BÀI TOÁN THỰC TẾ CHƯƠNG HÀM SỐ

Người ta cắt ở bốn góc của tấmnhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, rồi gập tấmnhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.. Đáp án D Câu 2:

Ta sẽ xem xét hiệu quả của ứng dụng điểm rơi BĐT cauchy vào giải toán tìm min max hình học

Câu 1 [Trích đề thi minh họa 2017]Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt ở

bốn góc của tấmnhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấmnhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhậnđược

thể tích lớn nhất?

Bài giải:

3

27

cm 3

(Theo BĐT Cauchy cho 3 số dương)

Dấu bằng có khi và chỉ khi2x 6 x 0   �x 2 cm Đáp án D

Câu 2: Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước thỏa mãn:

Tổng của chiều dài và chiều rộng bằng 12cm; tổng của chiều rộng

và chiều cao là 24cm Hỏi thể tích lớn nhất mà khối hộp đạt được

là bao nhiêu?

Bài giải:

Gọi chiều rộng làx Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

Thể tích hình hộp là: V x 12 x 24 x    1.2x 12 x 24 x   

2

�

(cm3) Dấu bằng có khi và chỉ khi 2x 12 x 0   �x 4 cm Đáp án C

Câu 3:Một miếng bìa hình chữ nhật có độ dài các cạnh là a,b Hỏi phải tăng cạnh này và bớt

cạnh kia một đoạn bao nhiêu để diện tích hình chữ nhật là lớn nhất?

A

a b

2



B

a b 2



a b

Bài giải:

Gọi độ dài cần điều chỉnh là x Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

Diện tích miếng bìa sau khi điều chỉnh là: S a x b x   1 a b2

2

Dấu bằng có khi và chỉ khi

a b

2



Đáp án A

Câu 4 Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một

lăng trụ đứng (H.12) Hai mặt bên ABB’A’ và ACC’A’ là

hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x (m) là

độ dài cạnh BC Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích

lớn nhất, tìm giá trị đó

Bài giải :

Ta có : V 5x 100 x m , 0 x 10  2 3  

2

Dấu bằng có khi và chỉ khi x 100 x 2 �x 5 2

Câu 5: Cho một hình cầu có thể tích

4

3 (cm3) Người ta muốn đặt hình cầu này nội tiếp một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy R Xác định h vàR để hình nón có thể tích nhỏ nhất

Bài giải: Bán kính hình cầu là:

3 3V

4

(cm)

Ta có: Thể tích hình nón là:

2 1

3



Bây giờ ta chỉ càn tìm liên hệ giữa h và R qua gỉa thiết bài toán

Cắt tổ hợp gồm mặt cầu và hình nón đã cho bởi mặt phẳng (P) qua

trục SH của hình nón ta được một đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác

cân SAB (nhv) Ta có: r OH, h SH, R HA  

Áp dụng công thức SSABprtrong đó:

AB SA SB 2R 2 h R

Ta có: SAB

1

S SH.AB SH.AH R.h

2

suy ra

SAB

h

h 2









Ta có:

2

Dấu bằng có khi và chỉ khi

4

h 2

 suy ra R 2

Vậy giá trị thỏa mãn đề bài là: h 4 và R 2 (cm)

Câu 6.Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu.

Hộp có đáy là một hình vuông cạnhx(cm), chiều cao h (cm) và có thể

tích là Vcm3 Tìmxsao cho diện tíchS x 

của mảnh các tông là nhỏ nhất

Diện tích mảnh các tông: S x  x2 4hxmà V x h 2 �h(cm)

2

(Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương)

Dấu bằng có khi và chỉ khi

x

Vậy x32V

Câu 7: Cho tam giác ABC cạnha Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm

trên cạnh BC Hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xác định

vị trí điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Bài giải:

Đặt

a

BM x 0 x

2

Ta có: MN a 2x; QM BM.tanB x 3   $

Diện tích hình chữ nhật cần tìm là:

S QM.MN x 3 a 2x    3 ax 2x

   2 2

3.2x a 2x 3 2x a 2x a 3

Dấu bằng có khi và chỉ khi

a 2x a 2x x

4

Vậy diện tích hình chữ nhật có giá trị lớn nhất là

2

a 3

8 tại

a BM 4



Câu 8.Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán

kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0 x 2   .Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó

Bài giải:

Thể tích cái phễu là :

2 1

3



Ta có chu vi đáy là: 2 r Rx 

suy ra

Rx

r

2



và

2 2

2

Suy ra lúc này :

3

2



Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có :

2

1 3R. x 16 x 1 3R 16. . . 2 3 R

Dấu bằng có khi và chỉ khi

2 2

3





�



�

�

�

Suy ra thể tích khối nón đật giá trị lớn nhất đạt tại

2 2 x

3 



và GTLN đó là

3

2 3 R

27 

Câu 9.Một nhà máy cần sản xuất một bể nước bằng tôn có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ

nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích

4

3 m3 Hãy tính kích thước của bể sao cho tốn ít vật liệu nhất

Bài giải:

Gọi chiểu rộng, chiều dài, chiều cao của bể tôn lần lượt là a,2a,h

Thể tích của bể tôn là:

2

2

Để tốn ít vật liệu nhất � diện tích bề mặt bể tôn không nắp là nhỏ nhất

Diện tích bề mặt bể tôn là:

2

2 a.2a 2.a.h 2.2a.h 2a 6ah 2a 6a

3a

Dấu bằng có khi và chỉ khi

(m)

Vậy kích thước của bể tôn là : Chiều dài: 2, Chiều rộng: 1, Chiều cao:

2

3 (m)

LUYỆN TẬP

Câu 10 Nguời ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai đáy, với thể tích cho

trước bằng V Hãy tìm kích thước của hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất

A) 3 3 

B)

C) 3  3 

Câu 11: Ông A cái ao diện tích 50m2 để nuôi cá điêu hồng Vụ vừa qua ông nuôi với mật

độ 20 con/m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình,

ông thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 Kg

Vậy vụ tới ông phải mua bao nhiêu cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? và

năng suất đó là bao nhiêu? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi)

A) 26783 kg 

B)16484 kg 

C) 26374 kg 

D) 16384 kg 

Câu 12 : Một nhà máy dự định sản xuất một loại thùng hình trụ có chiều cao là h, bán kính

đáy là r Biết rằng chi phí sản xuất cho mỗi thùng như vậy được xác định theo công thức:

C 5r 60 rh Hãy xác định r, h sao cho thùng có thể tích mong muốn là 36 m 3

với chi phí sản xuất là thấp nhất?

A) h2 m

B) h 1 m





C) h 1 m

2 D) h3 m

Câu 13: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa hình tròn bán kính R,

nếu 1 cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính hình tròn?

D)

2

R 2

Câu 14: Một sợi dây cứng dài 1m được cắt thành 2 đoạn 1 đoạn được cuộn thành hình

tròn, đoạn kia thành hình vuông Tìm độ dài mỗi đoạn nếu tổng diện tích hình tròn và

hình vuông là nhỏ nhất?



  và

4 4



 2 và  

2

4

4 và  

4



  2 và



  4

Câu 15:Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành khách Nếu 1 chuyến xe chở

được x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là

2

x 3 40

� �($) Tính số hành khách trên mỗi

chuyến để thu được trên mỗi chuyến là lợi nhuận lớn nhất và số tiền đó là bao nhiêu?

Câu 16:Người ta muốn làm một cái hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều dài đáy gấp

đôi chiều rộng và có thể tích 10 cm3 Giả sử giá tiền vật liệu làm đáy thùng là 10.000đ/m2

và vật liệu làm mặt bên là 5000đ/m2 Hãy xác định chiều cao của thùng để chi phí của

thùng nhỏ nhất

A)

3

3

15

2 15

5 15

7 15 4

Câu 17:Bạn muốn xây dựng một bình chứa nước hình trụ có thể tích 72m3 Đáy làm

bằng bêtông giá 100 nghìnVND/m3, thành làm bằng tôn giá 90 nghìnVND/m3, nắp bằng

nhôm không gỉ giá 140 nghìnVND/m3 Vậy phải chọn kích thước hình là như thế nào để

chi phí xây dựng là nhỏ nhất ?

A)  3

3

r

B)  3

3 r

3 r

D) 3

2 r

Câu 18:Cho hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R Xác định thể tích hình trụ lớn nhất của

hình trụ

A)

3

4R

3 2R

3 2R

3 4R

3 3

Câu 19:Cho nửa hình cầu bán kính r không đổi Một hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r1. Hãy xác định h và r1để diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất biết rằng: mặt ngoài của hình nón tiếp xúc với mặt cầu và 2 đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc 1 mặt phẳng

Câu 20: Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy hình vuông không nắp có thể

tích là 4 Lít Tìm kích thước của thùng để lượng vàng dùng mạ là ít nhất? Giả sử độ dày

d mm của lớp mạ tai mội nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau.

A) 3 dm, cao 1 dm B) 2 dm, cao 1 dm C) 2 dm, cao 2 dm D) 4dm, cao 1 dm

Câu 21:Một miếng bìa hình chữ nhật có kích thước

12 64cm� Người ta muốn cắt miếng bìa sao cho tổng chiều

dài và chiều rộng sau khi cắt giảm đi10cm Hỏi người ta nên

cắt chiều rộng giảm đi bao nhiêu để thu được diện tích miếng

bìa là lớn nhất

Câu 22: Một cửa hàng bánh nhỏ vào dịp lễ khai trương đặt ra giá như sau : Nếu 1 kíp trong quán

cóakhách hành thì giá cho mỗi người sẽ là:

3

a 2 30

� � (đô la) Hỏi với lượng khách bao nhiêu thì

cả hàng thu được lợi nhuận lớn nhất ?

Câu 23: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm Trên các cạnh AB, BC,CD,DA, lấy theo thứ

tự các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = D Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Câu 24: Cho tam giác vuông ABC có độ dài các cạnh góc vuông AB = 6 cm, AC = 8cm.M là

điểm di chuyển trên cạnh huyền BC.Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và

AC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ADME

Câu 25 : Cho hình chữ nhật ABCD Trên các cạnh BC,CD lần lượt lấy các điểm K,M sao cho

BK : KC = 4 : 1, CM : MD = 4 : 1.Tìm tỉ số AB : BC để số đo góc �KAM lớn nhất

Câu 26: Cho hình vuông ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông)

Một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N Tính độ dài nhỏ nhất của MN

A) a( 2 1) B)3a( 2 1) C) a( 2 1) D) 2a( 2 1)

Câu 27: Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB

các nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.Gía trị diện tích khi đó là

A)

a2

a2

2

a 4

Câu 28: Cho đường tròn (O;R) Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc

ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) trong đó bán kính đường tròn (O2) gấp đôi bán kínhđường tròn (O1) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O1) và(O2)

A)

R

3 và

4R

R

3 và

2R

2R

3 và

4R

2R

3 và

5R 3

Câu 29Vụ vừa qua ông Năm trồng50 câytáo trong vườn với sản lượng là 7kg /cây để đưa quả ra

chợ bán Theo kinh nghiệm trồng cây của mình,ông thấy cứ trồngbớt đi 1cây thì khối lượng táo

sẽ thu thêm 2kg/cây Vậy vụ tới ông phải trồng bao nhiêu cây để tổng năng suất cao nhất? Năng suất đó là bao nhiêu? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình trồng)

LỜI GIẢI

Câu 10 Nguời ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai đáy, với thể tích cho

trước bằng V Hãy tìm kích thước của hộp sao cho tốn ít vật liệu nhất

A) 3 3 

B)

C) 3  3 

Bài giải :

Gọi bán kính đáy và chiều cao hộp sữa lần lượt là r,h

Thể tích khối hộp là:

r

Diện tích toàn phần hộp sữa là: S 2 rh 2 r    2

Hộp tốn ít vật liệu nhất khi Smin

Ta có :

3

Dấu bằng có khi và chỉ khi

3 2

4







Vậy kích thước của hộp sữa thỏa mãn yêu cầu là

Câu 11: Ông A cái ao diện tích 50m2 để nuôi cá điêu hồng Vụ vừa qua ông nuôi với mật

độ 20 con/m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình,

ông thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 Kg

Vậy vụ tới ông phải mua bao nhiêu cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? và

năng suất đó là bao nhiêu? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi)

A) 26783 kg 

B)16484 kg 

C) 26374 kg 

D) 16384 kg 

Bài giải:

Số cá ông thả trong vụ vừa qua là: 50.20 = 1000 (con)

Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phẩm vụ vừa qua là : 1500/1000 = 1,5 (Kg/con)

Giả sử để đạt năng suất cao nhất ông nên giảm8xcon thì khối lượng cá thu được sẽ là :

1000 8x 1,5 0,5x    16 62,5 0,5x 1,5 0,5x     

4 62,5 0,5x�   1,5 0,5x �4.64

Dấu bằng có khi và chỉ khi 62,5 0,5x   1,5 0,5x  �x 61

Vậy vụ tới ông phải mua 1000 8.61 512  (con) và tổng năng suất là: 16384 kg 

Câu 12 : Một nhà máy dự định sản xuất một loại thùng hình trụ có chiều cao là h, bán kính

đáy là r Biết rằng chi phí sản xuất cho mỗi thùng như vậy được xác định theo công thức:

2

C 5r 60 rh Hãy xác định r, h sao cho thùng có thể tích mong muốn là 36 m 3

với chi phí sản xuất là thấp nhất?

A) h2 m

B) h 1 m





C) h 1 m

2 D) h3 m

Bài giải: Thể tích mỗi thùng là:

2

2

36

r





Chi phí để sản xuất là :

3

Dấu bằng có khi và chỉ khir2 216 r 6 m 

r

Khi đó h 1 m





Câu 13: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa hình tròn bán kính R,

nếu 1 cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính hình tròn?

D)

2

R 2

Giải

Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính

hình tròn 0 x R 

Độ dài cạnh còn lại: 2 R2x2

Suy ra diện tích hình chữ nhật là : S 2x R 2x2

R  x x R

�

Dấu bằng có khi và chỉ khi

2

Vậy diện tích lớn nhất đó làR2

Câu 14: Một sợi dây cứng dài 1m được cắt thành 2 đoạn 1 đoạn được cuộn thành hình

tròn, đoạn kia thành hình vuông Tìm độ dài mỗi đoạn nếu tổng diện tích hình tròn và

hình vuông là nhỏ nhất?



  và

4 4



 2 và  

2

4

4 và  

4



  2 và



  4

Bài giải:

Gọi x là chiều dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn 0 x 1   suy ra chiều dài đoạn dây cuộn.

thành hình vuông là:1 x

Chu vi hình tròn với R là bán kính:

x

2





Diện tích hình tròn:

2 2 tr

x

4





Diện tích hình vuông:

2

hv

1 x S

4



 �� ��

Tổng diện tích 2 hình:

2

S

 



(Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng Engel)

Dấu bằng có khi và chỉ khi

4 16





Á dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau :

x

Vậy độ dài 2 đoạn dây cuộn thành hình tròn và hình vuông lần lượt là : 4



  và

4 4

 

Câu 15:Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành khách Nếu 1 chuyến xe chở

được x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là

2

x 3 40

� �($) Tính số hành khách trên mỗi

chuyến để thu được trên mỗi chuyến là lợi nhuận lớn nhất và số tiền đó là bao nhiêu?

Bài giải:

Số tiền thu được là:

2

x

x 3 40

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

2

3

�  � � �  ��

3 20 6 160 27

($)

Dấu bằng có khi và chỉ khi

20 40� 

(thỏa mãn) Vậy chuyến xe đó nên cho 40 hành khách lên sẽ thu được lợi nhuận lớn nhất là160$

Câu 16:Người ta muốn làm một cái hình hộp chữ nhật không có nắp có chiều dài đáy gấp

đôi chiều rộng và có thể tích 10 cm3 Giả sử giá tiền vật liệu làm đáy thùng là 10.000đ/m2

và vật liệu làm mặt bên là 5000đ/m2 Hãy xác định chiều cao của thùng để chi phí của thùng nhỏ nhất

3

3

15

2 15

5 15

7 15 4

Bài giải:

Gọi S: chi phí, x : rộng, 2x : dài, y : cao

Từ giả thuyết đề bài ta có: S = 2xx.10000 + 2(xy+2xy).5000 = 20000x2 + 30000xy

Mà V= 2x2y = 10 => y = 5/x2

Suy ra S = 20000x2 + 30000.5/x= 20000x2 + 150000/x

S’ = 40000x – 150000/x2

S’ = 0 suy ra 40000x – 150000/x2 = 0 x =

315

4 => y =3

5 15 4

Vậy dài là 2

315

4 , rộng là:3

15

4 , cao là: y = 3

5 15 4

Câu 17:Bạn muốn xây dựng một bình chứa nước hình trụ có thể tích 72m3 Đáy làm

bằng bêtông giá 100 nghìnVND/m3, thành làm bằng tôn giá 90 nghìnVND/m3, nắp bằng nhôm không gỉ giá 140 nghìnVND/m3 Vậy phải chọn kích thước hình là như thế nào để

chi phí xây dựng là nhỏ nhất ?

A)  3

3

r

B)  3

3 r

3 r

D) 3

2 r

Bài giải:

Gọi r là bán kính đáy bình chứa, h là chiều cao bình chứa(r,h>0) Khi đó:

 

2

72

r





Suy ra tổng chi phí xây dựng là:

2

P 100 r 90.2 rh 140 r 220 r 90.2 r 240 r



Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương ta có :

3

r





Câu 18:Cho hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R Xác định thể tích hình trụ lớn nhất của

hình trụ

A)

3

4R

3 2R

3 2R

3 4R

3 3

Bài giải:

Gọi r,h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ

Ta có:

� �

Áp dụng BĐT cauchy cho 2 số dương ta có :

Câu 19:Cho nửa hình cầu bán kính r không đổi Một hình nón có chiều cao h, bán kính đáy là r1. Hãy xác định h và r1để diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất biết rằng: mặt ngoài của hình nón tiếp xúc với mặt cầu và 2 đường tròn đáy là đồng tâm và cùng thuộc 1 mặt phẳng

Bài giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

2 2

r r

r h r �h r r � r r



Gọi l là đường sinh của hình nón

2 2

1

r r

r r

�

 Diện tích xung quanh là :

2

6 3

1 1

S 2 l.r 2 r r

r r