ĐÂY LÀ HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP PHẦN GIỚI HẠN . ĐỀ THI QUA CÁC NĂM ĐÁP ÁN CHI TIẾT, ĐẦY ĐỦ ĐƯỢC CHỌN LỌC . ĐÂY LÀ TÀI LIỆU MÌNH SƯU TẦM RẤT HAY VA CẦN THIẾT CHO CÁC BẠN CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QUỐC GIA. CHÚC CÁC BẠN ĐẠT KẾT QUẢ TỐT TRONG KÌ THI .
Trang 1* Một số giới hạn cơ bản
0
lim 1 x
0
1 lim 1 x
e
0
ln(1 )
x
x x
0
1
x x
e x
0
in x
x
S x
0
s in x
x
x
0
1 lim ln
x
x x
a
a
Chú í
0
a
, a 0
(a 0)
0 0
0 0
0 - 1 0 0
Đối với dạng giới hạn 0
0
Phần Lớn các e dùng kĩ thuật Loppitan Đạo hàm của tử/đạo hàm của mẫu, lốp đến khi nào không lốp nữa được thì thôi ,và sau đó thay cận vào,tùy từng bài có thể
phải loppitan 2 lần hoặc 3 lần
Trang 2THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le
VÍ DỤ Tính A= 3
0
s inx lim
x
x x
các e thay cận 0 vào nhận thấy tử tiến về o ,
mẫu số tiến về o, đây là dạng 0/0,
s inx ( s inx) 1 osx (1 osx) 1 inx
Dạng giới hạn
Ví DỤ A=
0
ln lim 1
x
x x
=
0
lim
2
x lim x
1 x 1
= 0
BÀI TOÁN NÀY SỬ DỤNG CẢ CÔNG THỨC PHÍA TRÊN
0
in x
x
S x
<ĐƯỢC PHÉP DÙNG LUÔN NHÉ >CHÚNG TA ĐÃ DÙNG KI THUẬT LOPPITAN 2 LẦN
Dạng
1 ta có thể áp dụng công thức sau: A= lim [ u(x) v(x) ]= e lim [ u(x) 1].v(x)
với ( ) 1
( )
u x
v x
trong một quá trình nào đó
Ví dụ Tính A=
1 1 1
lim x
x x
Các e thay cận 1 nhận thấy cơ số là hàm u(x) tiến về 1 còn số mũ hàm v(x) tiến đến vì 1/0 tiến về vô cùng <lưu í 1 số khác 0 chia cho 0 sẽ tiến về vô cùng>
Vậy A=
1
1
1 lim 1
1 lim 1 1 e
x
x
x x
chú í lim của hằm số là bằng chính nó nhé các em
0
xlim x x x x
e x
ln 1 1 lim
1
x x
x
ln lim
0
Mà
x
1x
ln lim x ln x lim
0 x 0
Trang 3
=
0
lim
2
x lim x
1 x 1
= 0
Do đó
0
xlim 1xln x = e0 = 1
Đối với dạng0 0 0 xét A= lim [ u(x)] v(x)
Các em thay cận vào đánh giá được hàm u(x) tiền về o , hàm số v(x) tiến về o gọi là dạng 00
Các e đánh giá được hàm u(x) tiền về hàm số v(x) tiến về o gọi là dạng 0
Cách giải A=
limv(x).ln(u(x))
e
SAU ĐÓ ĐẶT
B lim v(x).ln (u(x))
VÀ TÍNH B , tính B các e đưa về dạng quen
thuộc 0/0 hoặc
lim ln(sinx ).x
0
x
'
'
L
B
TA CÓ B CHÍNH LÀ DẠNG
TA DÙNG LOPPITAN NHÉ CÁC EM
cosx.(-x ) cosx.(-2 ) x s inx
x B
đương , các e chỉ cần lốp 1 lần vậy A= 0
1
e , bài này chúng ta lốp 2 lần để tính B
0 - Các e tìm cách nhân liên hợp như ngày xưa học lớp 9 , hoặc tìm cách gì đó Vò đầu dứt
tai đưa về dạng 0
0
Trang 4THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le
Ví dụ Tính A= 3 3 2
, tưởng tượng Đơn giản thế này nhé, , x , nghĩa là x
là 1 số cực kì lớn , đời chúng ta làm quần quật mở ước làm tỉ phú, chọn x=10 tỷ đô <haha giàu nhất
việt nam rồi> 10 ty do 310 ty do 21nghinsố tiền càng lớn, vậy 3 x3 x2 1 sẽ là
3
1 tien lon so vẫn sẽ là 1 số tiền lớn, vậy 3 x3 x2 1 +, dẤu – trong bài tính giới hạn giữ
nguyên, x ngẫu nhiên ctiến về x rồi vậy đây là dạng - hiểu chưa nào
Bắt đầu xử thôi sử dụng
3 3
a b
a ab b
2
1 lim
x
x
chia cả tử và mẫu số cho x2 thu Được kết quả 1/3
Dạng : Tính
A=
0 x
lim
1 1
1
x
x e
=
0 x
lim
1 ( 1)
x x
x e
0
0 = 0 x
lim
1 1
x
e
0 0
=
0 x
lim
x
e
e e xe = 2
1
0
x
x
ln
x
lim
0
x =
0
xlim x 1
x ln
=
0
xlim
2 x 1 x 1
=
0
xlim x = 0
Trang 5Vô cùng bé (VCB)
Định nghĩa: Hàm (x) gọi là vô cùng bé (VCB) trong một quá trình nào đó nếu lim (x) = 0
Chú í 1 VCB 1 hàm bị chặn sẽ cho kết quả giới hạn =0
Ví dụ: Tính A=
0 x
lim
x.sin
x 1
Khi x 0 ta có
x là VCB 1
x.sinx
1
là VCB
0
x
lim
x.sin
x
1
= 0 tương tự các e xử 1
0
1 sin lim
1
x x
x A
e
chú í xo nghĩa là x>0
So sánh các VCB
Cho (x) và (x) là hai VCB trong cùng một quá trình và trong quá trình đó:
Nếu lim
) x (
) x (
= 0 thì (x) gọi là VCB bậc cao hơn (x)
Nếu lim
) x (
) x (
= k 0 thì (x) và (x) là hai VCB cùng cấp
Trong trường hợp k = 1 thì (x) và (x) là hai VCB tương đương, ký hiệu (x) (x)
VCB tương đương
(i) Các VCB tương đượng cơ bản:
Theo định nghĩa VCB tương đương và các công thức giới hạn cơ bản của các hàm số sơ cấp ở
phần trước, các VCB sau đây tương đương với nhau khi x 0:
sinx x ; tanx x ; arc sinx x ; arc tanx x
1 cos ax
2
) ax ( 2 ; ln (1 + x) x ; ex 1 x
Trang 6THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le
Ví dụ: So sánh bậc của các VCB khi x 0:
(x) = sinx – tanx và (x) = 1 – cosx
Ta có:
0
lim
x (x)
) x (
= 0
lim
x
sin tan
1 cos
x
= xlim0
1 sin 1
cos
1 cos
x
x x
=
0 x
lim
x sin = 0
Suy ra (x) = sinx tanx là VCB bậc cao hơn (x) = 1 cosx khi
x 0
2
s inx
( ) ( ) osx
Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định
0
0
:
Cho (x) và (x) là hai VCB trong cùng một quá trình và trong quá trình đó:
(x) (x) và (x) (x) thì
) x (
) x ( lim )
x (
) x ( lim
Thật vậy:
) x (
) x ( lim 1 ) x (
) x ( lim 1 ) x (
) x ( ) x (
) x ( ) x (
) x ( lim )
x (
) x ( lim
0
1 cos ln 1
A lim
sin
x
Trang 7Khi 2
1 cos ; ln 1
sin
x
x
2
x x
A
KĨ THUẬT NÀY SV HAY NHẦM LẪN CÁC EM PHẢI CHÚ Í NHÉ
b Vô cùng lớn (VCL)
Định nghĩa: Hàm A(x) gọi là một VCL trong một quá trình nào đó nếu trong quá trình đó
lim A(x) = +
Liên hệ giữa VCL và VCB
Định lý:
Nếu trong một quá trình nào đó (x) là một VCB và (x) 0 thì
) x (
1 ) x ( A
là một VCL trong quá trình đó
Ngược lại: A(x) là một VCL thì
) x ( A
1 ) x (
là một VCB
So sánh các VCL
Cho A(x) và B(x) là hai VCL trong cùng một quá trình và trong quá trình đó:
Nếu lim
) x ( B
) x ( A = 0 thì B(x) là VCL bậc cao hơn A(x)
Nếu lim
) x ( B
) x ( A = k 0 thì A(x), B(x) là hai VCL cùng bậc
Trong trường hợp k = 1 thì A(x) và B(x) là hai VCL tương đương Ký hiệu A(x) B(x)
VCL tương đương
Tương tự như VCB tương đương, ta có:
Nếu A(x) và VCL bậc cao hơn B(x) thì A(x) + B(x) A(x)
Nếu A(x) A x và B(x) ( ) ( ) B x thì: lim
) x ( B
) x ( A = lim ( )
( )
A x
B x
Trang 8THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le
Các VCL tương đương khi x +
ax là VCL bậc cao hơn xn (a > 1), nghĩa là
x
x x
a lim
x là VCL bậc cao hơn lnpx ( |R, > 0, p |R), nghĩa là
x lim p x
Đa thức Pn(x)= 1
a x a x a xa anxn
Ví dụ: Tính
2 lim
x x A
Giải
Giới hạn có dạng vô định
và khi x + 2
1
2
A
BÀI TẬP TỰ LUYEN
Bài 1 Tính các giới hạn sau
a A=
3 lim
2x
x
x
b A=
0
lim ln
x
x x
Gợi í sử dụng lopbitan A=0 gợi í dạng o. đưa về dạng 0
0
Trang 90
2017 2018
lim
2018 2019
x
d A=
2 lim
x
x x
x e
x e
Gợi í chia cả tử và mẫu số cho
x
x e , sau đó đánh giá
Sử dụng công thức
0
1 lim ln
x x
a
a x
Đáp số A=0
Đáp sốA=
2017
ln
2018
2018
ln
2019
Bài 2 Tính các giới hạn sau
0
lim inx tagx
b A= 2
2
4
lim 2 tag x
x
Sin x
Gợi í dạng 1
1 sin 0
1 lim( )
1 s inx
x x
tagx
0
lim x 3 x
Dạng Gợi í dạng 1 ĐS e dạng 1 Đáp số A=4
Bài 3 Tính các giới hạn sau
Trang 10THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le
sin 0
ln(1 ) lim
1 ar
x x
x
Gợi í thay thế vô cùng bé tương đương cho mẫu số sau đó dùng loppitan A=-1/2
0
ar s inx
lim
.ln(1 2 )
x
ctagx
Thay thế vô cùng bé tương đương cho mẫu kết quả A=-1/12
0
lim
1 osx
Các em quy đồng thay thế vô cùng bé tương đương cho mẫu số và sau
đó loppitan kết quả 1/6
d A= 2
0
lim
.s inx
x x x
quy đồng thay thế vô cùng bé tương đương cho mẫu số kết quả -1/6
e A=
0
lim
.ln 1 2
x
x tagx
dùng vô cùng bé tương đương cho mẫu số sau đó loppitan kết quả 1/6
g A= 2
0
s inx lim
.ln(1 3 )
x
x
dùng vô cùng bé tuơng đương cho mẫu số sau đó loppitan -1/18
h A=
3 0
1 2 lim
ln(1 )
x x
x
Thêm bớt 1 vào tử số tách thành 2 giới hạn kết quả -1
I A=
2 0
1 lim
ln(1 )
x x
x
tương tự câu h kết quả 3/2
Bài 4 Tính các giới hạn sau
Trang 11a A=
2 4
1
2 2 cos sin lim
x
x
x x ctagx
gợi í ngắt bỏ số hạng ở tử số và mẫu số kết quả A=2
b A=
1
lim
3 -ar
x
x x Sin x c
x
x x ctag x
tương tự câu a đáp số 1/
3 3
c A=lim 1
1 ln(1 )
x
x x x
x
Gợi í đặt 1/x=t sau đó quy đồng dùng loppitan
d
2
0
2.ln(cosx) x lim
.sin( )
x
A
đáp số -1/6
Bài 5 T ính các giới hạn sau
a A=
2
2 0
s inx lim
.sin
x x
x e
b A=
2
0
lim (c osx-1)
x x
x e tan x
0
2.arcsin sin 2 lim
x
x
d A= 2
0
s inx 1 2 lim
.ln(1 2 )
x x x
0
cosx 2 lim
.ln(1 2 )
x x x
i A= 0 14
ln(1 ) lim
x
x
h
3
( 1 osx).arctan
lim
x
x
l A=
3
( 1 osx).arcsin
1 lim
x
x
x c
x x
i A=lim 2ar .ln
v A=
3 2 0
cosx cos lim
sin
x
x x
Trang 12THẦY LÊ DŨNG TRÍ FB Tri Tri Le
Bài 6 Tính các giới hạn
a
2
2
2
1
lim
2 3
x
x
2
4 2 2
2 lim
2
x
x
c lim
x arctgx
2
lim
1
x
x
e
0
arcsin(2 x)
lim
ln 1
x x f 2
lim 2 1 4 4 3
g
2
0
tan
lim
arcsin sin 2
2
x
x x
x
h 2
4
2 lim
5 4
x
x
`
2
1
lim
1 2 x
x
n
2 3 1 lim
2
x x
x x
2
1
2
arcsin 2 1
lim
4 1
x
x x
p 0 2 3
sin tan lim
4
x
q 1
2 3 lim
1
x
x x
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT