2 Viết phương trình đường tròn E có tâm là A và tiếp xúc với đường thẳng BC.
Trang 1SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017 TRƯỜNG THPT HẢI AN Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
-Câu 1 (2,0 điểm)
1) Giải bất phương trình: x2 + < − 5 1 2 x
2) Tìm các giá trị của m để bất phương trình ( m − 1) x2− 2 mx + 2( m + < 1) 0 nghiệm đúng với ∀ ∈ x R
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 3 x + + 1 5 x + = 4 3 x2 − + x 3
2) Giải hệ phương trình:
4 2
1 (2 1) 1
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi ∆ ABC ta luôn có: sin sin 2cos cos
−
2) Chứng minh rằng với ∀ ∈ x R ta luôn có:: 4(sin cos x 5x − sin5x cos ) sin 4 x = x
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ ABC với A(3; 2) , B(5;-2) , C(1; 1)
1) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH của ∆ ABC.
2) Viết phương trình đường tròn (E) có tâm là A và tiếp xúc với đường thẳng BC 3) Cho số thực k > 0 Tìm tọa độ các điểm M trên trục hoành sao cho véctơ
ur uuuur uuuur uuuuur
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực , , , a b x y thoả mãn điều kiện ax by − = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F a= 2+b2 +x2+y2+bx ay+ .
(Học sinh không sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:……… Giám thị số 1:………
Số báo danh:……….………… Giám thị số 2:
………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 NĂM 2017
1.1
5 (1 2 ) 3 4 4 0
1.2
(1đ)
•TH1: Với m = 1 thì BPT có dạng − + < ⇔ >2x 4 0 x 2 ⇒ =m 1 không thỏa mãn ycbt 0,25
•TH2: Với m≠1 thì ycbt / 2 2 2
2
m
2.1
(1đ)
3
3 1 (*)
3 1 1 5 4 2
x TM
x
⇔
=
• Xét PT (*): Nếu x = 1: VT(*) = 2 = VP(*) nên x = 1 là một nghiệm của (*)
Nếu x > 1 thì VT(*) < 2 < VP(*); Nếu x < 1 thì VT(*) > 2 > VP(*)
Vậy (1) có 2 nghiệm x = 0; x = 1
0,5
2.2
(1đ)
Đặt a x= 2−y b xy; =
Hệ trở thành:
= −
0,5
•Với 0
1
a b
=
=
ta có hệ
2
0
1 1
x y
x y xy
− =
⇔ = =
=
•Với 1
0
a b
=
=
ta có hệ
( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0) 0
x y
x y xy
=
•Với 2
3
a b
= −
= −
ta có hệ
2
3
2
3
y
= − + + = =
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( ; )x y ∈{(1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)− − − } .
0,5
3.1
(1đ) 2sin 2 .cos 2 2sin 2 .cos 2 2sin 2 2 .cos 2 2cos cos2 2
3.2
(1đ)
4sin cos (cos sin ) 2sin 2 (cos sin ) 2sin 2 cos 2 sin 4
4.1
(1đ)
⇒ PTTQ của đường cao AH là: −4(x− +3) 3(x− = ⇔ − +2) 0 4x 3y+ =6 0 2x0,25
4.2
(1đ)
Đường thẳng BC: 3x+4y− = ⇒7 0 Đường tròn (E) có bán kính: R d A BC= ( , ) 2= 2x0,25
4.3
(1đ)
Gọi G là trọng tâm ∆ABC và I là trung điểm của GC Ta có: (3; )1
3
3
⇒uur = kMGuuuuur+ kMCuuuuur= kMIuuuur = kMI ⇒M 0,5 5
2 2
4
3 2
a y
b x
+ +
+
=
Xét M =(x ; y),
=
2 2
a
;
b
A , ( )∆ : ax−by= 3
MA =x+ + y+ ⇒ =F MA + a +b
0,25
4
0,5
Trang 3Vậy min F =3 đạt được chẳng hạn khi ( )= − 2
2 2
6 0
2; ; ; y
; x
; b
;