Cho đường tròn O và 3 dây cung AA BB CC cùng song song với nhau.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm... LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số 2
2
2018
2017 4 3
x
Câu 2 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y (xm x)( 5) xác định trên đoạn [2;5]
Câu 3 (2,0 điểm) Giả sử phương trình x2 mx 4 0 có hai nghiệm x x Tìm giá trị lớn nhất 1, 2
của biểu thức 1 2
A
Câu 4 (2,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m x2 m x 1 m3
có nghiệm
Câu 5 (2,0 điểm) Giải bất phương trình: x22x 3 x2 1 x24x3
Câu 6 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2
1
1
x y x
Câu 7 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại C có AB4 ,a ACB 120 Gọi M là điểm thay đổi sao cho MA3MB Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MC
Câu 8 (2,0 điểm) Cho đường tròn O và 3 dây cung AA BB CC cùng song song với nhau 1, 1, 1 Gọi H H H lần lượt là trực tâm của các tam giác 1, 2, 3 ABC BCA CAB Chứng minh ba điểm 1, 1, 1
1, 2, 3
H H H thẳng hàng
Câu 9 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D ,
1
3
AB AD CD Giao điểm của AC và BD là E3; 3 , điểm F5; 9 thuộc cạnh AB sao
cho AF 5FB Tìm tọa độ đỉnh D , biết rằng đỉnh A có tung độ âm
Câu 10 (2,0 điểm) Cho các số thực dương x y, thỏa mãn xy 1 3xy Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: 3 3 12 12
P
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……….…… …….…….….….; Số báo danh………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Hướng dẫn chấm có 05 trang)
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2017-2018
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 10 - THPT
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,5 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần
đó
II ĐÁP ÁN:
1 Tìm tập xác định của hàm số 2
2
2018
2017 4 3
x
Đk:
2 2
3 0
x x x
x x
Vậy tập xác định của hàm số là: D 1;0 3; 4 0,5
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y (xm x)( 5)xác định trên
Hàm số xác định khi và chỉ khi (xm x)( 5) 0 0,5
- Nếu m thì hàm số xác định trên 5 (; ]m [ 5; nên nó xác định trên )
- Nếu m thì hàm số xác định trên (5 ; 5][m; nên nó xác định trên )
đoạn 2;5 khi và chỉ khi m 2 5 m 2 0,5 Vậy với mọi m thì hàm số xác định trên đoạn 2 2;5 0,5
3
Giả sử phương trình x2mx có hai nghiệm 4 0 x x Tìm giá trị lớn nhất 1, 2
của biểu thức 1 2
A
2,0
Ta có m2160 suy ra phương trình đã cho luôn có hai nghiệm m
phân biệt x x 1, 2
Theo Vi – ét ta có: 1 2
x x
0,5
2
8 2
A
2
2
Trang 3TH2: A 0
Để phương trình (*) có nghiệm thì 0 8 2 7 1 0 1 1
8
Vậy A Max khi và chỉ khi 1 m 1
0,5
4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m x2 m x 1 m 3
- Nếu m thì phương trình đã cho vô nghiệm 0 0,5
- Nếu m phương trình đã cho tương đương với 0 |x 2 | |x 1| m 3
m
Xét hàm số ( ) |f x x2 ||x1|, có đồ thị như hình vẽ sau:
0,5
Nghiệm của phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã vẽ
y f x và đường thẳng y m 3
m
Để phương trình đã cho có nghiệm: 3 3 2 3 0 3 0
2
m
0,5
5 Giải bất phương trình: x2 2x 3 x2 1 x2 4x3 2,0
ĐK: x ( ; 3] { 1}[3; )
Dễ thấy x là một nghiệm của bất phương trình 1 0,5
- Nếu x thì BPT 3
2
7
7
1 4 7
1 4 7
3 3
1 4 7 3
x x x
x
0,5
- Nếu x thì BPT 3 ( x 1)( x 3) ( x 1)(1x) ( x 1)( x 3)
2
luôn đúng do x 3, vậy
mọi x 3 đều là nghiệm
0,5
KL: Tập nghiệm của BPT là D ( ; 3] { 1}1 4 7 ; 0,5
Trang 46 Giải hệ phương trình:
2
1
1
x
Đk: x y
Hệ phương trình I tương đương
2
1
1 5
suy ra hệ I trở thành
3 2
14 3
a b
a
b
0,5
Với
3
1 2
Với
1
3
3
a
Vậy hệ phương trình I có nghiệm x y là ;
2;1 ; 4 10; 3 10 ; 4 10; 3 10
0,5
7 Cho tam giác ABC cân tại C có AB4 ,a ACB 120 Gọi M là điểm thay đổi sao cho MA3MB. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MC 2,0
H
M
I
C
B A
Trang 5Ta có 2 2 2 2
MA MBMA MB MI IA MI IB
Lấy điểm I sao cho 9 , 9
Khi đó 2 1 2 2 9 2
a
0,5
Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I , bán kính 3
2
a
R
6
a
0,5
Do IC R độ dài đoạn thẳng CM nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn thẳng
6
a
8
Cho đường tròn O và 3 dây cung AA BB CC cùng song song với nhau Gọi 1, 1, 1
1, 2, 3
H H H lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC BCA CAB Chứng minh 1, 1, 1
ba điểm H H H thẳng hàng 1, 2, 3
2,0
Suy ra H H 1 2 OH2OH1OA1OA OC OC1 AA1C C1
0,5
Vì AA BB CC song song nên 1, 1, 1 AA BB CC1, 1, 1
cùng phương nên H H1 2
và H H1 3 cùng phương Suy ra H H H thẳng hàng 1, 2, 3 0,5
9
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A và D ,
1 3
AB AD CD Giao điểm của AC và BD là E3; 3 , điểm F5; 9 thuộc
cạnh AB sao cho AF 5FB Tìm tọa độ đỉnh D , biết rằng đỉnh A có tung độ
âm
2,0
I
E F
C
B
D A
Gọi I EFCD Ta sẽ chứng minh tam giác EAI vuông cân tại E
Đặt ABa AD, b
Khi đó a b
và a b 0
Ta có AC ADDC b 3a
4 b a 6a 12 b a
Trang 6Suy ra 1 2 2
12
Do đó AC EF (1)
Từ (1) suy ra tứ giác ADIE nội tiếp Suy ra AIE ADE45 (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác EAI vuông cân tại E
0,5
Ta có n AC EF2; 6
nên AC x: 3y120 A3a12;a, (a0)
Ta có EIC EFA và ECD EAB
Theo định lý Talet ta có EI EC CD 3 EI 3FE I 3;15
0,5
Khi đó 3 92 32 360 3 ( )
9
a
Suy raA 15; 9
Ta có AF20;0
nên AD x: 15CD y: 15 Do đó D 15;15
0,5
10
Cho các số thực dương x y, thỏa mãn: x y 1 3xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3 12 12
P
2,0
Ta có:
2 2
3 ( 1) 3 ( 1) ( 1)( 1)
P
2 2
2 2
4
x y
0,5
Đặt t xy t, Từ 0 xy 1 3xy3t2 t 1
3 t 1 t 1 0
Khi đó
2 2
t P
Do t 1P1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 khi
1
2
xy
0,5
-Hết -