CHUYÊN ĐỀ BĐT, GTLN, GTNN HSG

Tổng hợp phân tích các đề thi HSG Toán của các Tỉnh thành Xét bài toán : với điều kiện R (nếu có) . Tìm giá trị lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất của Tìm GTLN, GTNN của biểu thức ba biến luôn là bài toán có mặt hầu hết trong các đề thi HSG cấp THPT và nó là bài toán hay và khó nhất trong các đề thi. Trong chương trình giảng dạy và học tập bài toán tìm GTLN, GTNN luôn là chủ đề hấp dẫn với người dạy lẫn người học. Việc giảng dạy để làm sao học sinh học tốt chủ đề này luôn là một vấn đề khó. Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức ba biến có nhiều phương pháp, tuy nhiên không có phương pháp nào là vạn năng để giải được mọi bài toán về tìm GTLN, GTNN mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán mà thôi. Qua quá trình học tập và giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT tôi thấy một trong những phương pháp khá hiệu quả là: “ Vận dụng phương pháp hàm số vào việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức ba biến thường gặp”.

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀO VIỆC CHỨNG MINH BĐT

VÀ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN

Bài toán1: Xét bài toán : với điều kiện R (nếu có) Chứng minh rằng

P f (a;b;c) A � (hoặc P f (a;b;c) A)

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh P g(t)� với t D� (Việc làm này hoàn toàn tự nhiên vì việc giải bài toán một biến thường dễ giải quyết hơn bài toán nhiều biến!)

Bước 2: Chứng minh g(t) A� với  �t D

- Vấn đề đặt ra là đánh giá biểu thức P để đưa về biểu thức một biến g(t) và chứng minh g(t) A� (Vấn đề quan trọng nhất và cũng là khó khăn nhất là chúng ta tìm điều kiện của t Đây là bước quan trọng và khó khăn nhất)

- Việc chứng minh g(t) A� có thể làm một cách nhanh chóng hơn bằng cách sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên để giải

- Còn đánh giá P nói chung là phong phú tùy thuộc từng bài toán để lựa chọn cách đánh giá thích hợp (dùng cách biến đổi , sử dụng bất đẳng thức cổ điển Bunyakovsky,

GTNN của biểu thức ba biến thường gặp”

Đường lối chung để giải bài toán trên bằng PP hàm số là đưa biểu thức chứa ba biến số về biểu thức chứa một biến số mới t sau đó sử dụng công cụ đạo hàm , thiết lập bảng biến thiên của hàm số y = f(t) trên tập xác định của nó, từ đó suy ra GTLN, GTNN của biểu thức cần tìm Tài liệu này nhằm giúp các bạn học sinh rộng hơn về hàm số trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức ba biến

+) m là GTNN của hàm số trên D nếu:

P�f(t) ( đối với bài toán tìm GTLN)

2/ Các kiến thức cần ghi nhớ

2.1 Bất đẳng thức cơ bản

a) Bất đẳng thức AM – GM(Côsi): Cho a,b,c là các số thực không âm khi đó:

a b c 3 abc  � 3 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  .

b) Bất đẳng thức Bunyakovsky: với a ,a ,a ,b ,b ,b tùy ý, ta có1 2 3 1 2 3

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

1 Đổi biến đối xứng

Từ những điều kiện giả thiết của bài toán và kết hợp một số bất đẳng thức quen thuộc chúng ta có thể đưa biểu thức ba biến có chứa các biểu thức đối xứng cơ bản về biểu thức một biến Khi đó bài toán đã cho có thể giải quyết được bằng xét hàm số

Các bước giải:

Bước 1: Phát hiện một biểu thức có thể chọn làm biến mới;

Bước 2: Đổi biến, tìm điều kiện của biến mới;

Bước 3: Xét hàm số theo biến mới với điều kiện của biến mới vừa nêu trên;

Bước 4: Kết luận bài toán

nhất của biểu thức P = ab+ bc+ ca+ 5a+ 5b+ 5c+ 4

Vậy Pmax = 22 với t =3 khi đó a= = =b c 1.

(Tất nhiên đối với bài toán này chỉ cần đánh giá theo các BĐT thông thường ta có ngay kết quả)

Ví dụ 2: Cho các số thực không âm x ,,y z thoả mãn x2 y2 z2 3 Tìm giá trị lớn nhất

( 2 3

yz xy t

5 5

f

vì t  3

Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3, 3] Do đó 3 .

14 ) 3 ( ) (t f 

f

Dấu đẳng thức xảy ra khi t 3 xyz1.

Vậy GTLN của P là 3

14, đạt được khi xyz1.

nên hàm số f(t) đồng biến trên [2; 3].

Suy ra MaxP = f(3) = 4, khi a = b = c = 1; MinP = f(2) = 2, khi (a; b; c) = (2; 0; 0).

biểu thức P = 2017 2( ab bc ca  )327a b c2 2 2 3(a b c  )2 12(ab bc ca  ).

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

a b c  

2 Đánh giá kết hợp đổi biến

2.1.Đánh giá ba biến đối xứng

Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:



�, dấu bằng xảy ra khi

2 3(1 ) 1

Và Max f(t) =f(1) = 5/6 Suy ra đpcm, dấu = xảy ra khi a = b = c = 1.

2.2 Đánh giá hai biến đối xứng

Với thiên hướng đưa về xét hàm một biến:

- Khi gặp biểu thức ba biến mà trong đó chứa biểu thức hai biến có vai trò giống nhau thì chúng ta có thể sử dụng B Đ T quen thuộc để đánh giá hai biến đó Kết hợp với giả thiết ràng buộc giữa các biến, chúng ta đưa biểu thức đã cho về biểu thức một biến

- Khi gặp biểu thức ba biến số mà trong đó chưa có biểu thức hai biến có vai trò giống nhau, ta phải đặt ẩn phụ chuyển bài toán về dạng vừa nêu

Ví dụ 7: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

1 6

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

xy z

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn :5(x2  y2 z2) 6( xy yz zx  )

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = 2(x y z  ) (y2z2)

2

t

f t  t

với t ≥ 0 => f’(t) = 2 – 2t 3 => f’(t) = 0 ۣ t = 1

Lập bảng biến thiên =>

3 ( ) 2

=>

3 2

Dấu “ = “ xảy ra ۣ

1 1

 Suy ra được Min P = 16 khi ( ; ; ) (2;2;1)x y z  .

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

4 1

2 4 4

2.4 Đánh giá đại diện

2(3 ) ( )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 (Đpcm)

1 1

1 1

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

Áp dụng với x = a2 , y = b2 ta có

4 4 2 2

4 4 2 2

1 3

 Tương tự

4 4 2 2

4 4 2 2

1 3

=> P  4 dấu xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2

Vậy Pmin = 4 khi a = b = c.

3 Sử dụng tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Nhận xét

a) Cho các hàm số y f x( ) và y g x ( ) xác định trên khoảng ( ; )a b và có đồ thị lần

lượt là (C) và (G) Khi đó

(C) nằm trên (G) ۳ �f x( ) g x( ), x ( ; )a bb) Nếu đồ thị hàm số y f x( ) lồi trên khoảng ( ; )a b và y  f c x c'( )(  ) f c( ) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( ; ( )),c f c c�( ; )a b thì

( ) '( )( ) ( ), ( ; )

f x �f c x c  f c x�a b (1)

c) Đối với đồ thị hàm số lõm ta có bất đẳng thức ngược lại

Bất đẳng thức (1) cho phép ta đánh giá biểu thức f x( ) thông qua biểu thức bậc nhất Hơn

nữa, ta có thể chọn c sao cho dấu đẳng thức xảy ra theo đúng yêu cầu của bài toán.

x y z  

nên

chúng ta xét đồ thị của hàm số ( )f x và tiếp tuyến của nó tại điểm

13

x Ta có

x y z  

Nhận xét Cái hay của kĩ thuật này ở chỗ:

- Thứ nhất, ta có thể đánh giá một biểu thức thông qua biểu thức bậc nhất

- Thứ hai, ta có thể chọn vị trí của tiếp tuyến sao cho bất đẳng thức xảy ra dấu bằng

Ví dụ 15: Cho a,b,c là số thực dương Chứng minh rằng:

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

thị hàm số không luôn luôn lõm trên khoảng (0;� Tuy nhiên ta vẫn có bất đẳng thức)

trọng Do vậy, đối với các BĐT chưa cho sẵn giả thiết này mà có tính đẳng cấp, ta cũng cóthể tự tạo ra các điều kiện của biến (chuẩn hoá) rồi sử dụng phương pháp trên

Nhận xét : Ta thấy rằng yếu tố quan trọng nhất để chúng ta có thể sử dụng phương pháp

này là ta chuyển được Bđt về dạng f (a ) f (a ) f (a ) m1  2   n � hoặc

f (a ) f (a ) f (a ) m   � và a (i 1, ,n)i  thỏa mãn điều kiện nào đó.

C MỘT SỐ BÀI TOÁN

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 33 2 5

2 4

Smin S(1) 2 2 2   � x 2;y  1.

Bài 2: (Nam Định 2013) Cho các số thực x y z, , thay đổi thoả mãn điều kiện x2y2z2 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a c b c )(  ) 4c2 Tìm giá trị

Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi x = y = 1

Bài 4:Cho ba số x,y,z �(0;1] thoả mãn:x y �1z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a=b=c=1�x  y z 1 Vậy GTNN của P bằng

1 1 9 9

t t

 

� f(t) f( )

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

Suy ra:

1 36

f f f

và dấu đẳng thức xảy ra khi a b c  1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2



� 86

, khi a b c 2    .

Bài 9: (Hải Dương 2016) Cho a,b,c là các số thực dương và a.b.c=1, thỏa mãn:

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

-Ta có f t  �10t�0;3 Vậy giá trị lớn nhất của P là 10 tại a = 1, b = c = 2.

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

+

+

5 3 0

f(t)

f'(t) t

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

2

1

c b a bc b

a    

Mặt khác 2(a c )22b2 �(a c ) b� 2 2

5

P 

.Vậy giá trị nhỏ

nhất của P là

9 10



nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (a + 6)(b + 6)(c + 6).

HD: Tìm GTNN của PKhông mất tính tổng quát, giả sử

2 min{ , , } 2 2 2

a  a b c Khi đó theo giả thiết ta có |a| � 3

Đặt t a b c, t    �0;10 Xét hàm số

2304 f(t) = t +

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

Áp dụng bất đẳng thức

2 2 2

, với x y R, � Ta có

2 ( ) 36 6( )

�

Xét hàm số f(a) =

2 ( 9)( 6)

2

với |a| � 3, ta chứng minh được f a( ) 50� , nên P �25 Vậy Min P = 25, khi a = b = - 1, c = -5

Với cách giải như trên chứng ta có thể áp dụng để giải bài sau

Bài 17: Cho a,b,c 0 và a b c 3   Cmr : a4b4c4 �a3b3c3

HD: Bđt cần chứng minh có dạng

a4 a3  b4b3  c4c3 � �0 f (a) f (b) f (c) 0  �

Trong đó f (x) x 4 x3 với x (0;3)� Ta đánh giá như sau: f (x) mx n; x (0;3)�   �

Ta áp dụng viết PTTT tại điểm (1; 0), có:

Do đó ta có lời giải như sau:

Bđt cần chứng minh tương đương a4 a3  b4 b3  c4 c3 �0

z 

4 3 3

0 3

( ) ( ) 3 2 648 min

P

Kết luận: GTNN của P là

648 125

Bài 19: (Q Ninh 2014 - A)

Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a2 2b2 4c2 12 và 0 a b c� � �

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  ab2  4 bc2  ca2  abc b  2 3 b

Có f s'( )   �� � ( )0, s � �p;1 � f s đơn điệu tăng trên � �� �p;1

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

Nhận xét : 1) Qua ví dụ trên ta thấy khi đặt ẩn phụ thì việc xác định miền giá trị của ẩn

rất quan trọng và trong nhiều trường hợp không phải là một việc làm dễ

2)Tìm miền của b ở đây ta đưa về một biến x, rồi tìm miền giá trị của hàm f(x) trên miền

ta vừa đánh giá được của x

Trong nhiều bài toán ta phải đánh giá biểu thức P một cách khéo léo mới thấy được ẩn phụ

Bài 22 (Bắc Giang 2017) Cho các số thực x y z, , không âm đôi một phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2 2 2      

Bài 23: (Hải Phòng 2016) Cho các số thực không âm x y z, , thỏa mãn điều kiện x y z  1. Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

a b c  

�

D CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN

x, y, z là các số thức không âm thỏa mãn

Câu 4: (QN 2012 - B) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 5: (QN 2010 - B) Xét biểu thức

2 2

2 2

x y xy F

   Tìm giá trị nhỏ nhâtt của biểu thức T = xyz

Chứng minh rằng

15 2

a b c  �

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:   3 

Tổ Toán Trường Bạch Đằng Chuyên đề BG HSG tỉnh Môn Toán

Câu 17: Cho x y z, , là các số thực dương thoả mãn x� �y z và x y z  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3

các số thực thỏa mãn hai điều kiện a + b + c = 1 và ab + bc + ca > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 21: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 2017abc Chứng minh

và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :  (   a  1)

c c

b b

a abc P