BO DE THI HSG HUYEN THANH CHUONG 20082016

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = BM.. Chứng minh: các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy tạ

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2008-2009

Môn thi: Toán 9

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)



 Tìm giá trị nhỏ nhất của Q

Câu 4

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN

= BM Chứng minh: các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD đồng quy tại một điểm

Câu 5

Cho tam giác ABC có · 0

ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trước) Hình chữ nhậtMNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nộitiếp trong tam giác ABC Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớnnhất Tính diện tích lớn nhất đó

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009

MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 120 phút)

m+1 m-3 B

2.0 b

y = (m – 3)x + (m + 1)

Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có:

y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m

N

C D

AMB CMH (đối đỉnh), kết hợp với (1)

 CHM ABM 900hay ACH 900

(tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD)

Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy tại H

0.2

0.5

0.50.3

0.20.20.3

0.30.250.50.250.5

2.5

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008-2009

MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:

0

60

x

2 4 4 x2  4 x416 4x 1 x2y2 2y 3 5  y

3 x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên)

Bài 2: (2.5 điểm)

1 Tìm số tự nhiên n để n 18 và n  41 là hai số chính phương

2 Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6  4

Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng nhưtrên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó

Bài 3: (3,25 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B

Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP vớiđường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm)

1 Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB

2 Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông

3 Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố địnhkhi M di động trên đường thẳng d

Bài 4: (1,5 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP Trên trụchoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0) Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C.Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c

Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM

HỌC 2008-2009 MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút)

x x

x x

Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)

0.5đ0,5

1.3

(0,75đ)

Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0

 x2 – 2y – 5 = 0  x2 = 2y2 + 5  x lẻĐặt x = 2k + 1 ; ( kZ ) 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5 2y2 = 4k2 + 4k – 4

 y2 = 2(k2 + k – 1)  y chẵnĐặt y = 2n; (n Z)  4n2 = 2(k2 + k – 1)  2n2 + 1 = k(k + 1) (*)Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k

và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) (*) vô nghiệm pt đã cho vô nghiệm

0,250,250,25

0,5 0,5

2.2

( 1,0đ) Gọi số cần tìm là : ab10a b (a, b là số nguyên và a khác 0)

Theo giả thiết: 10a b a   b là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương,

0, 5

H O

(1,25) Để MNOP là hình vuông thì đường chéo OM ON 2R 2

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OADC, dựng đường tròn tâm O đi qua điểm D,cắt (d) tại M

Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta có MN  MO2 ON2  , nênR

Tam giác ONM vuông cân tại N Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P Do

đó MNOP là hình vuông

Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì OM R 2R

0,250,25

0,500,25

3.3

(1,0) + Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên M, N, O, P cùng nằm trên đườngtròn đường kính OM Tâm là trung điểm H của OM Suy ra tam giác ba điểm M, N,

P thuộc đường tròn đường kính OM, tâm là H

+ Kẻ OEAB, thì E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ HL( )d thì HL // OE,nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra: 1

4

x c

b a

1

C

B A

O K P

a + 20b 19b + ab(a + b) 20b - ab(a + b) 19b - ab(20b - ab - a ) 19b - a b(20b - 5ab + 4ab - a ) 19b - ab[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b - a

b(4b - a)(a + 5b) 19b - a (4b - a)(ab + 5b ) 19b - a19b - a

Từ đó ta có BĐT cần chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c 0,25

Các cách giải khác nhưng đúng yêu cầu đề ra vẫn cho điểm tối đa, phần hình học phải có hình vẽ

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I

NĂM HỌC: 2010 - 2011

Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1

Câu 2 Cho hàm số: y x  2m1; với m tham số.

Câu 4

nhau M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O) K và H lần lượt là hình chiếu của M trên

Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A2m 1;0

Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B0; 2 m1

Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:

A B

m m

    (Vì a2b2  ) Hay 6 3(a26) ( a b ) 2

0,250,25

0,25

H K

D

C

A O

Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I

NĂM HỌC: 2011 - 2012

Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 Tính giá trị các biểu thức:

Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh



 Tính độ dài đoạn MN.

Câu 5

Tam giác ABC có đường cao CH, phân giác AD, trung tuyến BM gặp nhau tại điểm

O Kẻ MN vuông góc với HC tại N Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại A, đường thẳng đó cắt BC tại P Chứng minh:

Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề)

c

+ Nếu: (p n ) chẵn thì (p n ) chẵn  Vế trái của (1) chia hết cho 4

Mà Vế phải của (1): 2014 không chia hết cho 4 (*)

+ Nếu (p n ) lẻ thì (p n ) lẻ  Vế trái của (1) không chia hết cho 2

Mà vế phải của (1): 2014 chia hết cho 2 (**)

Từ (*) và (**) suy ra không tồn tại số nguyên n nào thỏa mãn

B

A

C

HS lập luận MN là đường trung bình và chỉ ra: sin2 cos2 = 1 để tính được

2 55

MN 

0,5

2,5 5

0,25

0, 5

Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG II

NĂM HỌC: 2011 - 2012

Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

D

H

M A

B

C

d Rút gọn P.

Câu 2 Giải phương trình:

c Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.

Câu 5

Cho ABCD là hình bình hành Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành,

ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.

Hết./.

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN V2

NĂM HỌC: 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN 9. Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề)

2,25

b x 3 2 2 x 2 2 2 1   ( 2 1) 2  2 1 0.25

( 1) 2 1 1 2 2

x P

42

0.5

4

P N' M'

Q M

H

K

F

B A

E N

0.25

3.0

a

Học sinh c/m: ABF = ADK (g.c.g) suy ra AF = AK

Trong tam giác vuông: KAE có AD là đường cao nên:

c Giả sử đã dựng được điểm N thỏa mãn NP + NQ = MN

Lấy N’ đối xứng N; M’ đối xứng M qua AD suy ra tam giác NN’M cân tại N  MN’ là

phân giác của DMM'  Cách dựng điểm N:

- Dựng M’ đối xứng M qua AD

- Dựng phân giác DMM cắt DM’ tại N’'

- Dựng điểm N đối xứng N’ qua AD

Chú ý: Học sinh có thể không trình bày phân tích mà trình bày được cách dựng vẫn cho

điểm tối đa

0.250.250.25

5

0.25

1.0

Gọi O giao điểm 2 đường chéo hình bình hành, kẻ OP vuông góc d tại P

HS lập luận được BH + CI + DK = 4OP

Mà OP AO nên BH + CI + DK  4AO Vậy Max(BH + CI + DK) = 4AO

Đạt được khi P  A hay d vuông góc AC

0.250.250.25

Học sinh làm các cách khác đúng với yêu cầu đề ra vẫn chấm điểm tối đa

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I

NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.5 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau

a A = 3x x2 4x4

c C = (1+ tan2α)(1- sin)(1- sin2α)(1- sin) + (1+cotan2α)(1- sin)(1-cos2α)(1- sin)

Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình

a x x 2 x x 0 b x2 5x36 8 3 x4

Bài 3: (2.0 điểm)

a Cho các số nguyên dương a; b; c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a +

b)c = ab

Xét tổng M = a + b có phải là số chính phương không? Vì sao?

b Cho x y ; 0 và x y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

I

H

C D

A

B

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 1 trang)

Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC AM cắt HN tại G Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K Chứng minh rằng:

a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ về cùng một phía của

AB các tia Ax và By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt và Mz thay đổi

mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1

Do đó a-c và b-c là hai số chính phương Đặt a-c = p2; b-c = q2

( p; q là các số nguyên)

c2 = p2q2 c = pq  a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

0,250.250.5

x y  xy  Dấu bằng khi x = y =1Mặt khác :

0,250,25

0.250.25

Tư đó chứng minh được tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c)

Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên

A B

M

Cx

yD

b sin  ; SMCD =

1 2

ab

Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất  2sin.cos lớn nhất Theo bất đẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có :

2sin.cos  sin2 +cos2 = 1 nên SMCD ≥ ab

SMCD = ab  sin = cos  sin = sin(900)   = 900   = 450

 AMC và BMD vuông cân

Vậy min SMCD = ab Khi  = 450 ; C,D được xác định trên tia Ax ;

By sao cho AC = AM , BD = BM

0.50.5

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG 2

NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.0 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình

biến:

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 1 trang)

sin6x c os6x 3sin os2x c 2x  tan os2x c 2x  cotan sin2 x 2x

Bài 3: (2.0 điểm)

a Cho các số nguyên dương: a a a1; ; ; ;2 3 a2013 sao cho:

Chứng minh: M = a15 a25 a35  a20135 chia hết cho 30.

b Cho x y; thỏa mãn: x2y2 2x 4y0 Chứng minh: x2y10

Bài 4: ( 2,5 điểm)

tại E Đường thẳng qua C vuông góc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F Diện tích tứ giác

Mà 2.x12  0 7 y2  0 y2 1

(-4; 1); (-4; -1)

0.250.25

b

 + a

Áp dụng định lý Py ta go vào DEC ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 +

4 2

a

b (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra 2SACEF =

2( )

a a b b

 +

2 2 4 2

a b a b

2

a a b b





0,5

0,5

Do đó SACEF = 3SABCD <=>

3 2

2

a a b b

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I

NĂM HỌC 2013-2014.

MÔN THI: TOÁN 9

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

2 2 sin 

Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn.

Hết /.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC 2013-2014

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

b B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4)

B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120

0.250.50.25

 x = 2 Vậy max M = 5 khi x = 2.

*) Theo trên thì 5M 5nhưng giá trị nhỏ nhất của M không bằng - 5

vì  5 x 5  M 2 5 vậy min M = 2 5 khi x =  5

0.5

0.50,250.5

Bài 4

K

G

H E

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa

- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình.

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HSG VÒNG II VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI

HSG TỈNH NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN – LỚP 9

c Tìm x; y nguyên biết: x 2 – 6xy + 10y 2 = 25

Câu 2 Giải các phương trình và bất phương trình sau đây:

a Chứng minh 3 điểm K ; A ; C thẳng hàng

b Chứng minh PC đi qua trung điểm I của AH

c Cho PB = a Tính độ dài AH theo a và R

d Trên BA lấy điểm E sao cho BE = AC Chứng minh rằng khi P di động trên d thì E nằm trênmột đường tròn cố định

Hết./

Họ và tên: Số báo danh

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG VÒNG 2 VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI

HSG TỈNH NĂM HỌC 2013-2014

MÔN THI: TOÁN

Câu 1

a A = ( 4 + 15)( 10 6) 4 15= ( 4 + 15)( 5 3) 8 2 15

=( 4 + 15)( 5 3)( 5 3) = ( 4 + 15)( 8 – 2 15) = 2 (16 -15) = 2

0.50.25

b HS viết được đường thẳng AB: y = 2x – 3

Tọa độ điểm C(-1; -5) thỏa mãn phương trình đường thẳng Vậy A; B; C thẳng

hàng

0.50.25

c Ta có (x – 3y) 2 = 25 - y 2 vì (x – 3y) 2 0 nên 25 – y 2  0

Nên y2 25    5 y 5 hay y =     1; 2; 3; 4; 5 

HS tìm x tương ứng

0.250.25

b ĐK x 0 Ta có:

*) Nếu x = 1 là nghiệm

*) Nếu x > 1 VT > 7 phương trình vô nghiệm

*) Nếu 0 x 1 VT < 7 phương trình vô nghiệm Vậy nghiệm pt là x =1

Từ (1) và (2) suy ra để BPT có nghiệm thì dấu “=” ở BĐT (2) xảy ra khi đó: x = 3

*) với x < 0 ta nhân 2 vế BPT với x ta có BPT đúng với mọi x < 0 (theo câu a)

Vậy nghiệm của BPT là x < 0 và x = 3

( vì a+b+c=3)

 2(ab + bc + ca) 4 + abc4 Ta có P = a2 + b2 + c2 =(a + b + c)2 - 2(ab + bc + ca)

= 9 - 2(ab + bc + ca)  9 – 4 = 5 Dấu « = » xảy ra khi a + b+ c = 3 ; abc =0 và ab + bc

+ ca = 2 Max P = 5 dấu « = » xảy ra khi một số bằng 0 ; một số bằng 1 và một số bằng

0.25

a Ta có: BAC  900( vì A thuộc đường tròn đường kính BC)

Ta có PB = PA ( t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

PB = PK (gt) nên suy ra PB = PA = PK suy ra KAB vuông tại A

Ta có BAC BAK 1800 nên A; C; K thẳng hàng

0.250.250.250.25

b Vì AH BC nên BH // BK Theo ta-let ta có : AI CI

.4

AH CB PB

 4.AH.PB2 = 4.R CB.PB – AH.CB2  AH ( 4.PB2 + CB2) = 4.R.CB.PB 

0.250.250.25

AH = 2 2

4.R.CB.PB4.PB  CB =

0.75

Lưu ý:

- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.

- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN

tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BH, CH.

a Chứng minh MD // NE.

b Chứng minh trực tâm tam giác AMN là trung điểm đoạn thẳng OH.

c Tam giác ABC có thêm điều kiện gì nữa để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất?

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 5 (1.0 điểm) Cho một đa giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng có hình tròn bán kính R

= 1

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015

MÔN THI: TOÁN 9

đó HS tìm x tương ứng

0 50.5

b M = x2  2 y2  2 xy  2 x  3 y  1= (x + y)2 - 2(x + y) + 1 + y2 – y +1/4 – 1/4

M = (x + y -1)2 + (y - 1/2)2 - 1/4  -1/4 Vậy min M = -1/4 khi x = y = 1/2

0,250,5c