Chuyên đề BĐT dành cho học sinh THCS ppt

Giới thiệu một số dạng toán bất đẳng thức và phương pháp giải mới, một số sách bất đẳng thức, sự phát triển của toán bất đẳng thức trong thời gian gần đây.. Giới thiệu một số dạng toán

XÊMINA TOÁN SƠ CẤP

Chủ đề

1 Giới thiệu một số dạng toán bất

đẳng thức và phương pháp giải mới, một số sách bất đẳng thức, sự phát triển của toán bất đẳng thức trong thời gian gần đây

2 Cân bằng các số khi áp dụng bất

đẳng thức Cauchy

3 Giải một dạng toán tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

4 Bàn về bài toán hay, cuốn sách hay, các cách ra đề toán.

Thời gian: 18h 20h, ngày 30 11 2008 Tại VP 40 Mạc Đĩnh Chi, Q.1

§1 Giới thiệu một số dạng toán bất đẳng thức và phương pháp giải mới, một số sách bất đẳng thức, sự phát triển của toán bất đẳng thức trong thời gian gần đây

Thế giới Toán học nói chung và vương quốc Toán bất đẳng thức nói riêng khó có thể diễn đạt hết vẻ đẹp kiêu sa huyền bí, sự sáng tạo tinh tế, bất ngờ của nó Khi đã biết thả mình vào vương quốc này cũng như người biết đứng trên tấm ván lướt trên các ngọn sóng của biển cả, vui đùa, chinh phục và mỉm cười nhưng chẳng ai có ý định đi đến điểm tận cùng của thế giới huyền bí này

Trong suốt lịch sử phát triển , Toán bất đẳng thức đã làm mê mẩn tâm hồn biết bao người yêu Toán, từ học sinh trung học

cơ sở tới các nhà Toán học đã thành danh và nhiều nhà Toán học được lưu truyền tên tuổi cũng nhờ toán bất đẳng thức

Rất tiếc rằng phần đông học sinh phổ thông không tiếp cận được vẻ đẹp kiêu sa huyền bí và đầy trí tuệ của Toán bất đẳng thức Nhưng cũng rất mừng vẫn có những học sinh, giới trẻ yêu toán không những biết thưởng thức mà còn góp phần đưa toán bất đẳng thức phát triển lên tầm cao mới Điển hình trong số đó là Sinh viên Phạm Kim Hùng (người Việt Nam) tác giả cuốn sách SÁNG TẠO BẤT ĐẲNG THỨC (bản tiếng Anh là SERECTS IN INEQUALITIES) được N.X.B GIL nổi tiếng của

Mỹ mua bản quyền phát hành tại Mỹ và nhiều nước trên Thế giới (ta sẽ trở lại nội dung cuốn sách này ở phần sau)

Mảnh đất Toán sơ cấp đã được cày xới quá nhiều, sách tham khảo về toán bất đẳng thức ngoài thị trường cũng như sách tham khảo Toán sơ cấp khác cũng cũng tràn ngập, ngay cả các giáo viên Toán cũng không dễ mua được cuốn sách Toán tham khảo có chất lượng, có thể tìm thấy nhiều điều cần sưu tầm, học hỏi Thường sách trên thị trường các tác giả chỉ sưu tầm các bài Toán + lời giải, sắp xếp theo chương mục rồi phát hành Thực ra cách viết sách như vậy cũng đáp ứng được số đông học sinh phổ thông nhưng đối với giáo viên ‚đã có nghề‛ thì loại sách này không đáp ứng được yêu cầu tìm tòi cái mới Tất nhiên mỗi cuốn sách ít nhiều cũng thể hiện phong cách riêng của tác giả hay một vài điểm sáng trong bài toán cụ thể náo đó nhưng số bài tác giả tự ra, tự giải thường chiếm tỉ lệ rất ít, những phương pháp giải toán mới mà tác giả tự nghiên cứu phát minh ra thừơng không có và nếu có cũng chỉ có thể áp dụng trong phạm

vi hạn hẹp

Trong tầm hiểu biết của mình, xêmina này tôi xin giới thệu một số dạng toán bất đẳng thức mới phát triển trong thời gian gần đây và ba đầu sách toán bất đẳng thức tiêu biểu:

‚Bất đẳng thức suy luận và khám phá ‚ của Phạm Văn Thuận và Lê Vĩ

‚Sáng tạo bất đẳng thức‛ của Phạm Kim Hùng

‚Những viên kim cương trong Toán bất đẳng thức‛ của Trần Phương (sắp xuất bản)

I Một số dạng toán và phương pháp chứng minh bất đẳng

thức mới phát triển trong thời gian gần đây

Mục lục trong một cuốn sách bất đẳng thức đại số thông thường:

Chương I: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA, BIẾN ĐỔI TƯƠNG

ĐƯƠNG

Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY) VÀ

PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG

Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI ( B.C.S)

VÀ PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG

Chương IV: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TỶ SỐ, BẤT ĐẲNG

THỨC TRONG TAM GIÁC

Chương V: ĐÁNH GIÁ , TỔNG, TÍCH HỮU HẠN, PHƯƠNG

PHÁP LÀM TRỘI, ĐÁNH GIÁ ĐẠI DIỆN

Chương VI: GIỚI THIỆU MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

THÔNG DỤNG: BERNOULLI , TCHEBYCHEV, HOLDER, MINCÔPKI VÀ VÍ DỤ ÁP DỤNG Chương VII: PHẢN CHỨNG VÀ QUY NẠP TOÁN HỌC

Chương VIII: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ (KHẢO SÁT HÀM

SỐ, TÍCH PHÂN, BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN) Chương IX: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Chương X: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC, PHƯƠNG PHÁP

LƯỢNG GIÁC

BÀI TẬP TỔNG HỢP, CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Bất đẳng thức có các số hạng bậc thuần nhất và phương

pháp chuẩn hóa

Ta hãy xem một bài toán cùng đáp án trong kỳ thi học sinh giỏi liên bang Mỹ:

If the inequality holds for x, y, z, then it also holds for kx, ky, kz,

so it is sufficient to prove the result for x+y+z=3 The first term becomes (x+3)2/(2x2+(3-x)2) = (1/3) (x2+6x+9)/(x2-2x+3) =

(1/3) (1 + (8x+6)/(2+(x-1)2) ≤ (1/3) (1 + (8x+6)/2) = 4/3 + 4x/3 Similarly for the other terms, so the whole expression

Tương tự cho hai biểu thức còn lại và cộng lại ta có

Suy ra đpcm Tại sao thay x, y, z lần lượt bằng kx, ky, kz bài toán không đổi nên ta giải bài toán với x + y + z = 3 là đủ ?

Bản chất là ta thực hiện phép đổi biến sau:

Như vậy qua phép đổi biến trên bài toán không thay đổi nhưng

ta có thêm điều kiện a+b+c=3

Phép đổi biến như trên còn gọi là phép chuẩn hóa cho a+b+c=3

Tương tự ta có thể chuẩn hóa cho a+b+c=1 (chọn k=x+y+z) Chuẩn hóa cho abc = 1 (chọn k =3 xyz)

Những bài toán nào ta có thể áp dụng ph.pháp chuẩn hóa ?

Tất cả các bài toán mà các số hạng của nó có bậc đồng nhất thì

ta đều có thể áp dụng phương pháp này Thực tế những bài toán có thể áp dụng thì nhiều nhưng những bài toán cần áp dụng thì chưa nhiều

Trình chiếu và bình phần đầu chương 4 cuốn “Bất đẳng thức suy luận và khám phá “ của Phạm Văn Thuận và Lê Vĩ

Phương pháp này có từ bao giờ?

Tại sao phương pháp này lại phát triển mạnh trong thời

gan gần đây : “Thi gì học nấy”, “ học gì viết nấy”!

2 Bất đẳng thức Schur và phương pháp p,q,r (còn gọi là

phương pháp A,B,C)

Trình chiếu và bình bài viết về vấn đề trên của 1 HS lớp lớp 11 Chuyên Toán

Quay lại cuốn sách của Phạm Văn Thuận và Lê Vĩ ta sẽ thấy vấn đề này được viết bài bản hơn, tổng quát

hơn

Trình chiếu thêm bài giảng về bất đẳng thức của

Hojoo Lee (người cũng gây được tiếng vang trong cư

dân Toán trên mạng qua các bài giảng này)

Trình chiếu bản thảo cuốn sách bất đẳng thứccủa

Trần Phương đã được Bộ GD làm quà tặng cho HS thi IMO 2007 Tại VN

3 Cuốn sách của một sinh viên Việt nam gây được tiếng

vang lớn cho cư dân Toán sơ cấp trên thế giới

Người báo cáo sẽ giới thiệu sơ về Phạm Kim Hùng, sự ra đời cuốn ‚sáng tạo bất đẳng thức

Cuốn sách này bản tiếng Anh là Serects in Inequalities được N.X.B GIL nổi tiếng của Mỹ mua bản quyền và chia thành 2 volumes, volume 1 là Basic Inequalities Volume 2 là Advance Inequalities phát hành tại Mỹ và nhiều nước trên Thế giới với giá mỗi volumes là 30USD

Trong nước cũng có hai NXB phát hành là NXB Tri Thức và

NXB Hà Nội (trong tay người viết bài này có 1 cuốn của NXB

Hà Nội ai muốn photo xin liên hệ nhà sách TRẮC LAN số 65F Nguyện Thái Học Q.1)

Trình chiếu về mục lục cuốn sách

Gới thiệu qua về phương pháp dồn biến

Giới thiệu phương pháp phân tách bình phương S.O.S

4.“Những viên kim cương trong bất đẳng thức” một đại từ điển về toán bất đẳng thức

Khi Phạm Kim Hùng viết xong bản thảo ‚Sáng tạo bất đẳng thức‛, qua mai mối Hùng tìm tới một ‚đại sư phụ‛ về toán bất đẳng thức nhờ xem giúp Xem song, Sư phụ đánh giá rất cao tài năng của Hùng đặc biệt là phương pháp dồn biến và SOS

Nhưng sau đó Sư phụ lôi ra bộ bản thảo đồ sộ viết bằng tiếng

Anh tựa đề Collections of topics, methods and techniques in

algebraic inequality demonstration (tuyển tập các chuyên đề, phương pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức) dày 2222

trang đã được hoàn tất vào tháng 1 năm 2005 và chỉ ra rằng ý tưởng chính của hai phương pháp đó đã được sư phụ trình bày

rất tường minh trong bản thảo này (ở đẳng cấp cao hơn) Mến

phục tài năng của người trẻ tuổi như Hùng, Sư phụ và Hùng cùng nhau ký một hợp đồng đặc biệt công nhận bản quyền trí tuệ của nhau, công nhận những phương pháp này do hai người độc lập phát minh ra Sư phụ vẽ bìa giới thiệu bản thảo cuốn sách của Hùng cho NXB Trí thức phát hành

Sư phụ đó là Trần Phương Nhà giáo Trần Phương gây ‘sốc‛ cho dư luận toàn Quốc vào kỳ thi Đại học năm 2007 qua việc đưa 5 học sinh lớp 6 của mình đến Tòa soạn Báo Tiền Phong cho giới báo chí chứng kiến tận mắt các đệ tử nhí của mình giải đề thi Đại Học môn Toán như thế nào Kết quả học sinh thấp nhất đạt 7.75 điểm và cao nhất là 8,25 điểm

Trần Phương hiện là Giám đốc Trung tâm hỗ trợ nghiên cứu phát triển các sản phẩm trí tuệ Việt nam, là người đa tài, hát hay, đàn giỏi, nhảy như vũ công, sáng tác nhạc như nhạc sĩ chuyên nghiệp Bản nhạc chính thức của kỳ thi Toán Quốc Tế tổ chức tại Việt Nam năm 2007 do Trần Phương sáng tác, bản

nhạc nền cho kỳ thi hoa hậu Hoàn Vũ tổ chức tại Việt Nam năm

2008 cũng của Trần Phương này

Trần Phương còn là tác giả Gameshow truyền hình Thần đồng Đất Việt của VTV, được giải thưởng Tinh hoa Việt Nam trong dịp triển lãm diễn đàn APEC và hội nhập 12/2006

Các sách của Trần Phương đã xuất bản: Kỹ thuật chứng

minh bất đẳng thức, Tuyển tập các chuyên đề hàm số, Tuyển tập các chuyên đề hệ thức lượng giác, Tuyển tập các chuyên đề tích phân, Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán , đặc biệt cuốn ‚Phương pháp mới giải đề thi ĐH môn Toán‛ được 3 nhà xuất bản tái bản tới 15 lần

‚Những viên kim cương trong bất đẳng thức‛ bản rút gọn bằng tiếng Anh đã được Bộ Giáo Dục in làm quà tặng cho các học sinh dự thi Toán quốc Tế (IMO) tại Việt Nam năm 2007 Bản tiếng Việt cũng đã được Trần Phương hoàn tất dày trên

1000 trang khổ lớn dự kiến NXB Giáo Dục phát hành đầu năm

§2 Cân bằng các số(đại lượng) khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM GM)

VD1: Cho x, y là các số thực dương, tìm GTNN của:

Đúng nhưng dấu bằng không xảy ra!

Giải đúng: Ta có P = 3 x2 y2 1 x2 y2 2xy 2 (cauchy)

VD2: Cho a, b là các số thực dương thỏa a+b ≤ 1

VD3 (Đề thi ĐH khối A năm 2003):

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa x+y+z ≤ 1 CMR:

Giải : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ:

Với mọi số thực a, b, x, y ta luôn có:

Aùp dụng bất đẳng thức trên hai lần ta có:

2 (cauchy)

Chú ý bài toán có thể tổng quát cho n số

Cho n số thực dương x i (i= 1, n ) thỏa n i

Đới với học sinh bậc THCS giải với n = 2 là đủ khó

Nhận xét: Cả 3 ví dụ trên thấy ngay rằng mấu chốt

thành công của lời giải là việc tách các sốâ trước khi áp dụng bất đẳng thức cauchy

Vậy tại sao lại có thể tách được như trên ?

Diễn giả sẽ thuyết trình phương pháp tách !

§3 Một bài toán tìm giá trị lớn nhất

(GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Bài toán tổng quát: Cho x, y , z là các biến số không

âm thỏa x + y + z = m Tìm GTLN, GTNN của

P = a.xp + b.yq +c.zr

Trong đó m, a, b, c là các hằng số dương và p,q,r N*

Mở rộng bài toán, tổng quát hóa bài toán một việc làm thường xuyên, kinh điển của dân Toán, mãi mãi không lỗi thời!

Ta bắt đầu từ bài toán quen thuộc, đơn giản:

Bài toán 1 : Cho x, y , z là các biến số không âm thỏa

Lời giải: Ta có (cauchy)

GTNN:

Nháp và nhẩm: Vai trò của x, y như nhau, giả sử Pmin

xảy ra khi x=y= x’≥0 , z = z’≥0 khi đó áp dụng bđt

13 1

z '

6Thay vào (I) ta có ngay lời giải nhưng về hình thức lời giải và kết quả quá xấu

Ta sửa đề để có bài toán với lời giải đẹp hơn

Giả sử giả thiết ban đầu là x + y + z = m

Tương tự như trên ta có x ' x ' z '2 m

2 2 3

Phép đổi biến như trên còn gọi là phép co với hệ số bằng 4 cũng có khi còn gọi là phép vị tự số Phép đổi biến này

nhằm sử dụng tính chất nghịch biến của hàm y = a x với

a (0;1) Tính chất này giải quyết được nhiều bài toán

Khi (x; y; z) = (0;0;4) thì P = 64 Vậy P max = 64

GTNN: Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Mở rộng bài toán thêm một bước nữa, cho hệ số của

các biến khác nhau:

Bài toán 4 : Cho x, y , z là các biến số không âm thỏa

x + y + z = 7

Tìm GTLN, GTNN của P = 3x2 +2 y2 +z3

Khi (x; y; z) = (0;0;7) thì P = 343 Vậy Pmax= 343

GTNN: Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Khi (x;y;z) = 2;3; 2 thì P =38 Vậy Pmin= 38

Đến giờ này ta không còn bỡ ngỡ với những con số từ trên trời rớt xuống lời giải Với các con số trong đề bài sau khi xét bài toán tổng quát ta sẽ có câu trả lời cho câu hỏi

“từ đâu mà có?”

Ta trở lại bài toán tổng quát

Cho x, y , z là các biến số không âm thỏa x + y + z = m Tìm GTLN, GTNN của

Vậy Pmax = max(amp+1+bmq+1+cmr+1)

khi (x; y; z) bằng (m; 0; 0) hoặc các hoán vị của nó

GTNN:

Giả sử GTNN xảy ra khi (x; y; z) = (xo; yo; zo) tương tự như

p 1 q 1 r 1

Từ hệ trên giải ra x0; y0; z0 rồi suy ra lời giải

Đây chưa phải là lời giải tổng quát nhưng cho ta hướng giải rất tích cực cho các bài giải được ở dạng này Khi ra đề toán cho các trường hợp riêng dạng này ta chỉ cần chọn trước các giá trị thỏa (*) sao cho khá đẹp mắt là ta có bài toán đủ hay, đủ khó cho học sinh bậc phổ thông

§4 Bàn về bài toán hay, cuốn sách hay, cách ra đề toán bất đẳng thức.

Ta hãy xét cách chế đề toán theo cách sau:

Hiển nhiên có (x+y 2)2+(x 1)2+(y 1)2 ≥ 0 x

Khai triển rút gọn ta có 2x2+2y2+2xy 6x 6y+6 ≥ 0 x

Vậy ta “sáng tạo” được đề toán:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Đề toán trên không dễ, nhưng ra đề như vậy thì học sinh lớp 8 bình thường cũng có thể ra đề và viết đáp án cho kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Riêng tôi, tôi rất khó chụi khi gặp loại đề thi như thế này Bắt học sinh lảm bài toán này chẳng khác gì bắt các em mở một chiếc khóa số, học sinh mở được khóa chưa hẳn là học sinh giỏi!

Một cách khách quan thì bài toán như trên không thể gọi là bài toán hay

Thế nào là bài toán hay ?

Theo quan điểm của tôi một bài toán hay (cụ thể ở đây là toán bất đẳng thức) là bài toán hội được các điểm sau:

Hình thức đơn giản, cân đối

Sử dụng được các kiến thức, các bài toán căn bản

Đáp án không có quá nhiều phép biến đổi hoặc tính toán

Không bắt người giải theo kểu “rà mở khóa số”, nếu đường đi quá kín thì đó là đường đi ngắn gọn đẹp mắt dành cho những học sinh thông minh đặc biệt, nhưng cũng có đường đi dài hơn, cơ bản hơn cho học sinh khác

Tuy nhiên vấn đề sử dụng loại bài tóan cơ bản nào và sự

‚bịt đường đi‛ ở mức nào còn phụ thuộc vào đối tượng mà ta ra đề

Thế nào là cuốn sách (cụ thể là cuốn bất đẳng thức) hay ?

Sách hay phụ thuộc rất nhiều vào chủ quan của người đọc Có cuốn có rất nhiều điều cần học hỏi với người này nhưng lại không có gì mới đối với người khác Tuy nhiên cuốn sách hay vẫn có tiêu chí chung Theo quan điểm của tôi sách hay phải hội được các yếu tố căn bản sau:

Có cấu trúc chặt chẽ, trình bày lý thuyết rõ ràng, ngắn gọn, tường minh

Hệ thống bài tập từ dễ đến khó, lời giải phải “sáng” dễ hiểu

Không “cắt dán” quá nhiều từ sách, tài liệu khác

Tác giải phải có khám phá của riêng mình, lời dẫn, lời bình, phong cách thể hiện phải có nét riêng

Ta hãy xem 1 số trang sách trong cuốn bất đẳng thức đầu tay của Trần Phương viết vào năm 1994

Chiếu, bình một số trang sách trong cuốn sách trên

Ra đề toán như thế nào?

Toán học đương nhiên xuất phát từ cuộc sống, nhiều bài toán bất đẳng thức, cực trị từ đời thường mà ra Các bài toán tối ưu trong lao động thực tế luôn thách thức toán học và thực tế gần như không có phép tính đúng mà tất cả chỉ là phép tính gần đúng, đáng giá sai số trong phép tính gần đúng cũng là những bài toán bất đẳng thức… Nhưng ngày nay những bài toán sơ cấp mới và hay cho học sinh THPT xuất phát từ cuộc thực tế rất khó kiếm, đa số đều sinh ra từ trong đầu trong óc những người yêu toán Vậy nó được sinh ra như thế nào?

Khó có thể kể hết các cách người ta sáng tạo ra đề toán, ở đây tôi chỉ ra 5 phương pháp ra đề toán thường dùng

1 Từ kết quả hiển nhiên đúng đã biết, khai triển rút gọn, thêm “mắm, muối” vào các vế để được bài toán mới

2 Tổng quát hóa bài toán, mở rộng bài toán đã có, xét trường hợp cá biệt của bài toán lớn

3 Từ bài toán cũ, đổi biến,” nhào nặn” ra bài toán mới

4 Chồng nhiều bài toán cơ bản đã có thành bài toán mới

5 Người ta tìm ra một phương pháp mới, lý thuyết mới sau đó

sáng tạo ra các bài toán phù hợp với lý thuyết mới

Phương pháp 1 tôi đã lấy VD (đề thi HSG Q.1 năm 2003),

tôi không bình thêm về phương pháp này

Phương pháp 2 quá kinh điển, giáo viên và học sinh vẫn thường làm Phần trên tôi đã trình bày 1 bài toán được tạo ra từ phương pháp này