CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.. Phương trình sinx=a... Phương trình cosx=a.. Phương trình tanx=a.. Phương trình cotx=a.. CÁC PHƯƠNG TRÌN
Trang 1BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LỚP 11
Thời gian: ………
Họ tên học sinh: ……… ……….
A LÝ THUYẾT
I CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1 CÔNG THỨC CỘNG 2 CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos 2 a – sin 2 a
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos 2 a –1
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin 2 a
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa
tan(a - b) =
3 CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2 a = 1 2
2
cos a
sin 2 a =
4 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos cos cosa - cosb = -2.sin sin
sina + sinb = 2.sin cos
sina - sinb = 2.cos sin
tan tan
osacosb
a b
c
tan tan sin( )
osacosb
a b
c
5 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)]
sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)]
sin osb= sin( 1 ) sin( )
2
os sinb= 1 sin( ) sin( )
2
II CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1 Phương trình sinx=a.( -1 a 1)
sinx = a x x arcsina+k2arcsina+k2
; k Z +sinx = sin x x +k2+k2
Trang 2sinx = 0 x = k; k Z
sinx = 1 x = + k2; k Z
sinx = -1 x = -+ k2; k Z
2 Phương trình cosx=a.( -1 a 1)
cosx = a arccosa+k2
arccosa+k2
x x
+k2
x x
cosx = 0 x = + k; k Z
cosx = 1 x = k2; k Z
cosx = -1 x = + k2; k Z
3 Phương trình tanx=a.
2 k k
+ t anx=a x=arctana+k ,k + tanx=tan x= +k ,k
tanx=1 x= ,
4 tanx=-1 x=- ,
4
t anx=0 x= ,
k k
k k
k k
4 Phương trình cotx=a.
TXĐ: \k k ,
+cot x=a x=arccota+k ,k + cotx=cot x= +k ,k
cotx=1 x= ,
4 cotx=-1 x=- ,
4
t x=0 x= ,
2
k k
k k
III CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1 Phương trình a.sinx+bcosx=c (a2 b2 0)
2a 2 sinx+ 2b 2 cosx= 2c 2
đặt:
2 2
2 2
os =
sin
a c
a b b
a b
phương trình trở thành: sinx osc cosx sin 2c 2
a b
Trang 3sin(x ) 2c 2
a b
*Chú ý
+Phương trình có nghiệm khi c2 a2 b2
+Nếu a b 0,c0 thì:asinx bcosx 0 tanx b
a
2 Phương trình : asin 2x b sinxcosx+ccos 2x 0 (1)
+Nếu a = 0: bsinxcosx+ccos 2x 0
cosx(bsinx+ccosx)=0 osx=0
bsinx+ccosx=0
c
+Nếu c = 0: asin 2x b sinxcosx=0
sinx(asinx+bcosx)=0 asinx+bcosx=0sinx=0
+Nếu a 0,c 0,cosx 0 : (1) sin22 sinxcosx2 cos22 0
atan 2x b t anx+c=0
B BÀI TẬP
Bài 1 Giải các phương trình
0
sin 2x cos x
tan 3x cot 5x 1 0
2
0
sin x 45 cos2x tan 2x 15 0 1 0 2
sin 2x cos x
3
sin 2x cos2x
3
3
2x
3
3
3 3cot x 3 0 2
6
tan 3x cot 2x 0
tan 3x cos2x 1 0
2
cos 3x 1 sin x 0
6cos 4x 3 3 0
5
1 cos x
3 2
2 sin 3x cos x 0
Bài 2 Giải các phương trình (Dạng: at2 + bt + c = 0)
2
2sin x 3sinx 5 0 6cos x cosx 1 02 2cos 2x cos2x 02
2
cot 2x 3cot 2x 2 0 tan x2 3 1 tan x 3 0 6cos x 5sinx 7 02
Trang 4tan x cotx 2 x
cosx 3cos 2 0
2
cos2x cosx 1 0
Bài 3 Giải các phương trình
2 x cos2x 3cosx 4cos
2
2
2cos 2x 2 3 1 cos2x 3 0 5 1 cos x 2 sin x cos x4 4
3
7cos x 4cos x 4sin 2x 4sin x 3 2 sin2x 8sinx3
2
4
t anx 7
2
cos2x sin x 2cos x 1 0
2
sin 2x 4sinx cos x 2sin x 3sin 2x 7cos 2x 3 02
Bài 4 Giải phương trình (Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx)
2cos x 5sin x cos x 6sin x 1 0 cos x2 3 sin 2x sin x 1 0 2
cos x sin x cos x 2sin x 1 0 cos x2 3 sin x cos x 1 0
2 2 sinx cos x cos x 3 2cos x 4sin x 3 3 sin 2x 2cos x 42 2
3sin x 5cos x 2cos 2x 4sin 2x 0 3sin x2 3sin x cos x 2cos x 2 2
tan x cot x 2 sin 2x cos 2x 3cos x 4sin x cos x sin x 04 2 2 4
4cos x 2sin x 3sin x 0 cos x 4sin x 3cos xsin x sin x 03 2 2
cos x sin x cos x sin x sin x 3sin x cos x 1 02
cos x sin x 3sin x cos x 0
4sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0
3
2cos x sin 3x
2sin x 6sin x cos x 2 1 3 cos x 5 3 0
Bài 5 Giải các phương trình.(Dạng: asinx + bcosx = c)
3 sin 3x cos3x
2
3sin 5x 2cos5x 3 sin x 3 cos x 1
4sin x cos x 4 sin 2x cos 2x 1
sin x 1 sin x cos x cos x 1
3 sin 3x cos3x 2 sin x sin 2x 3cos x2 2
sin x cos x 2 2 sin x cos x
sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x
Trang 5Bài 6 Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho.
1
sin 2x
2
cos x
với x
tan 2x 15 1 với 1800 x 90 0 1
cot 3x
3
với x 0
2
Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
3
1
y 5 cos x sinx
2
4
y 6 2cos3x
Bài 8 Tìm TXĐ
1 cosx
y
sin 2x
y
1 cos3x
2
y 6 cot 3x
3
6
Bài 9 Giải các phương trình (Dạng đối xứng và phản đối xứng)
2 sin x cos x 6sin x cos x 2 0 sin x cos x 4sin x cos x 1 0
sin x cos x 2 sin x cos x 1 0 6 sin x cos x 1 sin x cos x
sin x cos x 2 6 sin x cos x 2 2 sin x cos x 3sin 2x
sin x 2sin 2x cos x
2
Bài 10 Giải các phương trình
cos x cos 2x cos 3x
2
sin x sin 2x sin 3x
2
cos x cos 2x cos3x cos 4x 0 sin 3x sin x sin 2x 0
cos11x.cos3x cos17x cos9x sin18x.cos13x sin 9x.cos 4x