H10 c1 b2

Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất A.. BÀI TẬP TỰ LUYỆN NHẬN BIẾT Câu 1.Cho hình bình hành ABC

BÀI 2: TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

I – LÝ THUYẾT

1 Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Phép cộng hai vectơ r

a và b là vectơ a br r r , được xác định tùy theo vị trí của hai vectơ Có 3 trường hợp

a br r nối đuôi a br r cùng điểm gốc a br r là hai vectơ bất kỳ

a br r cộng theo

Quy tắc 3 điểm a br r cộng theo

Quy tắc hình bình hành a br r được cộng theo

2 trường hợp trên

- Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A B C, , ta có uuur uuur uuurABAC CB

- Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành khi đó ta có

DB DA DG

�

�

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

và

AB DC

AD BC

� 

�



�

uuur uuur uuur uuur

Tính chất:

- Giao hoán: a b b ar r r r  

- Kết hợp: ar       b cr r a cr r br

- Cộng với vectơ đối: ar   ar 0r - Cộng với vectơ không: ar r r r r   0 0 a a

2 Hiệu của hai vectơ

Vectơ đối của vectơ a

r

kí hiệu là - ar

Đặc biệt ar   ar 0r

Định nghĩa: Hiệu hai vectơ

r

a và b là vectơ r a b ar r r    br

Tính chất: + a ar r r r:  0 a + a a ar r r r:  0 + uuurAB BAuuur

Quy tắc tam giác đối với hiệu hai vectơ

Với ba điểm bất kì A B C, , ta có uuur uuur uuurAB CB CA 

3 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

 Điểm I là trung điểm của đoạn AB� IA IBuur uur r 0

 Điểm G là trọng tâm ABC�GA GB GCuuur uuur uuur r  0

II – DẠNG TOÁN

1 Dạng 1: Tìm tổng của hai vectơ và tổng của nhiều vectơ

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất

A VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A uuur uuurAB AC+ =BCuuur. B MPuuur+NMuuuur=NPuuur.

C CA BA CBuur+uuur=uur. D uuur uurAA BB+ =ABuuur.

Lời giải

Chọn B.

Xét các đáp án:

 Đáp án A Ta có AB ACuuur uuur+ =ADuuur�BCuuur (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành) Vậy A sai

 Đáp án B Ta có MPuuur+NMuuuur=NMuuuur uuur+MP=NPuuur Vậy B đúng

 Đáp án C Ta có CA BAuur+uuur=- (ACuuur uuur+AB)=- ADuuur�CBuur

(với D là điểm thỏa mãn

ABDC là hình bình hành) Vậy C sai

 Đáp án D Ta có AA BBuuur uur+ = + = � 0 0 0r r r ABuuur Vậy D sai

Ví dụ 2: Cho ba điểm phân biệt A B C, , Đẳng thức nào sau đây đúng?

A CA ABuur+uuur=BCuuur. B AB ACuuur uuur+ =BCuuur.

C uuur uurAB CA CB+ =uur. D uuur uuurAB BC- =CAuur.

Lời giải.

Chọn C.

Xét các đáp án:

 Đáp án A Ta có CA AB CBuur+uuur=uur=- BCuuur Vậy A sai

 Đáp án B Ta có AB ACuuur uuur+ =ADuuur�BCuuur (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành) Vậy B sai

 Đáp án C Ta có AB CA CA AB CBuuur uur+ =uur+uuur=uur Vậy C đúng

Ví dụ 3 Tính tổng MNuuuur uuur uuur uuur uuur+PQ RN+ +NP QR+

A MRuuur. B MNuuuur. C PRuuur. D MPuuur.

Lời giải.

Chọn A.

Ta có MN+PQ RN+ +NP QR+ =MN+NP+PQ QR RN+ + =MN

uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur

Ví dụ 4 Cho lục giác đềuABCDEF và O là tâm của nó Đẳng thức nào sau đây đúng?

A OA OC OEuur+uuur uuur+ = 0. B BCuuur uuur+FE=ADuuur.

C OA OC OBuur+uuur uur+ =EBuuur. D uuur uuur uuurAB CD EF+ + = 0.

Lời giải.

Chọn C.

Ta có OABC là hình bình hành

2

OA OC OB OA OC OB OB

�uur+uuur=uur�uur+uuur uur+ = uur

O là trung điểm của EB�EBuuur= 2 OBuur

2

OA OC OB EB OB

�uur+uuur uur+ =uuur= uur

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

NHẬN BIẾT

Câu 1.Cho hình bình hành ABCD ,với giao điểm hai đường chéo là I Khi đó:

A uuur uur uurAB IA BI  . B uuur uuur uuurAB AD BD  .

C uuur uuur rAB CD 0. D.uuur uuur rAB BD 0.

Câu 2.Điều kiện nào sau đây không phải là điều kiện cần và đủ để G là trọng

tâm của tam giác ABC , với M là trung điểm của BC

A uuur uuur uuurAG BG GC  . B uuur uuur uuur rAG BG CG  0.

C uuur uuur uuur rAG GB GC  0. D GA GB GCuuur uuur uuur r  0.

Câu 3.Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm

của đoạn AB

A OA OB . B OA OBuuur uuur .

C uuur uuurAO BO . D OA OBuuur uuur r 0.

Câu 4.Cho 4 điểm A B C D, , , Đẳng thức nào sau đây đúng

A uuur uuur uuur uuurAB CD  AC BD B uuur uuur uuur uuurAB CD  AD BC .

C uuur uuur uuur uuurAB CD AD CB D uuur uuur uuur uuurAB CD DA BC   .

Câu 5.Chọn khẳng định đúng :

A Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB CGuuur uuur uuur r  0.

B.Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB GCuuur uuur uuur r  0.

C Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA AG GCuuur uuur uuur r  0

D Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB GCuuur uuur uuur  0

Câu 6 Chọn khẳng định sai

A Nếu I là trung điểm đoạn AB thì uur uur rIA BI 0.

B Nếu I là trung điểm đoạn AB thì uur uur uuurAI IB  AB

C Nếu I là trung điểm đoạn AB thì uur uur rAI BI 0.

D Nếu I là trung điểm đoạn AB thì IA IBuur uur r 0.

Câu 7.Cho các điểm phân biệt A B C, , Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A uuur uuur uuurAB BC CA  . B uuur uuur uuurAB CB AC  .

C uuur uuur uuurAB BC AC  . D uuur uuur uuurAB CA BC  .

Câu 8.Cho hình bình hành ABCD tâm O Khi đó OA BOuuur uuur 

A.OC OBuuur uuur . B uuurAB

C OC DOuuur uuur . D CDuuur

Câu 9.Cho tam giác ABC , trọng tâm là G Phát biểu nào là đúng?

A uuur uuurAB BC  uuurAC

B GAuuurGBuuur GCuuur 0

C uuur uuurAB BC uuurAC

D GA GB GCuuur uuur uuur  0

Câu 10. Cho các điểm phân biệt A B C, , Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A uuur uuur uuurAB CB CA   B uuur uuur uuurBA CA BC  

C uuur uuur uuurBA BC AC   D uuur uuur uuurAB BC CA  

THÔNG HIỂU

Câu 11. Cho tam giác đều ABC cạnh a Khi đó uuur uuurAB AC 

3 2

a

Câu 12. Gọi Blà trung điểm của đoạn thẳng AC Đẳng thức nào đúng?

A uuur uuur rAB CB 0. B uuur uuurBA BC 

C Hai véc tơ ,

uuur uuur

BA BC cùng hướng D uuur uuur rAB BC 0.

Câu 13. Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a Khi đó uuur uuurAB AD

bằng:

A a 2 B

2 2

a

C 2a D a

Câu 14. Cho hình chữ nhật ABCDbiết AB4avàAD3a thì độ dài



uuur uuur

AB AD = ?

A 7a B 6a C 2a 3 D 5a

Câu 15. Cho 6 điểm A B C D E F, , , , , Đẳng thức nào sau đây đúng

A uuur uuur uuur uuur uuur uuur rAB CD FA BC EF DE     0.

B uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD FA BC EF DE AF      

C uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD FA BC EF DE AE      

D uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD FA BC EF DE AD      

Câu 16. Gọi Glà trọng tâm tam giác vuôngABCvới cạnh huyền BC12.

Tổng hai vectơ GB GC có độ dài bằng bao nhiêu ?uuur uuur

A 2 B 4 C 8 D 2 3

Câu 17. Cho hình bình hành ABCDtâm O Đẳng thức nào sau đây đúng?

A uuur uuur uuur uuur rAO BO OC DO   0.

B uuur uuur uuur uuur rAO BO CO DO   0.

C uuur uuur uuur uuur rAO OB CO DO   0.

D OA BO CO DOuuur uuur uuur uuur r   0.

Câu 18. Cho các điểm phân biệt A B C D E F, , , , , Đẳng thức nào sau đây sai ?

A uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD EF  AF ED BC  

B uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB CD EF   AF ED CB  

C uuur uuur uuur uuur uuur uuurAE BF DC DF BE AC     

D uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC BD EF   AD BF EC  

Câu 19. Chỉ ravectơtổng uuuur uuur uuur uuur uuurMN PQ RN NP QR    trong các vectơsau:

A

uuur

MR B

uuuur

MQ C uuurMP D uuuur

MN

Câu 20. Cho G là trọng tâm tam giác ABC vuông, cạnh huyền BC12 Độ

dài vectơ GB GC bằng:uuur uuur

A 2 B 8 C.6 D 4

VẬN DỤNG

Câu 21. Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh bằng a và góc A.bằng 600 Kết

luận nào sau đây đúng:

A

3 2



uuur a

OA

B OAuuur a

C OAuuur  OBuuur

2 2



uuur a

OA

Câu 22. Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây sai ?

A uuur uuurAB CD  B CA CB CD uuur uuur uuur 

C uuur uuur rAB CD 0. D uuur uuurBC AD 

Câu 23. Cho 4 điểm A B C O, , , bất kì Chọn kết quả đúng uuurAB

A uuur uuurOA OB  . B OA OBuuur uuur .

C

uuur

B A D uuur uuurAO OB.

Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD, phát

biểu nào là đúng?

A uuur uuur uuur uuurOA OB OC OD    B uuur uuurAC BD 

C OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur   0r

D uuur uuur uuurAC DA AB  

Câu 25. Cho hình bình hành ABCD với I là giao điểm của 2 đường chéo

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A uur uur rIA IC 0. B uuur uuurAB DC 

C uuur uuurAC BD  D uuur uuur uuurAB AD AC  

Câu 26. Cho tam giácAB C Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh

, ,

AB AC BC Hỏi uuur uuurMP NP bằng vec tơ nào?

A uuuurAM B uuurPB.

C

uuur

uuuur

MN

Câu 27. Cho các điểm phân biệt A B C D, , , Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A uuur uuur uuur uuurAB DC BC AD    B uuur uuur uuur uuurAC DB CB DA   

C uuur uuur uuur uuurAC BD CB AD   D uuur uuur uuur uuurAB DA DC CB   

Câu 28. Cho 6 điểm A B C D E F, , , , , Tổng véc tơ : uuur uuur uuurAB CD EF bằng  

A uuur uuur uuurAF CE DB   B uuur uuur uuurAE CB DF  

C uuur uuur uuurAD CF EB   D uuur uuur uuurAE BC DF  .

Câu 29. Cho 4 điểm bất kỳ A B C O, , , Đẳng thức nào sau đây là đúng:

A uuur uuur uuurOA CA OC   B uuur uuur uuurAB AC BC  

C uuur uuur uuurAB OB OA   D OA OB AB uuur uuur uuur 

Câu 30. Chọn đẳngthức đúng:

A uuur uuur uuurBC AB CA   B uuur uuur uuurBA CA BC  

C uuur uuur uuurOC AO CA   D uuur uuur uuurAB CB AC  

C ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

2 Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của 2 vectơ

Phương pháp giải:

- Áp dùng định nghĩa: Tìm vectơ đối, tính tổng

- Áp dụng quy tắc 3 điểm, hình bình hành và tính chất

Ví dụ 1: Cho ar và br là các vectơ khác 0r với ar là vectơ đối của br Khẳng định nào sau đây sai?

A Hai vectơ a b,

r r cùng phương B Hai vectơ a b,

r r ngược hướng

C Hai vectơ a b,

r r cùng độ dài D Hai vectơ a b,

r r chung điểm đầu

Lời giải.

Chọn D.

Ta có ar=-br Do đó, ar và br cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau

Ví dụ 2 Gọi O là tâm hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây sai?

A OA OB CDuur uur- =uuur. B OB OCuur uuur- =OD OAuuur uur-

C uuur uuurAB AD- =DBuuur. D BC BAuuur uuur- =DC DAuuur uuur-

Lời giải.

Chọn B Xét các đáp án:

 Đáp án A Ta có OA OBuur uur- =BA CDuuur=uuur Vậy A đúng

 Đáp án B Ta có

OD OA AD

�

=-�

�

�

uur uuur uur uuur uuur uur uuur

Vậy B sai

 Đáp án C Ta có AB ADuuur uuur- =DBuuur. Vậy C đúng

 Đáp án D Ta có

BC BA AC

DC DA AC

�

�

�

�

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Vậy D đúng

Ví dụ 3 Gọi O là tâm hình vuông ABCD Tính OB OCuur uuur-

A BCuuur. B DAuuur. C OD OAuuur uur- D ABuuur.

Lời giải.

Chọn B Ta có OB OCuur uuur- =CBuur=DAuuur

Ví dụ 4 Cho O là tâm hình bình hành ABCD Hỏi vectơ (uuur uuurAO DO- )

bằng vectơ nào?

A BAuuur. B BCuuur. C DCuuur. D ACuuur.

Lời giải.

Chọn B Ta có uuur uuurAO DO OD OA- =uuur uur- =ADuuur=BCuuur

3 Dạng 3: Tính độ dài của vectơ

Phương pháp giải:

- Biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu thành một vectơ duy nhất

- Tính độ dài của vectơ đó

- Từ đó suy ra độ dài của vectơ tổng, vectơ hiệu

A VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a Khi đó AB AC+

uuur uuur

bằng:

A AB AC+ =a 3.

uuur uuur

B.

3 2

a

AB AC+ = uuur uuur

C AB AC+ =2 a

uuur uuur

D Một đáp án khác.

Lời giải.

Chọn A

Gọi H là trung điểm của BC�AH ^BC.

Suy ra

.

Ta lại có

3

2

a

AB AC+ = AH = =a

uuur uuur uuur

Ví dụ 2 Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB=a Tính AB AC+ .

uuur uuur

A AB AC+ =a 2.

uuur uuur

B

2. 2

a

AB AC+ = uuur uuur

C AB AC+ =2 a

uuur uuur

D AB AC+ =a.

uuur uuur

Lời giải.

Chọn A Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình

vuông

2.

AB AC AD AD a

� uuur uuur+ =uuur = =

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C, AB = 2 Tính độ dài của

.

AB AC+

uuur uuur

A AB AC+ = 5.

uuur uuur

B AB AC+ =2 5.

uuur uuur

C AB AC+ = 3.

uuur uuur

D AB AC+ =2 3.

uuur uuur

Lời giải.

Chọn A.

Ta có AB= 2���AC=CB=1.

Gọi I là trung điểm

2

BC�� �AI = AC +CI =

Khi đó

5

2

AC AB+ = AI �� �AC AB+ = AI = =

uuur uuur uur uuur uuur uur

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

NHẬN BIẾT

Câu 1. Cho 4 điểm bất kì A B C O, , , Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.OA OB BAuuur uuur uuur  . B.uuur uuur uuurAB OB AO  .

C.uuur uuur uuurABAC CB . D .OA CA COuuur uuur uuur  .

Câu 2. Cho hai điểm phân biệtA B, Điều kiện để điểm I là trung điểm của

đoạn thẳngABlà:

A.uur uurIA IB B.uurAI uurBI

C uurIA uurIB D.IA IB .

Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A B C, , Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A.uuuAB BCr uuur CAuuur B.uuuAB CAr uuu rCBuuur.

C CA BAuuur uuu ruuurBC D.uuuABr uuurAC uuurBC.

Câu 4. Chọn khẳng định sai:

A Nếu I là trung điểm đoạn AB thì uur uur rIA IB 0.

B Nếu I là trung điểm đoạn AB thì uur uur uuurAI BI AB

C Nếu I là trung điểm đoạn AB thì uur uur rAI IB 0.

D Nếu I là trung điểm đoạn AB thì uur uur rIA BI 0.

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức nào sau đây sai ?

A uuurBDuuurDCCBuuur B.uuurBDCD CBuuur uuu r

C.uuurBDuuur uuuBCBAr D.uuurAC uuuABr uuurAD

Câu 6. Cho 4 điểm bất kỳA B C D, , , Đẳng thức nào sau đây là đúng:

A.OA CA COuuuruuur uuur B uuur uuur uuuBCACABr 0r.

C.uuuBArOB OAuuur uuu r D.OAuuurOBuuur uuuBAr.

Câu 7. Cho tam giác ABC , khẳng định nào sau là đúng?

A.uuuABr uuurAC BCuuur B .uuuABr uuurBC uuurAC.

C.uuuABr uuurAC uuurBC. D.uuuABr uuurBCuuurAC.

Câu 8. Cho ba vectơ r r , và r

a b c đều khác vectơ – không Trong đó hai vectơ

,

r r

a b cùng hướng, hai vectơ r r ,

a cđối nhau Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Hai vectơ r à r

b v c cùng hướng.

B Hai vectơ r à r

b v c ngược hướng.

C Hai vectơ r à r

b v c đối nhau.

D Hai vectơ r à r

b v c bằng nhau.

Câu 9. Cho các điểm phân biệtA B C D E F, , , , , Đẳng thức nào sau đây sai

A uuuAB CDr uuur uuur EF uuur uuur uuurAF EDBC

B.uuuAB CDr uuur uuur EF uuur uuur uuuAFED CB r

C.uuur uuur uuurAEBFDCuuur uuuDFBEr uuurAC

D.uuur uuur uuurACBDEF uuur uuur uuurADBFEC

Câu 10.Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền  BC 12 Vectơ GB CGuuur uuur có độ dài bằng bao nhiêu?

A.2 B 4 C.8 D.2 3

THÔNG HIỂU

Câu 11. Cho tam ABC cạnh a, trọng tâm là G Phát biểu nào là đúng?

A.uuuABruuurAC B.GAuuurGBuuurGCuuur.

C.uuur uuurABAC 2a

D uuur uuurABAC  3 uuur uuurABAC

Câu 12.Cho a b r r r , � 0, r r ,

a b đối nhau Mệnh đề dưới đây sai là:

A.r r ,

a b ngược hướng. B.r r ,

a b cùng độ dài.

C r r ,

a b cùng hướng. D.a b r   r r 0 .

Câu 13.Cho hình chữ nhật ABCD , gọi O là giao điểm của AC và BD, phát

biểu nào là đúng?

A.OAuuurOBuuurOCuuurODuuur B.uuurACuuurBD.

C OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur   0r. D.uuur uuurACADuuuABr.

Câu 14.Cho hình vuông ABCD cạnha, độ dài vectơ uuur uuur uuurABACBDbằng:

Câu 15.Cho hình bình hành ABCD tâm O Khi đó OA OBuuuruuur

A.OCuuurOBuuur B.uuuABr C.OCuuur uuurOD D CDuuur

Câu 16.Cho các điểm phân biệtA B C D, , , Đẳng thức nào sau đây đúng ?

A.uuuAB CDr uuur uuur uuurBCDA B.uuur uuurACBDCBuuur uuurAD

C.uuur uuurACDBCB DAuuur uuur D uuur uuurABADuuur uuurDCBC

Câu 17.Chỉ ra vectơ tổng uuuur uuur uuur uuur uuurMN QP RN PN QR trong các vectơ sau:   

uuuur

MQ C.uuurMP D

uuuur

MN

Câu 18.Cho hình bình hành ABCD và điểm Mtùy ý Đẳng thức nào đúng ?

A.uuur uuurMA MB uuuuMCr uuuuMDr B.uuur uuuuMA MD ruuuuMCr uuurMB

C.uuuuAMr uuurMBCMuuuur uuuuMDr D uuur uuuuMA MC ruuur uuuuMB MD r

Câu 19.Cho các điểm phân biệtA B C D, , , Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.uuur uuurACBDuuur uuurBCDA B.uuur uuurACBDCB DAuuur uuur

C.uuur uuurACBDuuuCBr uuurAD D uuurACuuurBDuuur uuurBCAD

Câu 20.Cho tam giác ABC có M N D, , lần lượt là trung điểm của

, ,

AB AC BC Khi đó, các vectơ đối của vectơ uuurDN là:

A uuuur uuur uuur , ,

AM MB ND. B.uuur uuur uuur , ,

MA MB ND.

C.uuur uuuur ,

MB AM . D.uuuur uuuur uuur , ,

AM BM ND.

VẬN DỤNG