

¯ =

¯ → −a¯

¯

−

→

b¯¯ sin³→ −a ,−→b´

• Các ứng dụng của tích có hướng

? Diện tích hình bình hành:

S ABC D=

¯

h −→

AB ,−−→

ADi¯¯

¯

? Diện tích tam giác:S ABC =1

2

¯

h −→

AB ,−→

ACi¯¯

¯

? Thể tích khối hộp:

V ABC D.A0B0C0D0 =

¯

h −→

AB ,−−→

ADi −−→

A A0

¯

? Thể tích tứ diện:V ABC D=1

6

¯

h −→

AB ,−→

ACi −−→

AD¯¯

• Phương trình tổng quát (α): ax + by + cz + d = 0

với(a2+ b2+ c26= 0)

• Phương trình mặt phẳng (α)quaM ¡x0, y0, z0¢và

có vectơ pháp tuyến−→n = (a,b,c)

(α) : a (x − x0) + b ¡ y − y0¢ + c (z − z0 ) = 0

• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: (α)

quaA(a, 0, 0); B (0, b, 0);C (0, 0, c)

(α) : x − x0

a +y − y0

b +z − z0

c = 1, vớia, b, c 6= 0

2.9.1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng

Cho (α): a1x +b1y +c1z +d1 = 0 và ¡

β¢: a2x +b2y +c2z +

d2= 0

• (α)cắt ¡

β¢ ⇔ a1: b1: c16= a2: b2: c2

• (α)song song ¡

β¢⇔ a1

a2=b1

b2=c1

c26=d1

d2

• (α)trùng ¡

β¢ ⇔ a1

a2 =b1

b2=c1

c2=d1

d2

• (α)vuông góc ¡

β¢ ⇔ a1a2+ b2b2+ c1c2= 0

Cho đường thẳngdquaM0¡x0, y0, z0¢

và có vectơ chỉ phương là→−u = (a,b,c) Khi đó:

• Phương trình tham số củad

d :







x = x0 + at

y = y0 + bt

z = z0 + ct

• Phương trình chính tắc củad (khiabc 6= 0)

d : x − x0

a =y − y0

b =z − z0

c

thẳng

Đường thẳngd1qua M1 và có vectơ chỉ phương là

− →

u1,d2quaM2và có vectơ chỉ phương là−u→2thì:

• d1 trùngd2⇔£−u→1, −u→

2 ¤ =h−u→1, −−−−→

M1M2i=→−0

• d1 song songd2⇔





£ −u→

1 , −u→

2 ¤ =−→0 h

− →

u1, −−−−→

M1M2i6=→−0

• d1vàd2cắt nhau ⇔





£ −u→

1 , −u→

2 ¤ −−−−→M1M2= 0

£ −u→

1 , −u→

2 ¤ 6=−→0

• d1vàd2chéo nhau ⇔ £ −u→

1 , −u→

2 ¤ −−−−→M1M26= 0

vectơ pháp tuyến là−→n α, mặt phẳng ¡

β¢có vectơ pháp tuyến−n→β, khi đó góc giữa (α) và ¡

β¢ được tính bằng

cos ¡(α),¡β¢¢ = ¯¯cos¡−→ n α, −n→

β¢¯¯ =

¯

¯ −→n

α.−n→

β¯¯

¯

¯ −→n

α¯¯ ¯¯ −n→

β¯¯

thẳngd1vàd2có các vectơ chỉ phương là−u→1và

− →

u2, khi đó góc giữad1vàd2tính bằng

cos (d1, d2) =¯¯ cos ¡ −u→

2 , −u→

2

¢¯

¯ =

¯

¯ −u→

1 −u→

2

¯

¯ −u→

1

¯ ¯−u→

2

¯

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	211,47 KB