Đề cương tự học Toán cao cấp 1

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 Nguyên hàm trong đó dấu  được gọi là dấu tích phân, f x là hàm dưới dấu tích phân, f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến số tích phâ

NGUYỄN QUỐC TIẾN

BÀI GIẢNG TOÁN

CAO CẤP

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011

1

CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN-TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1.1 Giới hạn hàm số

1.1.1 Định nghĩa

Cho hàm số f x( ) xác định trong một lân cận của x (có thể trừ tại 0 x ) Số L được gọi là 0

giới hạn của hàm số f x( ) khi x dần đến x nếu: 0

Cho f x u x v x( ), ( ), ( ) xác định trong một lân cận của x0 có thể trừ tại x0

Nếu u x( ) f x( )v x( ) với mọi x thuộc lân cận đó và

iv) Nếu f x( )g x( )h x( ),x thuộc một lân cận nào đó của x0 hoặc ở vô cực và

  thì ta nói ( )x là VCB bậc cao hơn VCB ( )x trong quá trình đó (( )x

dần tới 0 nhanh hơn ( )x khi xx o)

Nếu lim ( ) 0

( )

x

L x



   thì ta nói ( )x và ( )x là hai VCB ngang cấp trong quá trình đó (( )x

và ( )x dần tới 0 ngang nhau khi xx o

Đặc biệt khi L  ta nói 1 ( )x và ( )x là hai VCB tương đương, kí hiệu là ( )x ( )x

1.2.3 Một số VCB tương đương cơ bản khi x 0

sin xx tgx x arcsin xx arctgxx;

( )( )

x x

Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:

Giả sử ( )x và ( )x là hai VCB trong một quá trình nào đó ( )x và ( )x đều là tổng của

nhiều VCB Khi đó giới hạn của tỉ số ( )

( )

x x



 

 

tgx x x





Khi x 0, ta có:

1

điểm liên tục của hàm f x( )

Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục trên ( , )a b nếu f x( ) liên tục tại mọi điểm thuộc ( , )a b Hàm số y f x( ) được gọi là liên tục bên trái (bên phải) x0D nếu

Hàm f x( ) được gọi là liên tục trên [ , ]a b nếu f x( )liên tục trên ( , )a b và liên tục bên phải tại

a, bên trái tại b

1.3.2 Tính chất của hàm số liên tục

Giả sử f x( ), g x( )là hai hàm liên tục trên [ , ]a b Khi đó:

i) f x( )g x( ) và f x g x( ) ( ) liên tục trên [ , ]a b , nếu g x ( ) 0 thì ( )

( )

f x

g x liên tục trên [ , ]a b

ii) f x liên tục trên ( ) [ , ]a b

iii) Nếu u x( )liên tục tại x0 và f u( ) liên tục tại u0 u x( )0 thì hàm f u x0 ( ) liên tục tại x0

iv) f x( ) liên tục trên [ , ]a b thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn đó

1.3.3 Điểm gián đoạn

Nếu f x( ) không liên tục tại x0D thì ta nóif x( ) gián đoạn tại x0 và điểm x0 gọi là điểm gián đoạn

Hàm f x( ) gián đoạn tai x nhưng tồn tại giới hạn của f(x) tại 0 x0, x0 thì x được gọi là điểm 0

gián đoạn loại 1 Các điểm gián đoạn khác gọi là điểm gián đoạn loại 2



 d) e x2 x 1 c)

12

lim

1

n

n n n n

1lim

1lim

1

x

x x





e)

1lim

1

x

x x

x

x x

Câu 5 Tính giới hạn của các hàm số sau:

y a

x x x y

2 CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

2.1 Đạo hàm

2.1.1 Đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x( ) xác định tại x và tại lân cận 0 x Khi đó nếu tỉ số 0 0

có giới hạn khi xx0 thì ta nói f x( ) khả vi tại x hay 0 f x( )có đạo hàm tại x và giới 0

hạn đó được gọi là đạo hàm của f x( ) tại x Ký hiệu là 0 f'(x hay 0) y x'( 0).Vậy

0 0 0

( ) ( )'( ) lim f x f x

0 0 0

2.1.2 Bảng các đạo hàm cơ bản

 

' 1

2 2

Xét hàm hợp y y u x ( ) nếu hàm y y u( ) có đạo hàm đối với u và uu x( ) có đạo

hàm đối với x thì yy u x ( )có đạo hàm đối với x và y x'( )y u u x'( ) '( )

Cho hàm số y f x( ) xác định trên ( , )a b và x( , )a b , nếu hàm số y f x( ) khả vi

tại điểm x thì số gia của hàm số tại x có thể viết được dưới dạng

f x f x x f x f x x o x

với o(x) là VCB cấp cao hơn x khi   x 0

Biểu thức f x'( ).x được gọi là vi phân của f x( ) tại x Ký hiệu: df x( ) hoặc dy x( ) tức

là

df x  f x x

Xét hàm y f x( )x ta có f x '( ) 1nên df x( )dx   1 x x từ đó ta có

df  f  t dt f x x t dt f x dx Vậy dạng vi phân của hàm y f x( ) không

thay đổi dù x là biến độc lập hay là x là hàm khả vi theo biến t Tính chất này

gọi là tính bất biến của dạng vi phân

2.2 Ứng dụng đạo hàm

2.2.1 Định lí ( Quy tắc L’Hospital)

i) Cho f x( ),g x ( ) 0 là hai hàm liên tục và khả vi tại lân cận x0 (x0 hữu hạn hoặc

) Giả sử lim ( ) lim ( ) 0

x e

Ví dụ Tính

2 1

1 coslim

Ví dụ Tính

3 0

2.2.2 Sự biến thiên của hàm số

Cho hàm số y f x( ) liên tục trên [ , ]a b và có đạo hàm hữu hạn trên ( , )a b , khi đó ta có các kết quả sau :

Nếu f x( ) luôn tăng (giảm) trên [ , ]a b thì f x'( )0, x ( , )a b ( f x'( )0, x ( , )a b ) Nếu f x'( )0, x ( , )a b (f x'( )0, x ( , )a b ) thì trên [ , ]a b hàm f x( ) đơn điệu tăng (giảm)

Việc chứng minh hai kết quả trên dựa vào định nghĩa hàm số tăng (giảm), định nghĩa đạo hàm và định lí Lagrange Sinh viên tự chứng minh như bài tập

Từ hai kết quả trên ta có nhận xét : Nếu hàm f x( ) có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên [ , ]a b

thì ( )f x là hàm hằng trên [ , ] a b

2.2.3 Định lí

Giả sử f x( ) liên tục trên một lân cận của x0 có đạo hàm trong lân cận đó (có thể trừ x0)

và x0 là điểm tới hạn của f x( ) Khi đó :

i) Nếu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f x( ) đạt cực tiểu tại x0

ii) Nếu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f x( ) đạt cực đại tại x0

iii) Nếu f x'( ) không đổi dấu khi x đi qua x0 thì f x( ) không đạt cực trị tại x0

3

x y

Cho hàm số y f x( ) liên tục trên [ , ]a b và khả vi liên tục đến cấp hai trên ( , )a b , khi đó:

i) Nếu tại x0( , ),a b f'(x0) và 0 f ''(x0) thì 0 f x( ) đạt cực đại tại x 0

ii) Nếu tại x0( , ),a b f '(x0) và 0 f''(x0)0 thì f x( ) đạt cực tiểu tại x0

Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

3 24

x y x

3 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 và ymin 3

Giao điểm của đồ thi với trục hoành (34, 0)

Câu 3 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a)

0

2lim

sin

x

x x

0

limsin

3 CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 Nguyên hàm

trong đó dấu  được gọi là dấu tích phân, f x( ) là hàm dưới dấu tích phân, f x dx( ) là biểu

thức dưới dấu tích phân và x là biến số tích phân

Việc chứng minh các tính chất trên xem như bài tập

3.1.3 Tích phân bất định của một số hàm số cơ bản

kdxkx C



1, ( 1)1

4 0

4

0

2ln(cos ) ln( ) ln(1) ln 2

3.3 Hai phương pháp tính tích phân cơ bản

3.3.1 Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến trong tích phân bất định có thể chia làm hai dạng

Dạng 1: Đặt x( )t , trong đó ( )t là hàm khả vi và đơn điệu đối với biến t Ta có:

3 2

Đặt x( )t với ( )t có đạo hàm liên tục trên [ , ]  và [ ( )a, ( )b khi t biến thiên

trong [ , ]  thì x biến thiên trong [ , ] a b Khi đó b ( ) ( ( )) '( )

u b b

cossin

x x

công thức này gọi là công thức tích phân từng phần, thay vì tính tích phân biểu thức udv ta

đi tính tích phân biểu thức vdu có thể đơn giản hơn

Để tính  f x dx( ) bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích

( ) ( ) ( )

f x g x h x sau đó đặt

( )( )

x x

Áp dụng vào tích phân xác định ta tiến hành như sau:

Nếu u x v x( ), ( ) là hai hàm khả vi liên tục trên [ , ]a b Khi đó

b a

e e

 hội tụ, nếu giới hạn vô hạn hoặc không tồn tại

ta bảo tích phân phân kì

dx x

 phân kỳ Nếu  1

f x dx

 và được kí hiệu:

3.5 Các tiêu chuẩn hội tụ

Thông thường chỉ để biết một tích phân suy rộng có hội tụ hay không, người ta không nhất thiết phải tính ra tích phân đó Thay vào đó ta sử dụng các kết quả sau đây để kết luận tính chất hội tụ Các kết quả ta gọi chung là các tiêu chuẩn hội tụ

3.5.1 Định lí (Tiêu chuẩn hội tụ thứ nhất)

Cho ( ), ( )f x g x là hai hàm không âm trên [ , a  , khả tích trên mọi khoảng [ , ]) a b và

3.5.2 Định lí (Tiêu chuẩn so sánh thứ hai)

Cho f x g x( ), ( ) là hai hàm không âm trên [ ,a ), khả tích trên mọi khoảng [ , ]a b Khi đó

g x x

1

dx x

x dx x

x dx x

x dx x

phẳng để việc tính diện tích đơn giản hơn

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đườn yx2,

là :

2 2

Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ là x thiết diện nhận

được là một elip có phương trình

BÀI TẬP CHƯƠNG III

Câu 1 Tính các tích phân sau:

e

1

2 0

cos(arctan )1

31



1cos

4 CHƯƠNG 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 Hàm nhiều biến

Tập hợp các cặp ( , )x y mà ứng với chúng có thể xác định được giá trị của z được gọi là miền

xác định của hàm hai biến z f x y( , ), ký hiệu là D f( )

Ví dụ

1) Miền xác định của hàm

2 2

11

2) Miền xác định của hàm zsin(xy) là R 2

4.1.2 Giới hạn của hàm hai biến

Số L được gọi là giới hạn của hàm z f x y( , ) khi điểm M x y( , ) tiến đến điểm

M Ta nói rằng L là giới hạn của f x y( , ) khi điểm M x y( , ) dần tới điểm M x y0( ,0 0) nếu với mọi dãy M n(x y n, n)thuộc D dần tới M0 ta đều có lim ( n, n)

2

x y

x L

lim

x y

x L

4.1.3 Tính liên tục của hàm hai biến

Giả sử M x y0( ,0 0)D f( ) Hàm z f x y( , ) được gọi là hàm liên tục tại điểm M0 nếu

0

0

0 0lim ( , ) ( , )

Hàm số liên tục tại mọi điểm của một miền nào đó gọi là hàm liên tục trong miền đó Điểm

mà tại đó hàm số không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số

Ví dụ Hàm số f x y( , )x2y2 liên tục tại mọi điểm của R 2

Cho hàm z f x y( , ) Nếu xem y là một hằng số (tham số) thì f trở thành hàm của một biến

số x Ta gọi đạo hàm riêng của z theo biến x là giới hạn





x ln xy







4.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao

Cho hàm số z f x y( , ) Các đạo hàm ' '

,

f f là những đạo hàm riêng cấp một Các đạo

hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một gọi là các đạo hàm riêng cấp hai Ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai như sau:

2

2 ''

Vi phân cấp hai của hàm z f x y( , ) là vi phân toàn phần của df x y( , )tức là d df( )và được

kí hiệu là d z2 hay d f2 Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta được công thức:

4.4 Cực trị hàm hai biến

4.4.1 Điểm cực đại-điểm cực tiểu

0( ,0 0)

M x y được gọi là điểm cực đại của z f x y( , ) nếu tại mọi điểm M x y( , ) trong lân

cận của M0 ta đều có f x y( ,0 0) f x y( , ) Trong trường hợp này ta cũng nói là hàm

f x y  f x y thì M0( ,x y0 0) được gọi là điểm cực tiểu của z f x y( , )

Điểm cực đại và cực tiểu khi chưa cần phân biệt được gọi chung là cực trị

Ví dụ

Hàm zx2(y1)22 có z(0,1)2 và z x y( , )2z(0,1), ( , ) x y Vậy (0,1) là điểm cực tiểu của hàm z Giá trị cực tiểu thu được là 2 Điểm (2,3)chẳng phải là điểm cực trị của

hàm z vì trong lân cận của nó có các điểm khác mà giá trị tại chúng có thể lớn hơn, có thể nhỏ hơn giá trị của z tại (2,3).?

4.4.2 Cách tìm cực trị hàm hai biến

Người ta chứng minh được rằng nếu hàm z f x y( , ) đạt cực trị tại M0( ,x y0 0) thì tại đó hoặc

không tồn tại hai đạo hàm riêng hoặc các đạo hàm riêng f , f

xy z

1lim ( ) sin

x y

a a A

Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu : AM n( )R

Đường thẳng đi qua các phần tử a11,a22,a33, ,a nn được gọi là đường chéo chính của ma trận

A Đường thẳng đi qua các phần tử a1n,a2(n1),a3(n2), ,a n1 được gọi là đường chéo phụ của

j j

kj

b b B

5.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Các phép biến đổi biến ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu :

Ma trận bậc thang là ma trận có các đặc điểm sau:

1) Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới

2) Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0

Ta có thể dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa một ma trận bất kỳ về dạng bậc thang

Ví dụ Hãy đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng và bậc thang dòng

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang:

Dựa vào định nghĩa của định thức ta suy ra được các tính chất sau:

1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi , tức là detAdetA t

2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là:

A  A khi đó det( ')A det( )A

4) Ta có thể đưa thừa số chung c  ra ngoài định thức, tức là: 0

'

i i

d cd

A A khi đó det( ')A cdet( )A

5) Cho ,A BM n( )R khi đó detABdetAdetB

Nhận xét

1) Dựa vào các tính chất trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định thức

 Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0

3) Cho A a ij n là ma trận vuông cấp n Khi đó rank A( )ndetA0

5) Nếu A khả nghịch thì detA1detA1

6) Cho AM n( )R Khi đó A khả nghịch nếu và chỉ nếu detA  0

5.3.3 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

Người ta chứng minh được kết quả sau: Cho AM n( )R là ma trận khả nghịch Khi đó những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành In thì chúng cũng biến In (theo thứ tự đó) thành A1

Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau:

Để tìm ma trận A1 với

Nếu detA  thì A không khả nghịch 0

Nếu detA 0 thì A khả nghịch, chuyển sang bước 2

05

6 CHƯƠNG 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

n

x x X

    gọi là ma trận bổ sung (mở rộng) của hệ (3.1)

Với cách đặt như trên hệ (3.1) được viết lại : AX B

Khi B=0 hệ (3.1) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Ngược lại ta gọi là hệ không thuần nhất

6.1.2 Nghiệm của hệ phương trình

Nghiệm của hệ (3.1) là bộ số

1 2

n

c c C

 sao cho ACB Quá trình đi tìm tập nghiệm của hệ

phương trình tuyến tính gọi là giải hệ phương trình tuyến tính

Hai hệ phương trình tuyến tính có cùng số ẩn (số phương trình có thể khác nhau) gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau:

612

x x x

6.1.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

6.1.4 Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính (3.1) được gọi là hệ Cramer nếu mn và detA  0

Đặt Ddet( )A và D j (j1, )n là định thức có được bằng cách thay cột j của D bởi cột tự do

Khi đó hệ phương trình Cramer có nghiệm duy nhất xác định theo công thức:

ii) ( ) r A r A B( )  n : hệ (3.1) có vô số nghiệm phụ thuộc (n r ) tham số

iii) ( ) r A r A B( ) : hệ (3.1) vô nghiệm

6.1.6 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

Để giải hệ (3.1) ta thực hiện các bước:

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận (A B về ma trận ) (A B' '), trong đó '

A là ma trận bậc thang (rút gọn) Dựa vào Định lý Kronecker – Capelli để kết luận

Câu 3 Trong một ngày, khẩu phần ăn của mỗi người cần có 80g Protit, 50g Lipit, 450g

Gluxit Hàm lượng các chất trên có trong 1g thức ăn A và B như sau:

Thức ăn Chất dinh dưỡng

MỤC LỤC

1

1 CHƯƠNG 1 GIỚI HẠN-TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1

1.1 Giới hạn hàm số 1

1.2 Vô cùng bé 2

1.3 Hàm số liên tục 4

2 CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 7

2.1 Đạo hàm 7

2.2 Ứng dụng đạo hàm 11

3 CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 16

3.1 Nguyên hàm 16

3.2 Tích phân xác định 17

3.3 Hai phương pháp tính tích phân cơ bản 18

3.4 Tích phân suy rộng 22

3.5 Các tiêu chuẩn hội tụ 24

3.6 Ứng dụng tích phân 26

4 CHƯƠNG 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 30

4.1 Hàm nhiều biến 30

4.2 Đạo hàm riêng 31

4.3 Vi phân toàn phần 32

4.4 Cực trị hàm hai biến 34

5 CHƯƠNG 5 MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 37

5.1 Ma trận 37

5.2 Định thức 43

5.3 Ma trận nghịch đảo 44

6 CHƯƠNG 6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 48

6.1 Hệ phương trình tuyến tính 48

6.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 49