H10 c1 b4

Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.. Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.. b Tọa độ của vect

er M O

j

r

ir

1 1 y

x O

 Điểm O gọi là gốc tọa độ.

 Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục

 Ta kí hiệu trục đó là O;e r

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục O;e r

Khi đó có duy nhất một số k sao cho OMuuuurk e.r Ta gọi

số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

c) Cho hai điểm A và B trên trục O;e r

Khi đó có duy nhất số a sao cho uuurAB a e. r Ta gọi số a là độ

dài đại số của vectơ ABuuur

đối với trục đã cho và kí hiệu aAB.

vuông góc với nhau Điểm gốc

O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ Trục  O;ir

được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục  O; jr

được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ ir và jr là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và ir  rj 1.

Hệ trục tọa độ O;i , jr r

còn được kí hiệu là Oxy.

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ ur

tùy ý Vẽ OA uuuur r

và gọi A , A lần lượt là hình chiếu của 1 2

vuông góc của A lên Ox và Oy Ta có OA OA OAuuur uuur uuuur 1 2 và cặp số duy nhất x; y để

OAuuurx i , OAr uuuur y j.r Như vậy ur=xir+y jr.

Cặp số (x y; ) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ ur đối với hệ tọa độ Oxy và viết urx; y hoặc

u x; y r

Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u.r

Như vậy

Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng

nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ OMuuuur

đối với hệ trục Oxy

được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó

Như vậy, cặp số  x; y

là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OMuuuurx; y  Khi đó ta viết M x; y 

hoặc M x; y  

Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M Hoành độ của

điểm M còn được kí hiệu là x , tung độ của điểm M M còn được kí hiệu là y M

M  x; y �OMuuuurx iry jr

Chú ý rằng, nếu MM1 Ox, MM2 Oy thì x OM , y OM  1  2

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A x ; y A A và B x y( B; B). Ta có

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng AB có A x y( A; A),B x y( B; B). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm

( I; I)

I x y của đoạn thẳng AB là

b) Cho tam giác ABC có A x ; y , B x ; y , C x ; y  A A  B B  C C Khi đó tọa độ của trọng tâm G x ; y G G

của tam giác ABC được tính theo công thức

có độ dài đại số là m AB� uuurAB mi r

 Nếu a,b lần lượt là tọa độ của A,B thì AB b a 

 Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là: 2

Ví dụ 1: Trên trục tọa độ  O;ir

cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt là 2 1 ; Tọa độ của vecto ABuuur là:

Lời giải Chọn B.

Ta có: AB  1 2 3�uuurAB3i.r

Ví dụ 2: Trên trục tọa độ  O;ir

cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt 3 và 5 Tọa độ trung điểm I của

AB là :

Lời giải Chọn D.

Tọa độ điểm I là:

12

I

Ví dụ 3: Trên trục O;ir

cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a;b;c Tìm điểm I sao cho

IAuur+IBuur+ICuur = 0ur

Lời giải Chọn D.

Gọi điểm I có tọa độ là x

Ví dụ 4: Trên trục  O;ir

, cho ba điểm A,B,C lần lượt có tọa độ là 5 2 4 ; ; Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn 2MAuuur4MBuuur3MCuuuur r0.

A.

10

103

Gọi điểm M có tọa độ là x

Câu 1: Trên trục  O;ir

, cho ba điểm A,B lần lượt có tọa độ là 2 ;6 Tìm tọa độ điểm I sao cho

Câu 2: Trên trục  O;ir

, cho ba điểm M ,N lần lượt có tọa độ là 2 3 ; Độ dài đại số của MNuuuur

là:

 2 DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy

 Phương pháp giải.

 Để tìm tọa độ của vectơ ar ta làm như sau

Dựng vectơ OMuuuur ra Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy Khi đó

 1 2

a a ;ar

với a1OH , a2 OK

 Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OAuuur

 Nếu biết tọa độ hai điểm A( x ; y ), B( x ; y ) suy ra tọa độ A A B B ABuuur được xác định theo công

thức uuurABx B x ; y A By A

Chú ý: OH OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH = -OH nếu H nằm trên tia đối tia Ox

(hoặc Oy ).

A VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm M x; y 

Tìm tọa độ của các điểm M1 đối xứng với

M qua trục hoành?

A.M x; y1   . B.M1x; y . C.M1 x; y. D.M x; y1  .

Lời giải Chọn A.

M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M x; y1  .

A ar   4r ri j. B ar  ir 4rj. C ar 4rj. D ar 4ri.

Lời giải Chọn D

Ta có: ar  4;0�ar   4ri 0rj 4ri.

A Hai vectơ ur 2; 1 và   vr  1; 2đối nhau.

B Hai vectơ ur 2; 1 và   vr   2; 1đối nhau.

C Hai vectơ ur 2; 1 và   vr   2;1 đối nhau.

D Hai vectơ ur 2; 1 và   vr 2;1 đối nhau.

Lời giải Chọn C

Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt

phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ bên.

Vì điểm A( ; ) suy ra 1 3 AB3, OB1

Do đó B ; , C ; , D ;     1 0 4 0 4 3

Vậy uuurAC3 3; .

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD cạnh a và �BAD600 Biết A trùng với gốc

tọa độ O ; C thuộc trục Ox và x B �0, y B � Tìm tọa độ các đỉnh 0 B và C của hình thoi ABCD

Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

Gọi I là tâm hình thoi ta có

302

Câu 4: Trong hệ trục tọa độ O,i, jr r

, cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , ri

cùng hướng với OCuuur, j

Câu 5: Trong hệ trục tọa độ O,i, jr r

, cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , ri

cùng hướng với OCuuur, j

Câu 6: Trong hệ trục tọa độ O,i, jr r

, cho hình thoi ABCD tâm O có AC8, BD Biết 6 OCuuur

và ricùng hướng, OBuuur và j

sao cho ri và ADuuur

cùng hướng, y B 0 Tìm tọa độ các vecto

AB, BC , CD

uuur uuur uuuur

vàuuurAC

Câu 8: Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ O,i, jr r

, trong đó O là tâm lục giác đều ,ri

cùng hướng với ODuuur, j

( ; ) (, ; ) (, ; )

C 3 3 3 F - 3 3 3- E 3 3 3

-C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

D HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN

 DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u v, u v, k ur r r r  r

 Phương pháp.

 Dùng công thức tính tọa độ của vectơu v, u v, k ur r r r  r

 Với u ( x; y )r ;u' ( x'; y')uur và số thực k , khi đó u v ( x x'; y y')r r�  � � và k.u ( kx;ky )r

Ta có: r ri j      1;0  0;1  1;1 .

Ví dụ 2: Cho ur 3 2; , vr 1 6; Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.u vr r+ và ar   4 4;  ngược hướng. B.u, vr r cùng phương.

C.u vr r và br6 24;  cùng hướng. D.2u v, vr r r cùng phương.

Lời giải Chọn C.

Tọa độ điểm M thỏa 3uuuur uuur rAM AB0 là

y y

2MA BCuuur uuur 4CMuuuur là:

Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A   1;3 ,B 4;0

Tọa độ điểm M thỏa 3uuuur uuur rAM AB0 là

I ;� �.

� �

� �C

813

I�� ; ��.

� � D I ;2 2 .

Câu 14: Cho hai điểm A 1;0

và B0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho uuurAD 3uuurAB là:

Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức

+ M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra 2 2

G

x

G ; y

x

x

trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox Toạ độ của điểm P là

Ví dụ 5:Cho tam giác ABC với AB và5 AC Tính toạ độ điểm 1 Dlà của chân đường phân giác

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A ;3 1  , B 1 2;  và I ;1 1  Xác định tọa độ các điểm C ,

D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O của hình bình hành ABCD

A.

73

2

O ;��  ��

522

O��; ��

522

O�� ; ��

522

Lời giải Chọn B.

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên

Câu 16: Cho hai điểm A 1;0

và B0; 2  Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A

1

; 12

�  �

11;

�  �

� � D 1; 1  .

Câu 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là A2; 2;

Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , gọi ', '' B B và B''' lần lượt là điểm đối xứng của B2;7qua trục Ox ,

Oy và qua gốc tọa độ O Tọa độ của các điểm ', '' B B và B''' là:

 Cho u ( x; y )r ;u' ( x'; y')uur Vectơ u'uur

cùng phương với vectơ ur  ur r�0

khi và chỉ khi có số k

sao cho

x' kx y' ky

x  y

�r

 Để phân tích c c ;cr 1 2

qua hai vectơ ar a ;a , b1 2 rb ;b1 2 không cùng phương, ta giả sử

c xa ybr r r Khi đó ta quy về giải hệ phương trình

Ví dụ 1: Cho A  1;2 ,B 2;6 Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm , , A B M thẳng hàng thì tọa độ

Ta có: M trên trục Oy�M 0;y

Ba điểm , ,A B M thẳng hàng khi ABuuur cùng phương với AMuuuur

Ta có uuurAB  3; 4 , uuuurAM   1;y2 Do đó, ABuuur cùng phương với

trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng.

A.E ;5 10  . B.E���1 23 3; ��� C E��� 13; 23���. D.E ;5 10

Lời giải Chọn B.

Vì E thuộc đoạn BC và BE = 2EC suy ra BEuuur= 2ECuuur

Câu 24: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

A Hai vec tơ ur 4; 2 và vr 8;3 cùng phương.

B Hai vec tơ ar  5;0 và br   4;0 cùng hướng.

C Hai vec tơ ar 6;3 và br 2;1 ngượchướng.

D Vec tơ cr 7;3 là vec tơ đối của dur  7;3 .

Câu 25: Cho 4 điểm A1; 2 ,    B 0;3 ,C 3;4 , D 1;8 Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng

hàng?

A A B C , , B B C D , , C A B D , , D A C D , ,

Lời giải Chọn C

Ta có: uuurAD2;10 , uuurAB1;5�uuurAD2uuurAB� 3 điểm , ,A B D thẳng hàng.

Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( ; ), B(6 3 3 6; ), C( ;1 2 Xác định điểm ) E trên

Câu 29: Cho tam giác ABC có A( ; ), B( ; ), C( ;3 4 2 1   Tìm điểm 1 2) M trên đường thẳng BC sao

cho S ABC 3S ABM .

Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có A - 2 3 và tâm ( ; ) I 11 Biết điểm ( ; ) K - 1 2 nằm trên ( ; )

đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ Tìm các đỉnh B,D của hình bình

C HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN

Câu 26: Vì E thuộc đoạn BC và BE = 2EC suy ra BEuuur= 2ECuuur

x

và

12

Câu 29: Ta cóS ABC 3S ABM � BC3BM �uuurBC�3BMuuuur

Gọi M x; y �BM xuuuur 2; y1; BCuuur 3 3; 

III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x y A; A và Bx y B; B

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng ABlà:

Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng

22

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x y A; A và B x y B; B

Tọa độ của vectơ ABuuur

là

A uuurABy Ax y A; Bx B. B uuurABx Ax y B; Ay B.

C uuurABx Ax y B; Ay B. D uuurABx B x y A; By A.

Lời giải Chọn D.

Theo công thức tọa độ vectơ uuurABx Bx y A; By A .

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x y A; A , B x y và C x y B; B  C; C

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC�OA OB OCuuur uuur uuur  3OGuuur với O là điểm bất kì.

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  5;2 ,B 10;8

Tọa độ của vec tơ ABuuur

là:

A  2;4 . B  5;6 . C 15;10. D 50;6.

Lời giải Chọn B.

Ta có: uuurAB10 5;8 2     5;6 .

Câu 6: Cho hai điểm A 1;0

và B0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho uuurAD 3uuurAB là:

Câu 9: Cho hai điểm A 1;0

và B0; 2  Vec tơ đối của vectơ ABuuur có tọa độ là:

A 1;2. B  1; 2. C  1;2

D 1; 2  .

Lời giải Chọn B.

Ta có vectơ đối của ABuuur

là uuurBA      0 1; 2 0  1; 2.

Câu 10: Cho ar 3; 4 ,  br   1; 2 Tọa độ của vec tơ a br r là:

A 2; 2 . B 4; 6 . C  3; 8. D 4;6 .

Lời giải Chọn A.

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A3; 2 ,      B 7;1 ,C 0;1 ,D  8; 5 Khẳng định

nào sau đây là đúng?

Ta có: uuurAB 4;3 ,CDuuur   8; 6 �CDuuur 2uuurAB.

Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A    1;3 ,B 4;0 ,C 2; 5  Tọa độ điểm M thỏa mãn

Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi

Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi

Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A   0;2 ,B 1; 4

Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn2

y y

2

m n 

C m5,n  2 D m5,n 2

Lời giải Chọn B.

Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành �B 2;1 .

Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ar (2;1), urb(3; 4), cr(7;2) Cho biết c m a n br r r Khi đó

Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM

KB

y y

, N0; 4  , P1;6 lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của tam

giác ABC Tọa độ đỉnh A của tam giác là:

A 1; 10  . B  1;5

C  3; 1. D  2; 7.

Lời giải Chọn C.

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M1; 1 ,  N 5; 3  và P thuộc trục Oy

,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox Toạ độ của điểm P là

A  0; 4 . B  2;0 . C  2;4 . D  0; 2 .

Lời giải Chọn A.

Ta có: P thuộc trục Oy�P 0;y , G nằm trên trục Ox�G x ;0

G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:

1 5 0

23

y y