ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Xét trong ∆ACI có J là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và IO, suy ra J là trọng tâm của tam giác này... Trong mpSAD gọi Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành t

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác

SBC Lấy một điểm N thuộc miền trong tam giác SCD

a) Tìm giao điểm của MN với (SAC)

.b) Tìm giao điểm của SC với (AMN)

.c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với(AMN)

Từ (1) và (2) suy ra (SEF) (SAC) SO∩ =

Trong mp(SEF) gọi

Từ (3) và (4) suy ra (AMN) (SAC) AH∩ =

Trong mp(SAC) gọi

c) Có MQ (AMN) (SBC)= ∩ Gọi P SB MQ= ∩ ⇒(AMN) (SAB) AP∩ = .

Có NQ (AMN) (SCD)= ∩ Gọi R SD NQ= ∩ ⇒(AMN) (SAD) AR∩ = .

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác APQR

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M là trung

điểm của SB, G là trọng tâm ∆SAD

a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD)

Chứng minh I ở trên đường thẳng CD

với SA Tính

KA

KS.d) Tìm thiết diện tạo bởi (OMG)

điểm của BI

Trong mp(ABCD) xét hai ∆NAB và

ANB DNI= (đối đỉnh)

Vậy ∆NAB= ∆NDI c.g.c( )⇒AB DN & BAN NDI= · = ·

hai góc này bằng nhautheo trường hợp so le trong, do đó AB DNP ⇒ 3 điểm C, D, I thẳng hàng và

Từ (3) và (4) suy ra (OMG) (ABCD) IO∩ = .

Trong mp(ABCD) gọi J AD OI= ∩ ⇒ =J AD (OMG)∩ .

Xét trong ∆ACI có J là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và IO, suy ra J

là trọng tâm của tam giác này Do đó

JA2

JD =

.c) Có JG (SAD) (OMG)= ∩

2

Trong mp(SAD) gọi

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi

M ,N ,P lần lượt là trung điểm của SB,SD và OC

a) Tìm giao tuyến của (MNP)

và (ABCD)

.b) Tìm giao điểm của SA và (MNP)

.c) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP)

.Tính tỉ số mà (MNP)

chia cáccạnh SA ,BC và CD

LỜI GIẢI

a) Có SO (SAC) (SBD)= ∩

Trong mp(SBD) gọi H MN= ∩SO, vì MN

là đường trung bình của ∆SBD⇒H trung

điểm của SO

Ngoài ra có P (MNP) (ABCD)∈ ∩ Do đó (MNP) (ABCD) IP∩ =

Trong mp(ABCD) gọi F và G lần lượt là giao điểm của IP với BC và CD

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác FMENG

Trong mp(SAB) dựng BK SA ,K SIP ∈ ⇒ ∆MES= ∆MKB g.c.g( )⇒EM BKuuuur uuur=

AB AO 2 BO IP

AI = AP = ⇒ 3 P

Trong ∆BCD có

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trọng

tâm của tam giác SAC và I, J lần lượt là trung điểm của CD và SD

a) Tìm giao điểm H của đường thẳng IK với mặt phẳng (SAB)

b) Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( )IJK

=,suy ra K là trọng tâm của SBD∆ Do đó

B KJ∈ .

4

Từ (1) và (2) suy ra (SAB) (SIO) SE∩ =

Trong mp(SIO) gọi H IK SE= ∩ , có

b) Có B KJ∈ ⇒ ∈B (IJK) (ABCD)∩ Do đó (IJK) (ABCD) BI∩ = .

Trong mp(SAB) gọi F BH SA= ∩ ⇒(SAB) (IJK) BF∩ = .

Ngoài ra (SAD) (IJK) FJ∩ = và (SCD) (IJK) JI∩ =

Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BFJI

Câu 6: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang, điểm P nằm trong

tam giác SAB và điểm M thuộc cạnh SD sao cho MD 2MS=

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB)

và(PCD)

.b) Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (ABM)

c) Gọi N là trung điểm của AD, tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP)

và hìnhchóp S.ABCD

Bước 2: Tìm giao tuyến của (MAB) và

(SCD): Có M, H là hai điểm chung của hai mặt

phẳng (MAB) và (SCD) Do đó

HM = MAB ∩ SCD Giao tuyến HM cắt SC

tại điểm I Vậy I là giao điểm của SC với

mp(ABM)

c) Trong mp(SAD) gọi G SA= ∩MN , có

Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MNLK.

DẠNG 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định.

Phương pháp:

Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng,

ta chứng minh ba điểm đó lần lượt thuộc hai mặt

phẳng phân biệt và , thì suy ra ba điểm A,

B, C nằm trên giao tuyến của và , nên

chúng thẳng hàng

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY:

Ta tìm giao điểm của hai đường thẳng trong ba đường thẳng đã cho, rồi chứngminh giao điểm đó nằm trên đường thẳng thứ ba Cụ thể như sau:

Cách chứng minh 3 đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, hai điểm M, N lần

lượt là trung điểm của SB, SD; điểm P thuộc SC và không là trung điểm của SC.a) Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng (MNP)

.b) Tìm giao điểm của SA với mặt phẳng (MNP)

.c) Gọi F,G,H lần lượt là giao điểm của QM và AB,QP và AC,QN và AD.Chứng minh ba điểm F,G,H thẳng hàng

Từ (1) (2) và (3) suy ra ba điểm F, G, H thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng(MNP) và (ABCD) Do đó ba điểm F, G, H thẳng hàng.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC Lấy M thuộc SB

và O là giao điểm AC với BD

a) Tìm giao điểm N của SC với (AMC)

.b) AN cắt DM tại I Chứng minh S,I,O thẳng hàng

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD Gọi M là trung

điểm SC và O là giao điểm AC với BD

a) Tìm giao điểm N của SD với (MAB)

.b) Chứng minh: SO,AM ,BN đồng quy

LỜI GIẢI

8

a) Trong mp(ABCD) gọi

hay I SO∈ Chứng tỏ ba đường thẳng SO,AM ,BN đồng quy tại điểm I

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD , gọi E;F;H lần lượt là các điểm thuộc cạnh

LỜI GIẢI

10

Vì MN và BC thuộc mp(ABC) nên

chúng cắt nhau tại I và MP và AD cùng

thuộc mặt phẳng (ABD) nên chúng cắt

nhau tại J Hai đường thẳng IP và NJ

và (SBD)

.c) Tìm giao điểm của Q của SD và (MNP)

.d) Gọi H MN PQ= ∩ Chứng minh: S,H,E thẳng hàng.

Hay R SK∈ ⇒ ba đường thẳng SK, MQ, NP đồng quy tại điểm R.

Câu 8: Cho tứ diện S.ABC với I trung điểm của SA, J là trung điểm của BC Gọi

M là điểm di động trên IJ và N là điểm di động trên SC

a) Xác định giao điểm P của MC và (SAB)

b) Tìm giao tuyến của (SMP) và (ABC)

c) Tìm giao điểm E của MN và (ABC)

d) Gọi F IN= ∩AC Chứng minh rằng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M,

N di động

LỜI GIẢI

a) Chọn mp(BCI) chứa MC Có IB (SAB) (BCI)= ∩

Trong mp(BCI) gọi

Từ (3) và (4) suy ra (IJN) (ABC) EF∩ =

Ngoài ra có J (IJN) (ABC)∈ ∩ Hay J EF ∈

Kết luận đường thẳng EF luôn đi qua điểm J cố định khi M, N thay đổi

Câu 9: Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối đôi một không song song,

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi

M,N lần lượt là trung điểm của SA, SC

a) Tìm giao tuyến của (BMN)

với các mp(SAB , SBC) ( )b) Tìm I SO= ∩(BMN ,K SD) = ∩(BMN)

c) Tìm E AD BMN ,F CD= ( ) = ∩(BMN)

d) Chứng minh rằng: B, E, F thẳng hàng

LỜI GIẢI

a) Trong mp(SAC) gọi I SO MN= ∩ , có

a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC)

b) Tìm giao điểm J của MN và (SAC)

c) Chứng minh: I, J, C thẳng hàng

16

d) Xác định thiết diện của mặt phẳng (BCN)

Do đó thiết diện cần tìm là tứ giác BCNL

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có K là trung điểm của AB Lấy I, J lần lượt thuộc

AC, BD sao cho IA 2IC,JB 3JD= = .

1) Tìm giao điểm E của AD và ( )IJK

2) Tìm giao tuyến d của ( )IJK

và (BCD)

3) Gọi O là giao điểm của d với CD Chứng minh I, O, E thẳng hàng

⇒ ∈ ∩ có nghĩa O IE∈ Kết luận 3 điểm I, O ,E thẳng hàng.

d) Gọi H trung điểm của BD, suy ra J trung điểm của HD và KH ADP Ta có

CO OI CI 3 OI 3QD

CD =QD= CQ= ⇒5 = 5

(4)

18

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,AD là đáy lớn và

AD 2BC = Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC,O AC BD= ∩ .

a) Tìm giao tuyến của (ABN)

và (SCD)

.b) Tìm giao điểm P của DN và (SAB)

.c) Gọi K=AN∩DM Chứng minh 3 điểm S, K, O thẳng hàng Tính

b) Có SE là giao tuyến của mp(SAB) và

mp(SCD) Suy ra điểm P cần tìm là giao điểm

B, C lần lượt trung điểm của AE và

DE Suy ra O là trọng tâm tam giác ADE

Tam giác SAC được vẽ lại ở hình 2 Dựng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có AD BCP và

AD 2BC;E= là trung điểm của SA N là điểm thuộc đoạn AB sao cho

NB 2NA = và M là điểm thuộc đoạn CD sao cho MD 2MC = .

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (EMN)

và (SAD)

; (EMN)

và (SCD)

.b) Tìm giao điểm của EM với (SBC)

.c) Tìm giao tuyến của (CDE)

= Tam giác DEI được vẽ lại ở hình 2

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC)

và (SAD)

b) Trên các cạnh SB, SD ta lần lượt lấy các điểm M và N thỏa

SM 1

SB = 3 và

SN 2

SD = 3

Tìm giao điểm I của SC và mặt phẳng (AMN)

Suy ra thiết diện củamặt phẳng (AMN)

và hình chóp S.ABCD

c) Gọi K là giao điểm của IN và CD Tính tỉ số

KC

KD

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật Gọi G là trọng tâm của

tam giác SAD, I là trung điểm của AD và E là điểm thuộc cạnh CD sao cho

Từ (1) và (2) suy ra (SAB) (SEI) SF∩ =

Trong mp(SEI) gọi H GE SF= ∩ , có

b) Tìm giao điểm S của BC với (DMP)

c) Trong mp(SBC) gọi H SC ME= ∩ , có

24

Tam giác SBH được vẽ lại ở hình 2 Dựng

ML SH ,L BCP ∈ ⇒L trung điểm của BC và

ML 1

SC = 2

(3) Nên EC 2EL= Có

ML EL 1 EML ~ EHC

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M,

N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh SB, SD sao cho:

SM 1 SN, 2

SB = 3 SD = 3a) Tìm giao điểm I của SC và CD mặt phẳng (AMN)

Suy ra thiết diện của hìnhchóp bị cắt bởi mặt phẳng (AMN)

.b) Gọi K là giao điểm của IN và CD Tính tỉ số :

Ngoài ra có

SI SE 4 SI 4 2

IH = EO = ⇒ 5 IC = 10 5 =

Trong SCD∆ dựng IF CD,F SDP ∈ có

DK =

Vậy

KC5

KD=

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB đáy lớn và

AB 3CD = Gọi N là trung điểm của CD, M là điểm trên cạnh SB thỏa

SM = 3MB, điểm I trên cạnh SA và thỏa AI 3IS = .

a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(SAD)

b) Gọi H là giao điểm của CB với mp(IMN) Tính

Trong mp(ABCD) gọi E AD BN= ∩ .

Suy ra SE là giao tuyến của (SAD) và

(SBN)

Trong mp(SBN) gọi

F SE MN= ∩ ⇒ =F MN∩ SAD

b) Trong mp(SAB) gọi G IM AB= ∩ .

Suy ra NG là giao tuyến của (IMN) và

Câu 9: Cho tứ diện ABCD Gọi I và K là trung điểm của AB và CD Gọi J là

một điểm trên đoạn AD sao cho AD = 3JD

a) Tìm giao điểm F của IJ và (BCD)

b) Tìm giao điểm E của (IJK) và đường thẳng BC Tính

c) Chứng minh ba đường thẳng AC , KJ , IE đồng quy tại điểm H Tính

d) Chứng minh và đường thẳng IK đi qua trung điểm của đoạn HF

EB EC

HCHA

EJ HF P

e) Gọi O trung điểm IK và G là trọng tâm của tam giác BCD Chứng minh A ,

c) Trong mp(IJK) gọi , có

Hay H thuộc giao tuyến AC của mp(ABC) với mp(ACD) Kết luận 3 đường thẳng

AC, JK và IE đồng quy tại điểm H

Trong mp(ABC) dựng Trong có

28

OA OG

, trong có là trọng tâm của

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song

song nhau Gọi M, E là trung điểm SA, AC; sao cho

a) Tìm giao tuyến của và

b) Tìm giao điểm N của SD và Tính

c) Gọi Chứng minh 3 điểm D, H, K thẳng hàng.d) Tính các tỉ số sau: ; ; ; ;

= uuuur uuuur

OA 3

OG =

CF CD 3

=(SAB) (SCD)

(MEF) NS

ND

H SE CM;K MF NE= ∩ = ∩

HM HC

HSHE

KMKF

KNKEKHKD

a) Có (1).

Từ (1) và (2) suy ra

b) Chọn mp(SAD) chứa SD Tìm giao tuyến của (MEF) và (SAD):

Trong mp(SAD) dựng Có (5)Ngoài ra trong , AO là đường trung bình nên (6).

d) Có H là trọng tâm của nên suy ra ,

Theo chứng minh ở câu b) có và , do đó

Câu 11: Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AB, AC, BD lần lượt lấy 3 điểm E,

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EFG) và mp(BCD)

b) Tìm giao điểm H của đường thẳng CD với mp(EFG) Tính tỉ số

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng AD với mp(EFG) Tính tỉ số

Trong có Vậy CM là đường trung bình

của nên C trung điểm của BP

AKAJ

Trong mp(BCD) dựng CN là đường trung bình của

e) Có JF là đường trung bình của nên