ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên: Cho đường cong C có phương trình yf x hàm phân thức.. Hãy tìmnhững điểm có tọa độ nguyên của đường cong?. Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm

CHỦ ĐỀ 8 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C có phương trình m) yf x m( , ), trong đó f là hàm đa

thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2 Hãy tìm

những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

A B

A B C

 Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C m)

II Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong ( )C có phương trình yf x( ) (hàm phân thức) Hãy tìmnhững điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung

độ của điểm đó đều là số nguyên.

Phương pháp giải:

o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

o Bước 2: Lí luận để giải bài toán

III Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong ( )C có phương trình yf x( ) Tìm những điểm đối xứng nhauqua một điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho đồ thị  C :yAx3Bx2Cx D trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm ( , ) I x y I I

Phương pháp giải:

 Gọi M a Aa ; 3Ba2Ca D N b Ab ,  ; 3Bb2Cb D  là hai điểm trên  C đối

xứng nhau qua điểm I

Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị  C :yAx3Bx2Cx D Trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải:

 Gọi M a Aa , 3Ba2Ca D N b Ab ,  , 3Bb2Cb D  là hai điểm trên  C đối

xứng nhau qua gốc tọa độ

 Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ , M N

Bài toán 3: Cho đồ thị  C :yAx3Bx2Cx D trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d y: A x B1  1.

Phương pháp giải:

M a Aa Ba Ca D N b Ab Bb Cb D là hai điểm trên  C đối

xứng nhau qua đường thẳng d

 Giải hệ phương trình tìm được M, N

IV Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

Loại 2 Khoảng cách từ M x y đến tiệm cận đứng  0; 0 x a là hx0 a

Loại 3 Khoảng cách từ M x y đến tiệm cận ngang y b 0; 0  là hy0 b

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là

giao của một đường thẳng với một đường cong ( )C nào đó Vì vậy trước khi

áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ củachúng

2.Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số ax b c 0, ad bc 0

Nếu A thuộc nhánh trái thì A A

Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số  C có phương trình yf x( ) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

Gọi M x y và tổng khoảng cách từ  ;  M đến hai trục tọa độ là d thì

Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm sốdựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d

Bài toán 3: Cho đồ thị ( ) C có phương trình yf x( ) Tìm điểm M trên ( ) C

dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

 của hai tiệm cận

Gọi M x M;y M là điểm cần tìm Khi đó:

 luôn đi qua một điểm M

cố định khi m thay đổi Tọa độ điểm M khi đó là

Câu 8. Hỏi khi m thay đổi đồ thị (C của hàm số m) y (1 2 )m x43mx2 m1 đi qua

bao nhiêu điểm cố định ?

Câu 9. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị  C của hàm số 2 1

1

x y x





 mà có tổng khoảngcách đến hai đường tiệm cận của  C bằng 4 là

một điểm M x M;y M cố định khi m thay đổi, khi đó x M y bằng M

Câu 11. Cho hàm số y x3mx2 x 4m có đồ thị (C và m) A là điểm cố định có

hoành độ âm của (C Giá trị của m) m để tiếp tuyến tại A của (C vuông m)góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

Câu 13. Trên đồ thị  C của hàm số y x 3 5x26x3 có bao nhiêu cặp điểm đối

xứng nhau qua gốc tọa độ ?

Câu 17. Trên đồ thị ( )C của hàm số 6

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

Câu 22. Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số 2

2

x y x





 sao chotổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏnhất là







x y

x , số điểm có hoành độ lớn hơn tung độ là

A 2 B 8 C 6 D 4

Câu 25. Cho hàm số 2

1

x y x

Câu 26. Cặp điểm thuộc đồ thị ( )C của hàm số 3





 mà có khoảng cáchđến tiệm cận ngang của  C bằng 1 là





 có đồ thị  C Gọi d là khoảng cách từ một điểm M

trên  C đến giao điểm của hai tiệm cận Giá trị nhỏ nhất có thể có của d là

A 2 B 2 3 C 3 2 D 2 2

Câu 32. Cho hàm số 1

1

x y x





 có đồ thị  C Gọi M là một điểm thuộc đồ thị  C và

d là tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C Giá trị nhỏ nhất của d cóthể đạt được là

C 1. D Không có điểm M thỏa yêu cầu.

Câu 37. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị ( )C của hàm số 2 2

Câu 38. Biết đồ thị (C của hàm số m) y x 3 3(m1)x2 3mx2 luôn luôn đi qua hai

điểm cố định P x y và  P; P Q x y khi  Q; Q m thay đổi, khi đó giá trị của y P y Q





 sao cho khoảng cách

từ điểm I( 1 ; 2 ) đến tiếp tuyến của  C tại M là lớn nhất.là





 có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M

bất kỳ của  C luôn cắt hai tiệm cận của  C tại A và B Độ dài ngắn nhấtcủa đoạn thẳng AB là

Câu 42. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 2

2 1

x y x





 sao cho M cách đềuhai điểm A2,0 và B0, 2là

; 2 5 1 , 2 5 1

D Không tồn tại điểm M

Câu 43. Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số

2 2 21





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai tiệm cận của  C đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

Câu 45. Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị  C của hàm số

33

x y

Câu 46. Biết đồ thị (C của hàm số m) y x 4mx2 m2016 luôn luôn đi qua hai điểm

M và N cố định khi m thay đổi Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là

A ( 1;0)I  B (1;2016)I C (0;1)I D I(0;2017)

Câu 47. Cho hàm số 2

3

x y x





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

6 Câu 48. Cho hàm số

2

3 32

y x

x đối xứng nhau quađường thẳng :d x 2y 6 0 là

x có đồ thị ( )C Hỏi trên ( ) C có bao nhiêu điểm có

hoành độ và tung độ là các số tự nhiên

Câu 52. Cho hàm số 4 2

y x mx m có đồ thị (C Gọi m) A là điểm cố định cóhoành độ dương của (C Khi tiếp tuyến tại m) A của (C song song với m)đường thẳng :d y16x thì giá trị của m là

1

x y x





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai tiệm cận của  C đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 55. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 2

2

x y x

1

x y x

Câu 63. Tọa độ hai điểm trên đồ thị  C của hàm số yx33x2 sao cho hai điểm

đó đối xứng nhau qua điểm M–1; 3 là

A 1;0 ; 1;6   B.1;0 ; 1;6    C 0; 2; 2; 4 D. 1;0 ; 1;6  .

Câu 64. Trên đồ thị  C của hàm số 3

1

x y





 sao cho tổngkhoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất là





 cách đều tiệm cậnđứng và trục hoành là





 sao cho khoảngcách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệmcận đứng?

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

x y

2

a a

x y

x y

x y

x y

M M

x

M y

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình : d y x

Vì  vuông góc với d nên ta có 4m13 1 m3

Gọi A a a ; 3 5a26a3 , B b b; 3 5b26b3 là hai điểm trên  C đối xứng

nhau qua gốc tọa độ.

Đồ thị hàm số (C có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi m)

và chỉ khi tồn tại x0 0 sao cho y x( )0  y x ( 0)  tồn tại x0 0 sao cho

1,

1

m A

cx d Gọi M là điểm tùy ý thuộc  C Tiếp tuyến

tại M cắt hai tiệm cận tại ,A B Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Khi đó diệntích tam giác ABIluôn là hằng số Cách tính nhanh:

1 Chọn M2,3 thuộc  C Viết phương trình tiếp tuyến tại M là

Nhắc lại: Điểm M( ) :C yf x  sao cho khoảng cách từ M tới Ox bằng k

lần khoảng cách từ M tới Oy có hoành độ là nghiệm phương trình

1

3

a a

Vậy giá trị nhỏ nhất của d bằng 2.

A x x x x B x x x x là hai điểm trên ( )C đối

xứng nhau qua trục tung

(1)0

3

152

0 0

2 2 2; 1;1; 22

0

14

x y

0 2

0

0 2 0

0 2 0

9

0

2 0

2 0 2 0

Đồ thị hàm số (C có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi m)

và chỉ khi tồn tại x0 2 và x0 0 sao cho y x( )0  y x( 0)

 tồn tại x0 2 và x0 0 sao cho

22

m m

Phương trình đường trung trực đoạn AB là y = x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của

Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài toán là       ,12 5

2 5 1

; 2 5 1 , 2 5 1

12

3 5

M

x d

Giả sử  cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B Khi đó hoành độ của , A B là

nghiệm của phương trình

h x

x x

2

x   y  (loại)

13

2

x   y  (loại)  x0  7 y0  1 M(7;1)

Câu 52. Chọn A

Gọi A x y , ( ; )0 0 x0 0 là điểm cố định cần tìm

A y

Phương trình tiếp tuyến của (C tại điểm (1;0) m) A có dạng y(4m 4)(x1)hay y(4m 4)x 4 4m ( )

Vì  song song với d nên 4 4 16 5 5

2 2

2

1 32

2 2 01

a a

a a

a a